Document

検印
年
組
番／名前
【285】
1
3 点 A(－2，1)，B(4，－2)，C(5，3)を頂点とする△ABC に対し，直線 y＝ x は△ABC の面積
3
をどのような比に分けるか。また，点(0，0)を通り△ABC の面積を 2 等分する直線の方程式を
求めよ。
直線 BC の方程式は y＋2＝
3＋2
(x－4)
5－4
すなわち， y＝5x－22
……①
1
 33 11 
①と直線 y＝ x の交点を G とすると，G  ， 
3
 7 7
また，直線 AB の方程式は y＝ 
1
x で，O はこの直線上にある
2
から，
△OBG：△ABC＝BO･BG：BA･BC＝
BO BG
･
：1
BA BC
33
4
40
2
5
BO
BG
ここで，
＝
＝，
＝ 7
＝であるから，
3
7
54
BA
BC
4  (2)
△OBG：△ABC＝
2 5
10
･：1＝
：1＝10：21
3 7
21
1
よって，直線 y＝ x は，△ABC の面積を 10：11 の比に分ける。
3
次に，原点を通り，△ABC の面積を 2 等分する直線の方程式を y＝mx
②は，辺 BC と交わることがわかるので，
……② とする。
1
3
－＜m＜
2
5
22m 
 22
このとき，①，②の交点を P とすると，P 
，
 であり，
5
－
m
5
－m 

22
4
4m  2
BP
5
＝ m
＝
5m
54
BC
△OBP：△ABC＝BO･BP：BA･BC＝
よって，2･
2(4m  2)
＝1
3(5  m)
2(4m  2)
BO BP
･
：1＝
：1＝1：2
3(5  m)
BA BC
これを解いて，m＝
したがって，求める直線の方程式は
y＝
7
19
7
x
19
〔数学Ⅱ〕第 2 章／演習問題 B
320
検印
年
組
番／名前
【286】
点 A(1，2)の直線 x－2y＋1＝0 に関して対称な点を B，点 B の直線 2x＋y＋a＝0 に関して対称な
点を C とすると，△ABC は∠ABC＝90°の直角二等辺三角形になるという。a の値を求めよ。
x－2y＋1＝0 ……①
2x＋y＋a＝0 ……②
とする。
点 B の座標を(x'，y')とすると，直線 AB と直線①は垂直であり，線分 AB の中点は直線①上に
あるから，
x'＋1
 y'－2  1
 y'＋2 
－2  

  ＝－1，
 ＋1＝0
2
 2 
 x'－1  2
すなわち， 2x'＋y'－4＝0，x'－2y'－1＝0
これを解いて，
x'＝
9
2
，y'＝
5
5
9 2
ゆえに，点 B の座標は  ， 
5 5
2 1
9
したがって，直線 BC の方程式は y－＝  x－ 
5 2
5
すなわち，
x－2y－1＝0
……③
a＋2 
 1－2a
②と③の交点を P とすると， P 
，－

5 
 5
AB＝2BP であるから， AB2＝4BP2
2
2
2
2

 1－2a 9   a＋2 2  

9  2

－
1
＋
－
2
＝
4
－
＋
－
－

 

 
 

5
5
5
5
5
5


 

 
 


よって， a2＋8a＋12＝0
ゆえに，a＝－6，－2
〔数学Ⅱ〕第 2 章／演習問題 B
321
検印
年
組
番／名前
【287】
点(1，1)を通り，x 軸から長さ 4 の線分を切り取る円の中心の軌跡を求めよ。
(x－X)2＋(y－Y)2＝r2
円の中心を(X，Y)，半径を r とすると，
①が，点(1，1)を通るから，
2
2
2
(1－X) ＋(1－Y) ＝r
……①
……②
①と x 軸の交点の x 座標は，y＝0 とおいて，
(x－X)2＋Y2＝r2 から， x＝X± r 2－Y 2
条件から，
ゆえに，
(X＋ r 2－Y 2 )－(X－ r 2－Y 2 )＝4
r2－Y2＝4
これを②に代入して，
整理して，
Y＝
(1－X)2＋(1－Y)2＝Y2＋4
1 2
X －X－1
2
したがって，求める軌跡は，放物線 y＝
1 2
x －x－1
2
〔数学Ⅱ〕第 2 章／演習問題 B
322
検印
年
組
番／名前
【288】
直線 y＝ax に関して点 P(1，0)と対称な点を Q とする。次の問いに答えよ。
(1) 点 Q の座標を求めよ。
点 Q の座標を(x'，y')とおく。
線分 PQ の中点が直線 y＝ax 上にあり，直線 PQ と直線 y＝ax とは垂直であることから，
y'＋0
 x'＋1 
＝a  

2
 2 
すなわち，
 y'－0 

  a ＝－1
 x'－1 
ax'－y'＋a＝0，
これを解いて，
x'＝
よって，点 Q の座標は
(2) 点 Q を中心とする半径
点 Q と y 軸との距離は
点 Q を中心とする半径
x'＋ay'－1＝0
1－a 2
2a
，y'＝
2
1＋a
1＋a 2
 1－a 2
2a

，
2
1＋a 2
 1＋a



1
の円が y 軸と共有点をもつとき，a の値の範囲を求めよ。
2
1－a 2
1＋a 2
1
の円が y 軸と共有点をもつから，
2
1－a 2
1
≦
1＋a 2
2
2| 1－a2 |≦| 1＋a2 |
両辺を 2 乗して， 4(1－a2)2≦(1＋a2)2
3a4－10a2＋3≦0
1
よって， ≦a2≦3
3
ゆえに，
－ 3 ≦a≦－
3
3
，
≦a≦ 3
3
3
〔数学Ⅱ〕第 2 章／演習問題 B
323
検印
年
組
番／名前
【289】
放物線 y＝x2－1 と直線 y＝kx の 2 つの交点を P，Q とし，P と Q で放物線に接線を引き，その
交点を R とする。実数 k を変化させたとき，点 R の軌跡を求めよ。
2 点 P，Q の座標をそれぞれ(α，kα)，(β，kβ)とおく。ただし，α＜β とする。
α，β は，2 次方程式 x2－1＝kx
すなわち，x2－kx－1＝0 の解である。
解と係数の関係から，
α＋β＝k，αβ＝－1
2
放物線 y＝x －1 上の点(α，α2－1)を通る傾き m の直線 y＝m(x－α)＋α2－1 がこの放物線に
接するとすると，
x2－1＝m(x－α)＋α2－1
すなわち，x2－mx－α2＋mα＝0 が重解をもつ。
判別式を D とすると，D＝m2－4(－α2＋mα)＝0
(m－2α)2＝0 から，
m＝2α
よって，2 点 P，Q における放物線の接線はそれぞれ
y＝2α(x－α)＋α2－1， y＝2β(x－β)＋β2－1
すなわち，
y＝2αx－α2－1， y＝2βx－β2－1
これらの交点 R の座標は
x＝
β2－α2 α＋β k
α＋β
2
＝
＝， y＝2α 
 －α －1＝αβ－1＝－2
2(β－α)
2
2
 2 
k が実数全体を動くことから，求める軌跡は直線 y＝－2
〔数学Ⅱ〕第 2 章／演習問題 B
324
検印
年
組
番／名前
【290】
0 でないどんな実数 m に対しても放物線 my＝m2x2＋2m2x＋(m＋1)2 が通らない点(x，y)の範囲を
図示せよ。
m について整理すると，
(ⅰ) x＝－1 のとき，①は
(x2＋2x＋1)m2－(y－2)m＋1＝0
(x＋1)2m2－(y－2)m＋1＝0
……①
(y－2)m－1＝0
……②
y＝2 であれば，m の値はない。
よって，
点(－1，2)は通らない。
(ⅱ) x≠－1 のとき，①の判別式を D とすると，実数解をもたない条件は
D＜0
よって，
(y－2)2－4(x＋1)2＜0
(2x－y＋4)(2x＋y)＞0
2 x－y＋4＞0
2 x－y＋4＜0
ゆえに， 
または 
2 x＋y＞0
2 x＋y＜0
(ⅰ)，(ⅱ)より，求める点(x，y)の範囲は図の斜線部分である。ただし，境
界の直線は含まないが，交点(－1，2)は含む。
〔数学Ⅱ〕第 2 章／演習問題 B
325
検印
年
組
番／名前
【291】
連立不等式 x2－2x＋y2－2y≦0，x－2y＋1≦0 で表される領域と直線 y－kx－k－1＝0 が共有点を
もつような k の値の範囲を求めよ。
x2－2x＋y2－2y≦0 から，
x－2y＋1≦0 から，
(x－1)2＋(y－1)2≦2
y≧
1
1
x＋
2
2
よって，連立不等式の表す領域は右の図の斜線部分である。ただ
し，境界を含む。
直線 y－kx－k－1＝0 は y－1－k(x＋1)＝0 であるから，定点
A(－1，1)を通る。
直線 y＝
1
1
x＋と円(x－1)2＋(y－1)2＝2 の交点で，x 座標の小さい
2
2
方を B とする。
2
1
5  2 10
1
(x－1)2＋  x－  ＝2 から， x＝
5
2
2


x＝
5－2 10
5－ 10
のとき， y＝
5
5
よって，点 B の座標は
 5－2 10 5－ 10 


，

5
5 

直線 y－kx－k－1＝0 が点 B を通るとき，k は最小となり，
5－ 10
－1
y－1
2＋ 10
5
k＝
＝
＝－
x＋1 5－2 10
6
＋1
5
直線と円が接するとき，y を消去して，(x－1)2＋(kx＋k)2＝2
(k2＋1)x2＋2(k2－1)x＋k2－1＝0
判別式を D とすると，
D＝4(k2－1)2－4(k2＋1)(k2－1)＝－8(k2－1)＝0
よって， k＝±1
円の上側で接する k は最大となり， k＝1
したがって，求める k の範囲は
－
2＋ 10
≦k≦1
6
〔数学Ⅱ〕第 2 章／演習問題 B
326

Download Report