授業日（１２月７日） • • • • 宿題の説明等価表現安定範囲問題宿題の解答 2004-11-30に掲載システムの等価表現２次システム（式4.19） u s-1 b - x2 - s-1 2n n 2 u dx1  x2 x2 dtb -1 s s-1 dx2 2 2  n x1  2 n x2  bu dt 2 n n x(=x1) ブロック図と状態方程式の等価表現 u b - x2 -1 s - s-1 2n n 2 ＝ u b - - s-1 2n n 2 x2 dx1  2 n x1  x2 dt dx2 2   n x1  bu dt ＝ s-1 x(=x1) dx1  x2 dt dx2 2  n x1  2 n x2  bu dt 正準形式正準形式（n次システム） d nx d n 1 x dx  an n 1    a2  a1 x  bu n dt dt dt x1  x dx dx1 x2    x1 dt dt d 2 x dx2 d n 1 x dxn 1 x3  2   x2 ,, xn  n 1   xn 1 dt dt dt dt d n x dxn   an xn1    a2 x1  a1 x1  bu n dt dt  an xn    a2 x2  a1 x1  bu 正準形式（n次システム）の表現対角線にはn行以外０が並ぶ  x1   0  x2   0 d     x3    0 dt     0     xn   a1 対角線の右上には１が並ぶ 1  0 0 0 1 0   0 0   a2  an 1 最後の行には係数が並ぶ 0   x  0  1      0  x2 0    0   x3   0u      1       an   xn  1 離散時間系２次システムの近似解 2 d x dx 2  2    x  bu n n 2 dt dt dx1  x2 dt dx2 2  n x1  2 n x2  bu dt これをオイラー近似すると x1 (t  T )  x1 (t )  x2 (t ) T x2 (t  T )  x2 (t ) 2  n x1 (t )  2 n x2 (t )  bu(t ) T t=kTとする x1[k  1]  x1[k ] x1[k  1]  x1[k ]  Txx22[[kk]] T 2 x2x[k2 [ k 1]1]  x2n[kTx ] 1[k ]  2(1  2 nT ) x2 [k ]  bTu[k ]  n x1[k ]  2 n x2 [k ]  bu[k ] T ２次システムの近似（つづき） x1[k  1]  x1[k ]  Tx2 [k ] x2 [k  1]  n Tx1[k ]  (1  2 nT ) x2 [k ]  bTu[k ] 2 x1[k  1]  p11 x1[k ]  p12 x2 [k ] x2 [k  1]  p21 x1[k ]  p22 x2 [k ]  q2u[k ] ここで p11  1, p12  T , p21  n T , 2 q2  bT p22  1  2 nT ２次システムの近似（つづき２）ｚ変換 zX 1[ z]  zx1[0]  p11 X1[ z]  p12 X 2 [ z](1) zX 2 [ z]  zx2 [0]  p21 X1[ z]  p22 X 2 [ z]  q2U [ z ](2) パルス伝達関数（初期値0） p21 q2 (2)より X 2 [ z ]  X 1[ z ]  U [ z] z  p22 z  p22  p12 p21  p12 q2 U [ z] ( z  p11 )   X 1[ z ]  z  p22  z  p22  X 1[ z ] p12 q2 p12 q2   2 U [ z ] ( z  p11 )(z  p22 )  p12 p21 z  ( p11  p22 ) z  p11 p22  p12 p21 ２次システムの近似（つづき３） p12 q2 z 2  ( p11  p22 ) z  p11 p22  p12 p21 ２次システムのモードの導出→特性方程式 z 2  ( p11  p22 ) z  p11 p22  p12 p21  0 ( p11  p22 )  ( p11  p22 ) 2  4( p11 p22  p12 p21 ) z1 , z2  2 ２次システムのモードモード1 z1,z2：実数（図3.1と同じ） z1,z2：実数（重根） z1,z2： =α±jβ 複素数モード２ｚ1ｋｚ2ｋｚ1ｋｋｚ1ｋ－１ｚ1ｋｚ2ｋ２次システムの近似（つづき４）複素数の場合 z1 , z2    j  r (cos  j sin  )  re 虚数軸 z1 r +jβ φ α z2 r    2 2  tan   z1  r k e jk  r k (cosk  j sin k ) k 実数軸 -jβ  j z 2  r k e  jk  r k (cosk  j sin k ) k r k cos k r sin k k をモードとする。離散時間系固有値の配置とモード（状態の時間変化） k r cos k 虚数軸不安定安定 2.5 1.2 r=1.1 2 1 1.5 0.8 r=0.7 r=0.3 実数軸 1 固有値の配置 1 0.6 0.5 0.4 0 0.2 -0.5 0 0 -1 0 -0.2 1.2-1.5 -0.4 -2 1 系列1 系列1 2 4 2 6 4 8 6 10 8 10 安定 0.8 0.6 |r|<1 安定 |r|>1 不安定系列1 0.4 0.2 0 -0.2 0 2 4 6 8 10 ２次システムの応答（近似）例題（p.73-4.31）の近似 x1[k  1]  x1[k ]  Tx2 [k ] x2 [k  1]  3844Tx1[k ]  (12.4T  1) x2 [k ] x1[0]  x[0]  0.5, x2 [0]  dx / dt t 0  20 特性方程式 z 2  2(1  6.2T ) z  1 12.4T  3844T 2  0 z1 , z1  1  6.2T  j 61.69T z1  1  6.2T 2  61.69T 2 ２次システムの応答（近似）安定であるためのTの範囲は z1 2 2 2      1  6.2T  61 .69T  1 3844T 2 12.4T  T (3844T 12.4)  0 12.4 T (T  )  T (T  0.00323 )  0 3844 0  T  0.00323 サンプル時間の違いによる近似解x(t)の違い（次ページ）計算の実際（エクセル）固有周波数に対応する周期は 2 2 Tn    0.1013s n 62rad / s x1(k) T=0.001secの時のx(k)の時間変化サンプル時間の違いによる近似の違い 0.8 0.6 0.4 0.2 x1(k) 0 -0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 -0.4 x1(k) -0.6 0.8 T=0.002secの時のx(k)の時間変化 0.6 0.4 0.2 x1(k) 0 -0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 -0.4 -0.6 x1(k) T=0.003secの時のx(k)の時間変化 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8 x1(k) 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 離散時間系２次システムの近似解での安定性はサンプル時間に依存するサンプルタイムは特性方程式の固有値の絶対値が１以内になる範囲に選ぶ。演習問題[1]p.90 • 図に示すシステムにおいて、伝達関数を求めよ。次にr(t)を単位ステップ関数として応答y(t)を求めよ。 + R(s) 伝達関数 - － 1 s 10 s  11 Y(s) 10 Y (s) 10 s ( s  11)   2 10 R( s) 1  s  11s  10 s ( s  11) 10 10 Y ( s)  2 R( s )  s  11s  10 s( s  1)(s  10) a b c    s s  1 s  10 10 a  lim 1 s 0 ( s  1)(s  10) 10 1 c  lim  s 10 s ( s  1) 9 10 10 b  lim  s 1 s ( s  10) 9 10 1 1 9 Y ( s)   9  s s  1 s  10 10 t 1 10 t y (t )  1  e  e 9 9 グラフ演習問題[２]p.91 • ラプラス変換を用いて次の微分方程式を解け。ただし、t=0のとき、dx/dt=0,x=1とする。 2 d x dx  2  x  0(1) 2 dt dt 初期条件 s 2 X (s)  sx(0)  x(0)  2(sX (s)  x(0))  X (s)  0 s 2 X (s)  s  2(sX (s) 1)  X (s)  0 X (s)(s  2s  1)  s  2 s2 s2 X ( s)  2  ( s  2s  1) ( s  1) 2 2 s2 a b X (s)    2 2 ( s  1) s  1 ( s  1) d 2 a  lim ( s  1) X ( s )  lim 1  1 s  1 ds s  1 2 b  lim ( s  1) X ( s)  lim s  2  1 s  1 s  1 1 1 X ( s)   2 s  1 ( s  1) x(t )  et  tet グラフ演習問題3 p.91 問題出力をy(t)、入力をu(ｔ) とするシステムの伝達関数 y (t ) 2  u (t ) ( s  1)(s  2) おいて、sは微分を表す演算子と考えてシステム方程式を以下の手順で求めよ。ヒント（１）与えられた伝達関数は次のように部分分数に展開できる。 y (t ) 2 2   u (t ) s  1 s  2 右辺の第１項と第２項をそれぞれx1(t)/u(t)と-x2(t)/u(t)とすれば x1 (t ) 2 2s 1   , 1 u(t ) s  1 1  s x2 (t ) 2 2s 1   u(t ) s  2 1  2s 1 のように変形できる。 y(t)=x1(t)-x2(t)であることに注意してシステムの状態変数線図を描け。並列 x1 (t ) 2s 1  u (t ) 1  s 1 より u ＋ 2 x1 (t )  s 1 x1 (t )  2u(t )s 1 - x1 1 1 x2 (t ) 2s  u (t ) 1  2s 1 1 s より x2 (t )  2s 1 x2 (t )  2u(t )s 1 u ＋ 2 - 1 s 2 x2 入力をまとめて u ＋ 2 - u 1 s x1 + 1 2 u ＋ 2 y 1 s 2 y(t)=x1(t)-x2(t) x2 - y 付録 ( s  1)(s  2) y(t )  2u (t ) y(t )  x(t ) y (t ) 2  u (t ) ( s  1)(s  2) s 2 x(t )  3sx(t )  2x(t )  2u(t ) u dx2/dt s-1 2b - x2 dx1/dt-1 s 3n 2 2n 2 x(=x1) 演習問題４ p.91 問題 u(k)を入力として状態方程式 x1[k  1]  x1[k ]  x2 [k ]  u[k ] x2 [k  1]  2 x1[k ]  4 x2 [k ] で表される離散時間システムの固有値およびそれに対応するモードを求めよ。解答ｚ変換 zX 1[ z ]  zx1[0]  X 1[ z ]  X 2 [ z ]  U [ z ] zX 2 [ z ]  zx2 [0]  2 X 1[ z ]  4 X 2 [ z ] 固有値を求めるには特性方程式、特性方程式を求めるには ( z  1) X1[ z]  X 2 [ z]  U [ z ] 伝達関数、伝達関数には初期値は０  2 X1[ z]  ( z  4) X 2 [ z]  0 演習問題４（つづき） ( z  1) X1[ z]  X 2 [ z]  U [ z ]  2 X1[ z]  ( z  4) X 2 [ z]  0 これを解いて z4 X 1[ z ]  2 U [ z] z  5z  6 2 X 2[ z]  2 U [ z] z  5z  6 特性方程式固有値 z  5z  6  0 z  2, 3 2 モード k k 2 ,3 １２月７日の講義終了