ラグランジュの運動方程式の導出

ラグランジュの運動方程式の導出
3 次元空間内に，n 個の質量が運動する n 自由度系を考える．質量それぞれに，
直交座標系 xi , yi , zi , i = 1, . . . , n が割り当てられているとする．このとき，質量
mi に関する運動方程式は，Newton の第二法則から，以下のようになる．
mi x¨i (t) = Xi (t)
mi y¨i (t) = Yi (t)
(1)
mi z¨i (t) = Zi (t)
ここで，Xi , Yi , Zi は，質量 mi にはたらく外力の xi , yi , zi 成分である．
いま，直交座標系以外の座標系として，qk , k = 1, . . . , 3n を考える．直交座標系
では，1 質量あたり 3 個の座標軸を必要としたが，自由度は保持されるから，他の
座標系で考えた場合でもその数は変わらないことに注意する．xi , yi , zi , i = 1 . . . , n
は，qk , k = 1, . . . , 3n の関数と考えることができるから，以下のようにかける．
xi = xi (q1 , q2 , . . . , q3n )
(2)
yi = yi (q1 , q2 , . . . , q3n )
(3)
zi = zi (q1 , q2 , . . . , q3n )
(4)
これらの両辺を時刻 t で偏微分すると，例えば xi については，以下が得られる．
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
=
q˙1 +
q˙2 + · · · +
q˙3n
∂t
∂q1
∂q2
∂q3n
3n
∑
∂xi
q˙k
=
∂q
k
k=1
(5)
式 (5) より，
∂ x˙ i
∂
=
∂ q˙k
∂ q˙k
(
∂xi
∂xi
∂xi
q˙1 +
q˙2 + · · · +
q˙3n
∂q1
∂q2
∂q3n
)
=
∂xi
∂qk
(6)
が得られる．
一方，n 自由度系全体の運動エネルギー T は，以下のようにかける．
)
1∑ ( 2
T =
mi x˙ i + y˙ i2 + z˙i2
2 i=1
(7)
)
n (
∑
∂xi
∂yi
∂zi
Qk =
Xi
+ Yi
+ Zi
∂q
∂q
∂qk
k
k
i=1
(8)
n
外力の qk 成分 Qk
1
運動中に各質量が，(dxi , dyi , dzi ), i = 1 . . . , n だけ動いた場合，外力がなした仕事
n
∑
n
∑
mi (¨
xi dxi + y¨i dyi + z¨i dzi ) =
i=1
(Xi dxi + Yi dyi + Zi dzi )
(9)
i=1
左辺は，以下のように計算できる．
(
)
(
)
(
) }
n {
∑
d ∂T
d ∂T
d ∂T
dxi +
dyi +
dzi
左辺 =
dt ∂ x˙ i
dt ∂ y˙ i
dt ∂ z˙i
i=1
(
(
)
)
(
)
d ∂T
d
d ∂
1
2
※
=
mi x˙ i =
(mx˙ i ) = mi x¨i より
dt ∂ x˙ i
dt ∂ x˙ i 2
dt
(
)
(
)
(
) }
n {
∑
d ∂T
d ∂T
d ∂T
x˙ i +
y˙i +
z˙i dt
=
dt ∂ x˙ i
dt ∂ y˙ i
dt ∂ z˙i
i=1
}
{ (
) 3n
(
) 3n
(
) 3n
n
∑
d ∂T ∑ ∂yi
d ∂T ∑ ∂zi
d ∂T ∑ ∂xi
=
q˙k +
q˙k +
q˙k dt
dt ∂ x˙ i k=1 ∂qk
dt ∂ y˙ i k=1 ∂qk
dt ∂ z˙i k=1 ∂qk
i=1
[
(
)
} { (
)
}
n ∑
3n {
∑
d ∂T ∂xi
d ∂T ∂yi
∂T ∂ x˙ i
∂T ∂ y˙ i
=
−
+
−
dt ∂ x˙ i ∂qk
∂ x˙ i ∂qk
dt ∂ y˙i ∂qk
∂ y˙ i ∂qk
i=1 i=1
]
{ (
)
}
d ∂T ∂zi
∂T ∂ z˙i
+
−
dqk
dt ∂ z˙i ∂qk
∂ z˙i ∂qk
(
)
(
)
)
(
d ∂T ∂xi
∂T ∂ x˙ i
d ∂T ∂xi
=
+
, q˙k dt = dqk より
※
dt ∂ x˙ i ∂qk
dt ∂ x˙ i ∂qk ∂ x˙ i ∂qk
{ (
) (
)}
n ∑
3n
∑
d ∂T ∂ x˙ i ∂T ∂ y˙i
∂T ∂ x˙ i ∂T ∂ y˙ i
∂T ∂ z˙i
∂T ∂ z˙i
=
+
+
−
+
+
dqk
dt
∂
x
˙
∂
q
˙
∂
y
˙
∂
q
˙
∂
z
˙
∂
q
˙
∂
x
˙
∂q
∂
y
˙
∂q
∂
z
˙
∂q
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
)
( i=1 i=1
∂ x˙ i
∂xi
=
などより．偏微分なので，足し算して 3 倍にはならない事に注意． ※
∂qk
∂ q˙k
(
)
}
3n {
∑
d ∂T
∂T
=
−
dqk
(10)
dt ∂ q˙k
∂qk
k=1
一方，右辺は，以下のように計算される．
右辺 =
=
(
n
∑
(Xi dxi + Yi dyi + zi dzi ) =
i=1
n ∑
3n (
∑
i=1 k=1
n
∑
(Xi x˙ i dt + Yi y˙ i dt + zi z˙i dt)
i=1
∂yi
∂Zi
∂xi
q˙k + Yi
q˙k + Zi
q˙k
Xi
∂qk
∂qk
∂qk
※ dqk = q˙k dt, dxi = x˙ i dt, x˙ i =
3n
∑
∂xi
k=1
以上より，
d
dt
(
∂T
∂ q˙k
)
−
2
∂qk
∂T
= Qk
∂qk
)
=
3n
∑
Qk dqk
k=1
(11)
)
q˙k などより
(12)
次に，Qk がばね要素の復元力の場合を考える．このとき，以下となる．
Xi = −
∂U
∂U
∂U
, Yi = −
, Zi = −
, i = 1, . . . n
∂xi
∂yi
∂zi
(13)
ここで，U は系全体のポテンシャルエネルギーであり，一自由度系の場合は，
1
U = kx2
2
と書ける．これを用いると，変位 x 方向の復元力は，
(
)
∂ 1 2
X=−
x = −kx
∂x 2
となる．これより，ばねの復元力に相当する式 (8) は，
)
n (
∑
∂U ∂xi ∂U ∂yi ∂U ∂zi
∂U
+
+
=−
Qk = −
∂xi ∂qk ∂yi ∂qk ∂zi ∂qk
∂qk
i=1
(14)
Qk が減衰力の場合は，
Xi = −
∂F
∂F
∂F
, Yi = −
, Zi = −
∂xi
∂yi
∂zi
(15)
となる．ここで，F は散逸関数といい，振動系の場合は，ダンパで消散されるエ
ネルギーの 1/2 を表す．この力は外部に逃げていくものなので，非保存力とも呼
ばれる．一自由度系の場合は，
1
F = dx˙ 2
2
で表される， ∂F
は，
∂ x˙
∂F
= dx˙
∂ x˙
となり，減衰抵抗力となる．これより，粘性減衰力に相当する式 (8) は，以下のよ
うに書ける．
)
n (
∑
∂F ∂xi ∂F ∂yi ∂F ∂zi
Qk = −
+
+
∂ x˙ i ∂qk ∂ y˙ i ∂qk ∂ z˙i ∂qk
i=1
)
n (
∑
∂F ∂ x˙ i ∂F ∂ y˙ i ∂F ∂ z˙i
+
+
=−
∂
x
˙
∂
q
˙
∂
y
˙
∂
q
˙
∂ z˙i ∂ q˙k
i
k
i
k
i=1
=−
∂F
∂ q˙k
(16)
3
以上より，Lagrange の運動方程式が，以下のように得られる．
(
)
d ∂T
∂T
∂U
∂F
−
= fk (t) −
−
dt ∂ q˙k
∂qk
∂qk ∂ q˙k
(
)
d ∂T
∂(T − U ) ∂F
−
+
= fk (t)
dt ∂ q˙k
∂qk
∂ q˙k
(
)
d ∂(T − U )
∂(T − U ) ∂F
−
+
= fk (t)
dt
∂ q˙k
∂qk
∂ q˙k
(
)
d ∂L
∂L
∂F
−
+
= fk (t), L = T − U
dt ∂ q˙k
∂qk ∂ q˙k
4
(17)

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