期末試験模範解答例(pdf

2014 年度計測制御工学期末試験再試験 (模範解答)
1
2014 年 9 月 18 日
河合康典
2014 年度計測制御工学期末試験再試験 (模範解答)
2014 年 9 月 18 日
注意：途中計算が解答欄に記入されていない場合は減点とする。
[問題 1] (配点 20 点)*学生の到達目標 (5)
となる。よって，
k = −4 −3
制御対象の状態空間表現が
x(t)
˙
= Ax(t) + bu(t)
P:
y(t) = cx(t)
0 1
0
A=
, b=
, c= 1
−1 1
1
0
であるとき，y(t) を定値の目標値 y ref (t) = ycref に追
従させるコントローラ
A b −1 0
h = −k 1
1
c 0
A b
を設計することを考える。M0 =
が正則である
c 0
ことから，A + bk の固有値が −1 ± j2 となるように k
を求めよ。
(1-1)
A=
0
−2
−2
0
[解答]
可制御性行列は，
, b=
1
1
, c¯ = 0 1
可観測性行列は，
c¯
0
Vo =
=
c¯A
−2
1
0
より，detVo = 2 より可観測である。
|λI − (A + bk)|
λ
−1
=
= λ2 − (1 + k2 )λ + 1 − k1
1 − k1 λ − (1 + k2 )
(1-2)
p1 = −1 + j2, p2 = −1 − j2 とおくと
−(1 + k2 ) = −(p1 + p2 )
(1-3)
1 − k1 = p1 p2
(1-4)
となるため，(1-3) 式より
(1-5)
(1-4) 式より
1 − k1 = 5 ⇒ k1 = −4
(2) 可観測性を調べよ。
(2-1)
より，detVc = 0 より不可制御である。
k2
となる。A + bk の特性方程式は
−(1 + k2 ) = −(−2) ⇒ k2 = −3
(1) 可制御性を調べよ。
A + bk
における A, b, c¯ が以下のように与えられたとき，以下
1 −2
Vc = b Ab =
1 −2
k2 とおくと
0 1
0 =
+
k1
1
−1 1
0
1
=
−1 + k1 1 + k2
[問題 2] (配点 20 点 (各 10 点))*学生の到達目標 (6)
1 出力システムの状態空間表現
x(t)
˙
= Ax(t) + bu(t)
P:
y(t) = c¯x(t)
の問いに答えよ。
K : u(t) = kx(t) + hy ref (t)
[解答] k = k1
(1-7)
(1-6)
(2-2)
2014 年度計測制御工学期末試験再試験 (模範解答)
[問題 3] (配点 20 点)*学生の到達目標 (6)
[問題 4] (配点 20 点)*学生の到達目標 (7)
1 出力システムの状態空間表現
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t)
P:
η(t) = c¯x(t)
零入力の線形システム
0
x(t)
˙
= Ax(t), A =
1
における A, B, c¯ が以下のように与えられたとき，可
c の固有値が −1, − 3 となる同一次
観測である。A + l¯
元オブザーバ
xˆ˙ = Aˆ
x(t) + Bu(t) − l(η(t) − c¯x
ˆ(t))
のゲイン l を求めよ。
0 −2
1
A=
, B=
, c¯ = 0
−1 0
1
[解答]
l = l1
T
l2
2
(3-1)
P A + AT P = −Q
の解 P = P T が正定であるかどうかを調べて，漸近安
定性を判別せよ。
[解答]
1
とすると
A + l¯
c =
=
0
−2
−1
0
+
l1 0 −2 + l1
−1
l2
A + l¯
c の特性方程式は
|λI − (A + l¯
c)| =
=
λ
1
l2
0 1
(3-2)
2 − l1 λ − l2 λ2 − l2 λ − (2 − l1 )
p11
p12
0 −1
+
0
1 p11
−l2 = −(p1 + p2 )
(3-4)
−(2 − l1 ) = p1 p2
(3-5)
となるため，(3-4) 式より
1
1
2p12 = −1
(4-3)
−p11 + p12 + p22 = 0
(4-4)
2(−p12 + p22 ) = −1
(4-5)
(4-3) 式より p12 = −0.5。(4-5) 式へ代入
(3-6)
l1
= 3
= −3
= 5
となる。よって，
T
l = 5 −4
(3-7)
(4-6)
(4-4) 式へ代入
−p11 − 0.5 − 1 = 0 ⇒ p11 = −1.5
2 − l1
−1 1 p12 p22
1 0
=−
(4-1)
0 1
p12 −p11 + p12
p22
p12
+
p22 −p12 + p22
−p11 + p12 −p12 + p22
1 0
=−
(4-2)
0 1
2p12
1 0
−p11 + p12 + p22
=−
0 1
p22 − p11 + p12
2(−p12 + p22 )
p22
0.5 + p22 = −0.5 ⇒ p22 = −1
(3-5) 式より
−(2 − l1 )
p12
よって，
(3-3)
p1 = −1, p2 = −3 とおくと
−l2 = −(−4) ⇒ l2 = −4
1
が与えられたとき，Q = I としたリアプノフ方程式
p12
−1
よって，P は
−1.5
P =
−0.5
−0.5
(4-7)
(4-8)
−1
となる。主座小行列は
(3-8)
−1.5 < 0
(4-9)
|P | = 1.5 − 0.25 = 1.25 > 0
となるため，行列
漸近安定でない。
P
(4-10)
は正定でない。よって，
2014 年度計測制御工学期末試験再試験 (模範解答)
3
[問題 5] (配点 20 点 ((1):15 点,(2):5 点))
p12 > 0 より p12 = 2 となる。
*学生の到達目標 (8)
1 慣性システム
(2,2) 要素から
x(t)
˙
= Ax(t) + bu(t), A =
0
1
−2
−1
, b=
0
1
2(2 − p22 ) − p222 + 2 = 0
2
4(2 − p22 ) − p222 + 4 = 0
1
p222 + 4p22 − 12 = 0
において，評価関数
∞
J=
x(t)T Qx(t) + ru(t)2 dt
(p22 + 6)(p22 − 2) = 0
(5-6)
0
の重みが次式により与えられたとき，以下の問いに答
p22 > 0 より p22 = 2 となる。
えよ。
(1,2) 要素から
Q=
10 0
0
2
p11 − 2 − 4 − 2 = 0
, r=2
(5-7)
より， p11 = 8 となる。よって，P は
(1) リカッチ方程式の正定対称解 P を求めよ。
1
P A + AT P − P bbT P + Q = 0
r
P =
8
2
2
2
(5-8)
ただし，P の (1,2), (2,1), (2,2) 要素は正となるこ
となる。
とを用いてよい。
(2) k は
(2) コントローラのゲイン k を求めよ。
1
k=− 0
2
1
u = kx(t), k = − bT P
r
[解答]
(1) P =
p11
p12
p12
p22
となる。
とおくと，
p11 p12
0
1
0 −2 p11 p12
+
p12 p22 −2 −1
1 −1 p12 p22
p
10 0
1 p11 p12 0 11 p12
−
+
=0
0 1
2 p12 p22 1
p12 p22
0 2
(5-1)
式整理すると
−2p12 − 2p12
p11 − p12 − 2p22
−2p22 + p11 − p12
2(p12 − p22 )
10 0
1 p12 =0
−
p12 p22 +
2 p22
0 2
(5-2)
−4p12 − 12 p212 + 10
−2p22 + p11 − p12 − 12 p22 p12
p11 − p12 − 2p22 − 12 p12 p22
2(p12 − p22 ) − 12 p222 + 2
=0
(5-3)
となる。(1,1) 要素から
p212 + 8p12 − 20 = 0
(5-4)
(p12 + 10)(p12 − 2) = 0
(5-5)
8 2
=− 1
1
2 2
1
(5-9)

Download Report