2015　特選理系　数学演習a　1学期中間⑫ (　)組(　)番　名前(　)　１ ¦ABC において，AB=8，BC=7，CA=5 とし，内心を I とする。 A AI を AB，AC で表せ。 8 5 I B ２ 7 D C 平面上の三角形 ABC の 3 辺を AB=4，BC=5，CA=6 とする。AB= b，AC= c とおき，三角形 ABC の内接円の中心 (内心) を P とするとき，AP を b，c で表せ。 -1- ３ △ABC において，AB=3 ，BC= U 7 ，CA=2 とし，外心を O とする。 (1)　AB ･ AC を求めよ。 A (2)　AO を AB，AC を用いて表せ。 M N C B O ４ △ABC において，AB=4 ，AC=2 ，AB ･ AC=-4 とする。△ABC の外心を O とするとき，AO を AB，AC を用いて表せ。(滋賀大改) -2- １ s　AI= 1 2 AB+ AC 4 5 ２ s　AP= 2 4 b+ c 5 15 ３ s　(1)　3　(2)　AO= ４ s　AO= 4 1 AB+ AC 9 6 5 4 AB+ AC 6 3 -3- １ ¦ABC の 4A の二等分線と辺 BC の交点を D とすると A BD：DC=AB：AC=8：5 5AB + 8AC 13 よって　AD= また，BD=7 ･ 8 5 8 56 = であるから 13 13 AI：ID=BA：BD=8： I 7 D B 56 =13：7 13 C 13 13 5AB + 8AC 1 2 AD = = AB+ AC ･ 20 20 13 4 5 よって　AI= t　△ABC の内心 I は4A の二等分線上にあるから， 8 AI= k AB + AB 9 AC AC = 1 1 kAB+ kAC 0 k は実数 1　…… ① 8 5 と表される。また，I は 4B の二等分線上にもあるから， BI= l と表される。 8 BA + BA BC BC 9 1 1 =- lAB+ lBC 0 l は実数 1　…… ② 8 7 BI=AI-AB ，BC=AC-AB を ② に代入して整理すると 8 AI= 1 - 15 1 l AB+ lAC …… ③ 56 7 9 AB ' 0 ，AC ' 0 ，ABTAC であるから，①，③ より 1 15 1 1 k =1l， k = l 8 56 5 7 ゆえに　k =2 ，l = ２ 14 1 2 よって　AI= AB+ AC 5 4 5 4A の二等分線と辺 BC の交点を D とすると A BD：DC=AB：AC=4：6=2：3 BC=5 であるから　BD=2 BP は 4B の二等分線であるから 6 4 AP：PD=AB：BD=4：2=2：1 2 2 3b + 2c 2 4 よって　AP= AD= ･ = b+ c 3 3 2+3 5 15 P b c B 2 3 D 5 -4- C ３ 2 2 2 (1)　BC = AC - AB = AC -2AB ･ AC+ AB 2 =4-2AB ･ AC+9 =13-2AB ･ AC BC = U 7 であるから　7=13-2AB ･ AC よって　AB ･ AC=3 (2)　点 O は △ABC の外心であるから，辺 AB，辺 AC の中点をそれぞれ M，N とすると，AB5MO，AC5NO である。ゆえに　AB ･ MO=0 ，AC ･ NO=0 AO= sAB+ tAC (s，t は実数) とすると，AB ･ MO=0 から AB ･ 0AO -AM1 =0 8 よって　AB ･ sAB+ tAC - 1 AB =0 2 9 2 ゆえに　0 2s -1 1 AB +2tAB ･ AC=0 …… ① また，AC ･ NO=0 から AC ･ 0AO -AN1 =0 8 よって　AC ･ sAB+ tAC - 1 AC =0 2 9 2 ゆえに　2sAB ･ AC+ 0 2t -1 1 AC =0 …… ② ここで， AB =3 ， AC =2 ，AB ･ AC=3 を ①，② にそれぞれ代入して整理すると 6s +2t =3 ，3s +4t =2 これを解いて　s = よって　AO= 4 1 ，t = 9 6 4 1 AB+ AC 9 6 -5- ４点 O は △ABC の外心であるから，辺 AB，辺 AC の中 A 点をそれぞれ M，N とすると，AB5MO，AC5NO M N である。 AO= sAB+ tAC 0 s，t は実数 1 とすると，AB ･ MO=0 から　AB ･ 0AO -AM1 =0 8 ゆえに　AB ･ sAB+ tAC - 1 AB =0 2 9 2 よって　0 2s -1 1 AB +2tAB ･ AC=0 …… ① また，AC ･ NO=0 から AC ･ 0AO -AN1 =0 8 ゆえに　AC ･ sAB+ tAC - 1 AC =0 2 9 2 よって　2sAB ･ AC+ 0 2t -1 1 AC =0 …… ② ここで　AB =4 ， AC =2 ，AB ･ AC=-4 これらを ①，② にそれぞれ代入して整理すると 4s - t =2 ，2s -2t =-1 これを解いて　s = ゆえに　AO= C B よって　AB ･ MO=0 ，AC ･ NO=0 5 4 ，t = 6 3 5 4 AB+ AC 6 3 -6- O