電気回路学講義資料

電気回路学Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5セメ
山田博仁
連絡事項
1. 講義担当教員
山田博仁 ‥ 前半(過渡現象、ラプラス変換、時間域、周波数域解析)担当
大寺康夫 ‥ 後半(フーリエ変換、信号波解析、歪波交流)担当
2. 教科書および参考書
1) 電気回路 - 三相、過渡現象、線路 - 喜安善市、斉藤伸自著、朝倉書店
2) フーリエ解析大石著岩波書店
3. 成績評価
・講義点と定期試験の両方を勘案して行う
・講義点は、出席状況、演習、レポートなどで評価する
4. オフィスアワー
随時、場所: 2号館203号室 (事前に電話またはE-mailにより予約のこと)
E-mail: [email protected]、電話(内線): 7101
5. 連絡および講義資料のダウンロード: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/
講義日程と内容
日程 (回目)
山
田
大
寺
先
生
講義内容
教科書の章との対応
1)
2)
2.1, 2.2
2.3, 2.4
5.1, 5.2
-
4/11 (第1回) RL, RC回路の過渡現象
4/18 (第2回) RLC回路の過渡現象
4/25 (第3回) ラプラス変換
5/2
休講
5/9 (第4回) 過渡現象とラプラス変換
5/16 (第5回) 過渡現象とラプラス変換の続きと演習
5/23 (第6回) 過渡関数波と周期波形のラプラス変換
5/30 (第7回) 時間域、周波数域解析
6/6 (第8回) 微分、積分回路、RLC直並列回路
6/13 (第9回) インパルス、ステップ、任意波形に対する応答
6/20 (第10回) フーリエ変換
6/27 (第11回) フーリエ変換、信号波解析
7/4 (第12回) フーリエ変換と演習
7/11 (第13回) 歪波交流
7/18 (第14回) 歪波交流回路の計算と演習
7/25 (第15回) 補講および定期試験期間
6.1～6.2
6.3
5.3 ～5.5
7.1, 7.2
7.3～7.5
7.7～7.9
4.1, 4.2
4.3
4.5
3.1, 3.2
3.4
-
過渡現象とは?
スイッチを入れて、回路が定常状態に移行するまでの現象、あるいは
定常状態にあった回路のスイッチを切った後の現象を扱う
過渡現象
ス
ピ
ー
ド
0
定常状態
時刻:t
アクセルペダルを踏む
回路素子が、電源と抵抗のみからなる電気回路では、
時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる
S
E
t=0
i(t)
t < 0 において回路を流れる電流 i(t)は、 i(t) = 0
E
t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、 i t  
R
i(t)
R
E
定常状態
R
0
t
0
この場合、過渡現象は現れない(スイッチを入れた瞬間に定常状態になる)
過渡現象とは?
i(t)
0
定常状態
E
R
t = 0 において回路を流れる電流 i(t)は ?
0
t
t = 0 における扱いに関しては、 t = 0 でスイッチを閉じる直前および直後の時刻を t =
– 0 , + 0 で表すと、
E
i  0  
i(– 0) = 0
である。
R
このように、「スイッチを閉じる」といったようなある事象の直前および直後の時刻に
おいて取り得る初期値の値が異なる場合、直前の初期値を第1種初期値、直後を第
2種初期値と呼んで区別することがある。
回路素子を流れる電流と両端の電圧との関係
1) 抵抗 R を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、
v  Ri
i
1
v
R
i
v
2) コイル L を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、
di
vL
dt
1 t
i   vdt  i0
L 0
R
i
v
L
ただし i0 は、t = 0 の時にコイルに流れていた電流
3) キャパシタ C を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、
v
1 t
idt  v0
C 0
iC
dv
dt
ただし v0 は、t = 0 の時のキャパシタの両端の電圧
i
v
C
回路素子を流れる電流と両端の電圧との関係
コイルを流れる電流は、瞬時には変化できない。
何故なら、瞬時に変化するということは、
i
v
L
vL
di
dt
di
  を意味し、
dt
その場合、左式の関係より、コイル L の両端には ±∞の電圧
が生じることになる。
子供の頃、こんな回路のびっくり箱
を作ったことがありませんか?
キャパシタの両端の電圧は、瞬時には変化できない。
何故なら、瞬時に変化するということは、
i
v
C
iC
dv
dt
高電圧
ブザー
dv
  を意味し、
dt
その場合、左式の関係より、キャパシタ C には ±∞の電流が
流れることになる。
RC直列回路の過渡現象
S
t=0
R
時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。
t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、
E
i(t)
C
積分方程式 E  Ri (t ) 
1
i (t )dt を解いて求められる。
C
なお積分範囲は、 – ∞ から現在の時刻 t までである。
電荷 q(t) と電流 i(t) との関係 i (t ) 
ER
dq (t )
を用いて書き直し、
dt
dq (t ) q(t )

, t  0  (1)
dt
C
まず、E = 0 とした同次方程式の特解は、 q  e (sは定数)を代入した特性方程式
t

1
1
Rs   0 の根 s  
を用いて、 q  e RC と得られるから、A を任意の定数
RC
C
t
st

として、E = 0 の時の一般解は、 q f (t )  Ae RC によって与えられる。
dq (t )
 0 (定常状態)とした時の式(1)の解は、 q(t )  EC であるから、
次に、
dt
q p  EC が E ≠ 0 時の特解であることは明らかである。
RC直列回路の過渡現象

従って、式(1)の解として、 q(t )  q p  q f  EC  Ae
t
RC
を得る。
上式で、任意定数 A は初期条件によって定められる。つまり、
t=0
スイッチ S を閉じる時刻 t = 0 以前に、キャパシタ C が
S
R
電荷 q0 を蓄えていたとすれば、上式より、
q(0)  q0  EC  A
E
i(t)
C
の関係が成り立つ。従って、 A  q0  EC と定まり、
q(t )  q p  q f  EC  q0  ECe
従って電流は、 i (t ) 

t
RC
, t  0 となる。
dq (t )
より、
dt

dq
1
 E q0   RC
RC
q0  ECe    e , t  0  (2)
i(t ) 

dt
RC
 R RC 
t
t
と得られる。もちろん t < 0 では、i(t) = 0, q(t) = q0 である。
スイッチ S を閉じる直前および直後の時刻を t = – 0, + 0で表わすと、

t

0
t
t
i(t )dt   idt   idt  q(0)   idt であり、t = – 0, + 0の初期値を各々、

0
0
第1種初期値、第2種初期値と呼ぶ。
RC直列回路の自由振動
t=0
S
R
R
i(t) C
+
q0
-
r
t=0
or
i(t) C
S
E
+q
0
-
上の回路で、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。
t > 0 において、キャパシタ C に蓄えられていた電荷 q0 が、抵抗 R を通じて放電される
場合を考える。式(2)に E = 0 を代入すると、
t
q 
i(t )   0 e RC , t  0
RC
によって自由振動電流が与えられる。
また、電荷 q(t) は、
t
0
t
t


0
0
q (t )   i (t )dt   i (t )dt   i (t )dt q0   i (t )dt  q0 e
t
t

t
RC
, t  0 となる。

q 
ここで、τ = RC と置くと、i (t )   0 e  , q(t )  q0e  と表わされ、τ を時定数と呼ぶ。
RC
過渡現象の時定数
時定数(time constant) τ の意味
1.0
τ は、初期値の 1/e になる時刻
0.8
e

t


t = 0 において関数 e に引いた接
線が横軸と交わる点が t = τ に相当
0.6
1
e
0.4
0.2
0
t

1
2
t

3
4
5
消費エネルギー
抵抗 R で消費されるエネルギー W は、
W 

0
q 2 (0)
Ri dt  R
RC2
2


0
e
2
t

dt  R
q 2 (0)


0
e
2
t

dt

t
q (0)  2 
q 2 (0) q 2 (0)
R

e   R
 2 
2

2C
0
2
2

となる。
これは、キャパシタ C に初めに蓄えられていた静電エネルギーに等しい。それが全て
抵抗 R で消費されて熱となる。
RC直列回路の過渡現象
RC直列回路に直流電圧 E を突如印加した時の電流 i(t) は、キャパシタの初期電荷
q0 が 0 であるとすると、
t
E 
i(t )  e RC
R
t



RC

であり、同様に電荷 q(t) については、 q (t )  EC 1  e  である。


この様に、RC直列回路においては、スイッチを入れた直後は E/R の電流が流れる
が、キャパシタ C が充電されていくに従って電流が減少して行き、十分に時間が経
てば(t → ∞)、q(t) は EC に近づき、電流は 0 に近づく。
十分に時間が経過した後の状態を定常状態(steady state)と呼び、その状態を表わす
項を定常項と呼ぶ。上のケースでは、i(t) および q(t) の定常項は各々 0 および EC で
ある。また、定常状態になるまでの間を過渡状態(transient)と呼び、この状態を表わ
す項を過渡項と呼ぶ。上のケースでは、i(t) および q(t) の過渡項は各々
t
t

E  RC
RC
ECe
e
および
である。過渡項は t → ∞ において消滅する。
R
上のケースで時定数 τ = RC は、充電される速さ、あるいは過渡項消滅の早さの目安
と考えられる。
RL直列回路の過渡現象
S
t=0
R
時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。
t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、
E
i(t)
L
微分方程式 E  Ri (t )  L
di (t )
を解いて求められる。
dt
まず、E = 0 とした同次方程式の一般解を求めるために、A を任意の定数として、
R
st
s


R

Ls

0
i  i f  Ae を代入すると、
の関係より、
となる。従って、
L
t

L

i f  Ae ,  
である。この if は、過渡項であり、t → ∞ で 0 に収束する。
R
di
 0 としてよい。
次に、E ≠ 0 の時の特解を求めるが、これは定常項を求めるもので、
dt
t

E
E
即ち、 i  is 
である。従って、求める電流は、 i(t )  is  i f   Ae  となる。
R
R
ここで、A は積分定数で、初期条件によって定まる。
RL直列回路の過渡現象
S
E
t=0
R
i(t)
図の回路において、t < 0 ではスイッチが開いている
から電流は流れない。
L
スイッチを閉じた瞬間の時刻 t = 0 においても、
di (t )
が有限である限り、電流は 0 である。
dt
従って、初期条件としては、t = 0 において i = 0 即ち、 i(0) = 0である。
t

E

E
この初期条件から、 A  
であり、電流は、 i(t )  is  i f  1  e 
R
R
第一項が定常解、第二項が過渡解である。また、τ は時定数である。

, t  0 となる。


RL直列回路の自由振動
(例 2.2.1)
R0
R0
R
R
t=0
E
S
i0
E
L
S
i(t)
L
t=0
t < 0 での回路
t > 0 での回路
左の回路において、当初はスイッチ S が開いており、コイル L には電流 i0 
E
R  R0
が流れていた。時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じると、右のような回路となり、
di (t )
回路の動作を表わす微分方程式は、 0  Ri (t )  L
で与えられる。
dt
t

E
L
この解は、 i (t )  i f  Ae  ,  
であり、初期条件としの i0 
を用いると、
R
R  R0
t

E
E
L

i(0)  A  i0 
e  ,    が t > 0 での
が得られ、従って、 i(t ) 
R  R0
R  R0
R

自由振動電流を与える。
消費エネルギー
抵抗 R で消費されるエネルギー W は、
W 

0
 E 
2

Ri dt  R
 R  R0 
2


0
e
2
t

dt  R i02 

0

t
2 


1
e  dt   R i02 e    Li02 となる。
2

0 2
2
t
これは、コイル L に初めに蓄えられていた電磁エネルギーに等しい。それが全て
抵抗 R で消費されて熱となる。

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