109 第 18 講平面図形（ⅰ）数学 A 【問題1】の二等辺三角形 ABC の

第 18 講平面図形（ⅰ）
数学 A
【問題１】
「 AB = AC の二等辺三角形 ABC の底辺の両端から対辺に引いた 2 つの中線の長さは等しい」
という命題がある．
（１）この命題の逆をのべよ．
（２）
（１）を証明せよ．
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【問題２】
△ABC において，
3 辺 BC ，CA ，AB 上にそれぞれ点 P ，Q ，R を適当にとれば，ÐBPR = ÐCPQ
かつ △BPQ º △RPC となるようにできるという．このとき △ABC はどんな形でなければならな
いか．
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【問題３】
凸四角形 ABCD において辺 AB，CD の中点をそれぞれ M，N とする．
AD + BC = 2MN ならば，この四角形はどんな形であるか．
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第 18 講平面図形（ⅰ）解答
数学 A
【問題１】
「 AB = AC の二等辺三角形 ABC の底辺の両端から対辺に引いた 2 つの中線の長さは等しい」
という命題がある．
（１）この命題の逆をのべよ．
（２）
（１）を証明せよ．
（１）「 △ABC の辺 BC の両端から対辺に引いた２つの中線の長さが等しければ，
AB = AC の二等辺三角形である．
」
（２）中線 BD ， CE の交点を G とすると， G は △ABC の重心であるから
BG = 2 BD = 2 CE = CG
3
3
また GE = GD ，
ÐBGE = ÐCGD
\ △BGE º △CGD
\ BE = CD
\ 2BE = 2CD
\ AB = AC
よって，
（１）の命題は証明された．･･･終
112
A
E
D
G
B
C
【問題２】
△ABC において，
3 辺 BC ，CA ，AB 上にそれぞれ点 P ，Q ，R を適当にとれば，ÐBPR = ÐCPQ
かつ △BPQ º △RPC となるようにできるという．このとき △ABC はどんな形でなければならな
いか．
ÐBPR = ÐCPQ であるから
A
ÐBPQ = ÐCPR
これと △BPQ º △RPC であることから
Q
BP × PQ = CP × PR
R
\ BP : CP = PR : PQ
ゆえに △BPR と △CPQ は ÐBPR = ÐCPQ
B
P
C
かつ BP : CP = PR : PQ より相似となる．
これより ÐABC = ÐACB
すなわち △ABC は AB = AC となる二等辺三角形である．逆に，このとき題意を満たすよ
うな点 P ， Q ， R をとることができる．
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【問題３】
凸四角形 ABCD において辺 AB，CD の中点をそれぞれ M，N とする．
AD + BC = 2MN ならば，この四角形はどんな形であるか．
AC の中点を L とすれば △ABC
において M，L は２辺 AB，AC
D
の中点であるから
ML // BC
2ML = BC
同様に △CDA において
NL // AD
2NL = AD
\ AD + BC = 2(ML + NL)
A
N
M
L
B
一方，仮定から
AD + BC = 2MN
\ ML + NL = MN
よって M，L，N は 1 直線上になければならない．
したがって BC // AD
すなわち四辺形 ABCD は台形である．
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C

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