寡占市場 • 少数の企業 • 競争はあるが、企業は一定の価格支配力をもつ（完全競争ではない） • 典型的なモデルの一つが、クールノー・モデル：2社の場合であると、企業１について、以下のような利潤関数を想定する：  ( y1, y2 )  P( y1  y2 ) y1  C( y1 ) © Yukiko Abe 2014 All rights reserved クールノー・モデル（１） • 利潤関数を独占の場合と比較すると、 P( y1  y2 )の部分が異なっていることがわかる。 • 他社の供給量が増加することは、価格を下げることを通じて、自社の利潤を減らす。 • 企業１が、 y2 が外生変数であると想定し、 y1 を最適に選択するという問題を考える。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved クールノー・モデル（２） • 以下が利潤の関数  ( y1, y2 )  P( y1  y2 ) y1  C( y1 ) • y1 で微分してゼロと置くと、条件は  ( y1 , y2 )  P( y1  y2 )  P '( y1  y2 ) y1  MC  0 y1 • となるが、 y1 を y2 に応じて変化させることを考慮して y1  f1 ( y2 ) を反応曲線と呼ぶ。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 反応関数と均衡 y2 y1  f1 ( y2 ) クールノー均衡 y2  f2 ( y1 ) M: 独占の生産量（横軸） © Yukiko Abe 2014 All rights reserved y1 クールノー均衡の性質 • 独占企業よりも生産量は一般に多い（競争があるため） • 完全競争均衡よりは生産量が少ない（価格は限界費用を上回るため） • 市場参加者が少ないので、「ゲーム的状況」となる。 • もし2社が共謀して総供給量を独占企業並みに抑えれば、「カルテル」になる。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved カルテル • クールノー企業（２社：A社、B社） • ２社で共謀して、独占企業と同じ生産量を市場に供給（この場合、利潤が最大になる） • このとき、2社の状況は、ゲーム理論でいうところの「囚人のジレンマ」の状況になる。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved プレイヤーAとBの利得の例（Aの利得, Bの利得） • 利得行列 B 生産量少量生産量多量生産量少量 A 10,10 0,20 20,0 5,5 生産量多量 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 支配戦略 • A社は、B社の戦略が何であれ、生産量を多くしたほうが自分の利得が高い。 • このため、「生産量を多くする」ことは、いつでも最適であるといえる。このような戦略が存在するとき、それを「支配戦略」とよぶ。 • B社にとっても同様に、生産量を多くすることが支配戦略である。 • 両社が生産量を多くすると、均衡では独占利潤の「分け合い」は行なわれない。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved ゲームが繰り返されると： • すなわち、１回だけのゲームであれば、どちらも多い数量を生産し、共謀は成立しない。これは消費者にとってはよいことである。 • しかし、共謀はゲームが何度も繰り返されるときでも、成立しないのだろうか？（ゲームとしての問題） • (10,10)と(5,5)を比較すると、双方の利得は5 ずつ減少している。これをわかっていて、2企業はそれを繰り返すだろうか？ © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 複数回繰り返すとき • 有限回の繰り返しであると、結局、(5,5)の均衡が繰り返されることになる。 • 最終回は、1回だけの場合と同じ結果になるはず。 • それがわかっていれば、最終回の前の回も、 1回だけの場合と同じ。 • この理由を続けて適用することにより、有限回であれば、共謀は実現しない。常に、囚人のジレンマ状態である。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 無限回の繰り返し • それでは、無限回繰り返す場合には、共謀は成立するか？ • 実は成立することが知られている。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 課税の場合の計算問題 • 課税の場合に均衡がどこにくるかは、スライドのような図で理解できる。 • この場合の条件は、 – 税金が需要者の支払価格（税込）と供給者の受取価格（税引き後）の差に等しくなっている – 需要量と供給量が一致する（ように価格が調整している） © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 負担割合（均衡付近の拡大図） © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 応用問題：税金のある時の均衡連立方程式を用いた解法（１） • 税金と需要者・供給者価格 Pd1  Ps1  t (1) （税金のかかり方によって、 Pd 1  1 t 1 Ps • 需要と供給（需給は数量Ｘで均衡） X  D(Pd1 ) X  S ( Ps1 ) (2) (3) © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 等となることも）税金のある時の均衡連立方程式を用いた解法（２） • (1)-(3)を連立させて、内生変数 Pd1, Ps1, X を求める。 • そうすると、需給の均衡と、税の水準がすべて条件を満たしている価格と数量が導出できる（価格は２つあることに注意。ただし、上記の場合は、最初の式を使えば、片方はもう片方から導出できる）。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 企業の費用最小化 • 複数の生産要素を用いて生産活動を行なう企業を想定。 F ( L, K ) は生産関数。 min C ( w, r; y )  wL  rK L,K subject to F ( K , L)  y C ( w, r; y ) 費用関数 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 消費者の支出最小化 • 複数の財を消費する消費者を想定。 min E( p1 , p2 ; u )  p1 x1  p2 x2 x1 , x2 subject to U ( x1, x2 )  u 支出関数 E( p1, p2 ; u) © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 補償需要関数 • 支出関数の導出においては、x1,x2が内生変数である。 • これらのx1,x2を需要量とする、需要関数を導くことができる。この需要関数を補償需要関数 C x とよぶ。 i ( p1, p2 ; u) と表記（Cはcompensatedに対応）。 • この需要関数は、費用関数における要素需要関数と同じであることに注意。シェパードの補題 • 補償需要関数について、以下が成り立つ： E ( p1, p2 ; u ) C  xi ( p1, p2 ; u) pi i  1, 2 シェパードの補題の考え方（１） • 支出関数とは以下である： E( p1, p2 ; u)  p1x1C ( p1, p2 ; u)  p2 x2C ( p1, p2 ; u) • この左辺の変化分を、  E と書く。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（２） • いま、 p1 のみが変化すると考える。このとき、支出額の変化は E  p1x1  p1 x1  p2x2 = p1x1  p2x2  p1 x1 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（３） • ここで、以下が成り立つ： p1x1  p2x2  0 • 効用が一定水準に保たれていることから、 x1, x2 は無差別曲線に沿って動いていることに着目する。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（４） • 【復習】支出最小化の条件とは、限界代替率と価格比率が一致すること。 • 限界代替率の定義を用いて、この条件は以下のようになる。 x2 U / x1 p1 MRS     x1 U / x2 p2 • © Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（５） • 無差別曲線に沿って動くとは、 x1, x2 が以下を満たすことを意味する： x2 U / x1 MRS    x1 U / x2 • しかし一方で、最適解の条件とは： x2 U / x1 p1 MRS     x1 U / x2 p2 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved 支出最小化等支出曲線傾きの絶対値：p1/p2 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（６） • 支出関数は、費用最小化の最適点での支出である。最適解の条件を変形すると： p1x1  p2x2  0 • これを代入して： E  p1x1  p1 x1  p2x2 = p1 x1 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved シェパードの補題の考え方（７） • 以上から、一般性を失うことなく E E ( p1, p2 ; u) x ( p1, p2 ; u)   pi pi C i i  1, 2 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved