ゲーム理論（第2回）

ゲーム理論・ゲーム理論Ⅰ
（第１０回）
第５章不完全競争市場の応用（続き）
シュタッケルベルグ競争
2014年6月13日
担当古川徹也
2014/06/13
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シュタッケルベルグ競争の特徴
• 需要側は逆需要関数１本で表現される。
したがって，消費者はすべてプライステ
イカーであると仮定する。
• 企業は２企業（企業A，企業B）。完全に
同一の財を生産している。
• 企業Aと企業Bの意思決定は，交互に行わ
れる。すなわち「先手」と「後手」に分
かれて意思決定を行う。
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5.6 シュタッケルベルグ・モデル
• 需要側：逆需要関数 p  120  x
p ：市場価格， x ：市場需要量
• 供給側：２企業（企業A，企業B）
x A：企業Aの供給量， xB：企業Bの供給量
• 限界費用は30で一定，固定費用はゼロと
する。
• 需給均衡条件： x  x A  xB
• 市場価格： p  120  ( x A  xB )
• 企業Aが先手，企業Bが後手である。
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シュタッケルベルグ・モデルの解法
Step 1：まず，与えられた先手の戦略に対する
後手の最適反応を求める。これは，クールノー
モデルで用いた手法をそのまま当てはめればよ
い。
→ 後手の最適化問題を最初に考えるところは，
バックワードインダクションの考え方を用いて
いると考えられる。
Step2：Step1で求められた戦略を後手が選ぶこ
とを前提に，選択は自分が各戦略 x A を選んだ
ときの自分の利潤を計算する。
Step3：Step2で求めた先手の利潤を最大にする
戦略 x Aを求める
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Step1
• 企業Bの利潤
 B ( x A , xB )  pxB  30 xB  (120  ( x A  xB )) xB  30 xB
を最大にする xB を求める。クールノーモ
デルのときと同じように計算すれば，与え
られた x A に対して，企業Bの利潤を最大に
する xB は，
90  x A
xB 
2
として求められる。これが企業Bの最適反応
関数である。
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Step2
• 企業Bの最適反応関数を与件として，企業
Aは利潤
 A ( x A , xB )  px A  30 x A  (120  ( x A  xB )) x A  30 x A
を最大にする x A を求める。
• 最適反応関数を与件とすることは，xB に
最適反応関数 xB  (90  x A ) / 2 を代入する
ことと同じである。すなわち，企業Aの利
潤は，以下のようになる。
90  x A 
1

 A ( x A )  120  ( x A 
)  x A  30 x A  (90  x A ) x A
2
2


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Step3
• 企業Aの利潤
90  x A 
1

 A ( x A )  120  ( x A 
)  x A  30 x A  (90  x A ) x A
2
2


を最大にする x Aを求める。
• これは結局
の最大化と同じで，
独占と同じ問題となる。したがってこれ
*
x
x
を最大にする A は A  45 であり，その
ときの xB は xB*  22.5 となる。
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図シュタッケルベルグ均衡の図示
xB
９０
企業Aの最適反応曲線
４５
２２．５
企業Bの最適反応曲線
４５
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９０
xA
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比較：クールノー・ナッシュ均衡
xB
９０
企業Aの最適反応曲線
４５
３０
企業Bの最適反応曲線
３０
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４５
９０
xA
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利潤の比較
• 企業Aの利潤
 A ( xA ) 
• 企業Bの利潤
1
(90  45)  45  1012.5
2
 B ( x A )  (120  (45  22.5))  22.5  30  22.5  506.25
• 企業Aの利潤は，クールノーナッシュ均衡
の場合よりも大きくなる。企業Bの利潤は
クールノーナッシュ均衡の場合よりも小
さくなる。
• 先手のほうが有利になるが，どちらが先
手になるかは，研究課題である。
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企業の利潤，消費者余剰，社会的総余剰
価格
生産量
企業利潤の
合計
独占
75
45
2025
クールノー
ナッシュ
均衡
60
60
1800
シュタッケル
ベルグ均衡
52.5
67.5
完全競争
30
90
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消費者
余剰
社会的
余剰
1012.5 3037.5
1800
3600
1518.75 2278.125 3796.875
0
4050
4050
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練習問題
• 需要側：逆需要関数 p  200  x
p ：市場価格， x ：市場需要量
• 供給側：２企業（企業A，企業B）
x A：企業Aの供給量， xB：企業Bの供給量
• 限界費用は20で一定，固定費用はゼロと
する。
• 企業Aが先手，企業Bが後手としたときの，
シュタッケルベルグ均衡を求めよ。
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