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基礎統計
第6回講義資料
確率変数
4.3 確率変数
定義4.4 確率変数
ある変数があって、次の２条件
（１）のとりうる値の全体
がわかっている。
（２）
の各値に確率が与えられている。
が満たされているとき、を確率変数という。
－離散型確率変数
－連続型確率変数（4.5節）
確率分布：与えられた確率がどのように分布している
のかを表したもの
4.3.2 離散型確率変数
•
•
が飛び飛びの値しか取らない場合
の確率分布
• 定理4.5
（１）
（２）
無限個の場合
離散型確率変数とすると
確率変数の性質：期待値
確率変数の平均
離散型確率変数
を
に対して，
の平均または期待値という。
例題（期待値）
• 例４．１６（宝くじ）発行枚数1万枚
当選金（円）
０
１００
１０００
１００００
枚数
９０００
８００
１５０
５０
xk
０
１００
１０００
１００００
P( X  x k )
０．９
０．０８
０．０１５
０．００５
E ( X )  0  0.9  100  0.08
 1000  0.015  10000  0.005
 73
練習問題
１から９までの整数が書かれたカードがある．
この中から7枚のカードを無作為に取り出して，
書かれている数字の最大値をとする．
①
②
となる確率
の期待値
を求めよ．
を求めよ．
期待値の線形性
a, b を定数とすると，
宝くじ（手取り額）の例
E (0.9 X )  0.9 E ( X )
 0.9  73
 65.7
任意の関数
が成り立つ。
と
に対して
定理4.7 平均は最小2乗値
• 以前、定理2.1 で紹介した性質が、確率変数の平均について
も成り立つ。
• 定理4.7 実数 c の関数 h(c) を
と定義すると、これは
なる。
において最小と
確率変数の性質：分散と標準偏差
• 確率変数の分散
の分散を
で表し，次式で定義する。
ここに
である。また，分散の正の平方根を
の標準偏差といい，
で表す：
例：２つの確率変数（期待値が同じ）
k
0
1
2
3
4
5
0.2
0.2
0.2
0.1
P( X  k ) 0.1 0.1
P(Y  k ) 0
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
E ( X )  E (Y )  3
V (X )  3
V (Y )  (0  3) 2  0  (1  3) 2  0.1  (2  3) 2  0.2
6
0.1
 (3  3) 2  0.4  (4  3) 2  0.2  (5  3) 2  0.1
 (6  3) 2  0
 0.4  0.2  0.2  0.4
 1.2
V ( X )  V (Y )
0
例題（分散）
• サイコロの目
定理4.8
補足：チェビシェフの不等式
• 平均と分散しか分かっていない（確率分布はわからない）とき，
確率の見当をつけるのに有効．
チェビシェフの不等式
確率変数の期待値と分散を
として，任意の
に対して
が成り立つ
• 平均から標準偏差の
 k 倍以上離れる割合は高々
である．
• 分布が単峰で対称と考えられるとき，平均から標準偏差の
±3倍以上離れる確率は0に非常に近い
正規分布
など
例題：チェビシェフの不等式
• ある確率変数について
であることしか
についてどん
わかっていない．これから，確率
なことがいえるか。
チェビシェフの不等式
から
より
となり
1 2
P(0  X  2)  P(| X  1 | 1)  1  
3 3
約 0.677以上の確率
分布が正規分布の場合 0.91673
単位の変換（分散の性質）
• a, b を定数とし、a>0 とすると，次式が成り立つ。
V ( X  b)  V ( X )
V (b)  0
補足（注4.8）：モーメント
• Xの（原点のまわりの）ｒ次のモーメント（積率）
• Xの期待値（平均）のまわりのr次のモーメント
• Xのr次の標準化モーメント
• 分布の形状に関する指標
• 歪度（わいど）
• 尖度（せんど）
補足：モーメント母関数
• モーメント母関数
（離散型）
（連続型）
• モーメント母関数を繰り返し微分して0とおいた導関数から
各次数のモーメントがわかる
例：指数分布の場合
4.3.6 基準化変量
• 定義4.8 基準化変量
確率変数 X の基準化変量Z を次式で定義する。
• 定理4.10 基準化変量の平均と分散
確率分布の例
• 現象にふさわしい確率分布を用いる
• アンケートの項目反応の集計値２項分布
• 航空機事故件数
• 捕獲再捕獲
ポアソン分布
超幾何分布
対数正規分布
• 生物・人体測定値
正規分布
• システムの耐久年数
ガンマ分布
離散型
• 所得・貯蓄額
連続型
離散型確率分布
• 超幾何分布
• ２項分布
• 多項分布
• ベルヌーイ分布
• ポアソン分布
• 幾何分布
• 負の二項分布
• 一様分布
4.4 離散型確率分布の代表例
• 4.4.1 コイン投げ、ベルヌーイ試行
回目に表が出る
は独立
ベルヌーイ試行と２項分布
• ベルヌーイ試行
 成功確率
,長さ n のベルヌーイ試行．
離散型
Ｘ＝成功回数
• ２項分布（binomial distribution）
確率変数
• 期待値と分散
が次の確率分布を持つとき，
に従うといい，
は２項分布
と書く。
24
２項分布の期待値と分散
• ２項分布の期待値
• ２項分布の分散
例題：シュバリエ・ド・メレの問題
• 確率論が科学として歩みだしたきっかけとなった問題。
• 近代確率論
• 1654年パスカル(1623-1662)とフェルマー(1601-1665)の間で取り交わさ
れた往復書簡が端緒と言われている。
• シュバリエ・ド・メレ（1607-1684) フランス貴族，賭博師
• パスカルにこの問題を持ち込んだ。
• [問題]
• 1個のサイコロで6の目を少なくとも1回だそうとするとき，4
回投げれば有利．
• 2個のサイコロでゾロ目（6,6）を少なくとも1回出そうとすれ
ば，24回投げれば良さそうだが，不利になるのはなぜか？
ポアソン分布（Poisson distribution）
離散型
• 稀にしか起きない現象を長い期間観測して数え上げた数の分布
• 工場で大量生産される製品の1日当たりの不良品の数（例4.26）
• 1日当たりの死亡事故件数
• 放射性物質からの放射線の単位時間当たりの放射回数
• プロシャの騎兵隊の訓練で、兵士が落馬しその馬に蹴られて死亡する
という事故の数（一軍団当たり）
• ポアソン分布
確率変数
布
が次の確率変数を持つとき、はポアソン分
に従うといい、
と書く。
• 期待値と分散
28
2015/5/30
ポワソン分布と２項分布の関係
• ２項分布の平均値 np
np = λ (一定), n -> ∞ とすると p -> 0
ポ
ワ
ソ
ン
分
布
２
項
分
布
２項分布は平均λのポワ
ソン分布に近づく
λ=4
n=12
n=96
p=1/3
p=1/24
幾何分布と負の２項分布
• 成功Sの確率
ベルヌーイ試行
• 失敗Fの確率
• 最初の成功Sが出現するまでの試行回数（つまり何回目に初
成功したのか）をXとするならば, Xの確率分布は幾何分布と
呼ばれる
５回目で成功！
失敗
• Ｋ回目の成功を得るまでの失敗回数をXとするならば，Xの
確率分布は負の２項分布（パスカル分布）と呼ばれる
３回成功！
３回失敗
幾何分布（geometric distribution）
離散型
• 最初の成功Sが出現するまでの試行回数Xの確率分布
• 幾何分布
確率変数が次の確率分布に従うとき、は幾何分布
に従うといい、
と書く。
• 期待値と分散
• 失敗の回数（試行回数ー１）にて表現することもある.
幾何分布と無記憶性
• 幾何分布は
を満足する
ある一定の時間客が来なかったという情報は、
客の来店確率を評価することには役立たない。
負の２項分布（パスカル分布）
（negative binomial distribution）
• Ｋ回目の成功を得るまでの失敗回数X
• 特徴：幾何分布の一般化
先の幾何分布に従う確率変数XをY=X-1と置くことで、
Yは初めて成功するまでの失敗回数となり，幾何分布に
従う。そのとき期待値は q/p ．
• 期待値と分散
非復元抽出と復元抽出
• 集団からr個のものを取り出す際に
• １つずつ元に戻さずに取り出す（非復元）
• 集団の構成は変化する
• 超幾何分布
• その都度元に戻してから，新たに取り出す（復元）
• 集団の構成は常に同じ
• 二項分布
同じ条件で繰り返す場合
超幾何分布(hypergeometric distribution）
離散型
• 確率分布
• N個のボールのうちM個が白，N-M個が黒とする．非
復元抽出で，n個のボールを無作為に選んだときに x
個が白である確率
N
M
N-M
ｎ
ｘ
湖にいる魚の総数の推定
4.5 連続型確率分布
• 確率変数
が連続の値をとりうる場合、
数という。
• 確率
• 確率密度関数
• 分布関数
を連続型確率変
連続型確率変数の期待値と分散
• 期待値
• 分散
正規分布
（normal distribution）
• 代表的な連続型の確率分布
• C.F.ガウスによって提案された誤差関数が原型
• F.ゴルトンにより正規分布と呼ばれるようになる
• 確率密度関数
• 期待値と分散
正規分布（期待値が異なる場合）
μ= 0, σ＝１
0.45
0.4
μ=－2, σ＝
１
μ= 2, σ＝１
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
正規分布（標準偏差が異なる場合）
0.9
0.8
μ=0, σ=0.5
0.7
0.6
μ=0, σ=1
0.5
0.4
μ=0, σ=2
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
標準正規分布
（standard normal distribution）
• 標準化変数
• 密度関数
• 累積分布関数（付録の数表）
41
確率を求めるには？
• 正規分布表（上側確率）を利用する．
平均
正規分布
分散
に従う
標準化変量に変換する
標準正規分布
平均０、分散１の標準正規分
布の数値表を利用して、確率
を求める
正規分布に従う確率変数
について
より
で置換積分すると
，
，
より
標準正規分布に従う確率
変数
確率を求めるには？
例題
• 平均 50, 標準偏差 10 の正規分布に従う成績データ
があるとする．
• ５０点以上51点以下の割合は？
付表１より
指数分布
（exponential distribution）
• 待ち時間の分布：寿命，耐用年数，災害までの年数
• 確率密度関数
• 累積分布関数
0.12
• 期待値と分散
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
10
20
30
40
ガンマ分布
（Gamma distribution）
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
5
15
• 指数分布の一般化（α=1のとき指数分布と一致）となる分布
• 正の値をとり，右に歪んだ分布
• 確率密度関数
ガンマ関数
• 期待値と分散
25
ガンマ分布
0.6
0.5
0.4
α=3,λ=2
α=3,λ=1/3
0.3
α=3,λ=1/5
α=3,λ=1
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
ガンマ分布
• α個の確率変数が互いに独立で指数分布に従うならば，
その確率変数の和はガンマ分布Ga（α，λ）に従う．
• 標準正規分布の2乗はガンマ分布Ga(1/2,1/2)に従う．
• ガンマ分布Ga(n/2,1/2)は自由度nのχ2（カイ二乗）分
布といわれる．
4
ベータ分布
（Beta distribution）
3
• 確率密度関数
0
2
1
0
ベータ関数
• 期待値と分散
• テスト得点の得点構造の分析などに利用
0.5
1
ベータ分布
α=8,β=2
4
3.5
α=1/2,β=1/2
α=5,β=5
3
2.5
2
α=2,β=8
1.5
1
0.5
0
0
一様分布
（α=1,β=1）
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
一様分布（連続型）
（uniform distribution）
• テキスト例4.31（p147）参照
• 確率密度関数
• 期待値と分散
• ベータ分布が
布と一致する
のとき (0,1)区間の一様分
コーシー分布
（Cauchy distribution）
• 確率密度関数
• 外観は正規分布に似ている
• 期待値、分散が存在しない
標準正規分布
0.7
0.6
λ=0, α=0.5
0.5
0.4
λ=0,α=1
0.3
λ=0,α=2
0.2
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
対数正規分布
（log-normal distribution）
• 正の値のみをとる確率変数 X （例：世帯の所得分布）
•
のとき, Xは対数正規分布に従う．
• 確率密度関数
• 期待値と分散
μ=0,σ=1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
パレート分布
（Pareto distribution）
• 所得分布（特に高額所得）として用いられる
• 確率密度関数
• 期待値と分散
2
ワイブル分布
（Weibul distribution）
• 製品の耐用年数，寿命など
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
-0.5
• 瞬間故障率が一定（偶発故障）の場合は指数分布に従う
• 劣化の進行に伴い，故障率が増加する
• 初期故障では故障率が減少する
ワイブル分布
• 確率密度関数
尺度母数
形状母数
• 期待値と分散
ワイブル分布
2
1.8
a=1,b=0.5
1.6
a=1,b=3
1.4
1.2
a=1,b=1
a=2,b=3
1
0.8
a=3,b=
3
0.6
0.4
0.2
0
0
-0.2
1
2
3
4
5
6
次回の講義内容(６/8)
• 第4章：確率モデル
• 4.1 標本空間と事象
• 4.2 確率
• 4.3 確率変数
• 4.4 離散型確率分布の代表例
• 4.5 連続型確率分布

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