2015　特選理系　数学演習a　1学期中間③ (　)組(　)番　名前(　)　１ (1)　1 辺の長さが 7 の正三角形 ABC がある。辺 AB，AC 上に AD=3，AE=6 となるように 2 点 D，E をとる。このとき，BE，CD の交点を F，直線 AF と BC との交点を G とする。線分 CG の長さを求めよ。 (2)　¦ABC において，辺 AB 上と辺 AC の延長上にそれぞれ点 E，F をとり， AE：EB=1：2，AF：FC=3：1 とする。直線 EF と直線 BC との交点を D とするとき，BD：DC，ED：DF をそれぞれ求めよ。２ (1)　△ABC の辺 AB を 3：2 に内分する点を D，辺 AC を 4：3 に内分する点を E とし，BE と CD の交点を O とする。AO と BC の交点を F とするとき，BF：FC を求めよ。 (2)　△ABC の辺 AB を 3：1 に内分する点を P，辺 BC の中点を Q とし，線分 CP と AQ の交点を R とする。このとき，CR：RP を求めよ。３面積が 1 に等しい ¦ABC において，辺 BC，CA，AB を 2：1 に内分する点をそれぞれ L，M，N とし，線分 AL と BM，BM と CN，CN と AL の交点をそれぞれ P，Q，R とするとき (1)　AP：PR：RL= (2)　¦PQR の面積は４アウ：イ：1 である。である。右の図の三角形 ABC において，AE：EB=1：a， A BD：DC=1：b とする。ただし，a >0，b >0 である。 E P (1)　AP：PD を a，b を用いて表せ。 (2)　△APE：△ABC を a，b を用いて表せ。 B -1- D C ５終わった方用三角形 ABC において，辺 AB を 3：2 に内分する点を P，辺 AC を 5：2 に外分する点を Q，直線 PQ と辺 BC との交点を R とするとき， BR：CR= ウ６ア：イであり，三角形 APR の面積は三角形 ABC の面積の倍である。終わった方用三角形 ABC の辺 BC および CA を 1：2 に内分する点をそれぞれ D，E とし，AD と BE の交点を P とする。三角形 ABC の面積を S 1，三角形 PAB の面積を S 2 とするとき，面積比 S2 の値を求めよ。 S1 -2- １ s　(1)　7 (2)　BD：DC=6：1，ED：DF=4：3 9 ２ s　(1)　8：9　(2)　4：3 1 7 ３ s　(1)　(ア)　3　(イ)　3　(2)　(ウ)　４ s　(1)　0 1 + b1 ：ab　(2)　1：0 1 + a1 0 1+ b + ab1 ５ s　(ア)　5　(イ)　3　(ウ)　６ s　3 8 2 7 -3- １ (1)　AD=3，DB=7-3=4，AE=6，CE=7-6=1 A チェバの定理により 3 AD BG CE =1 ･･ DB GC EA ゆえに　D 3 BG 1 ･･ =1 4 GC 6 6 4 E F よって　BG=8GC 1 1 7 ゆえに　CG= ･ BC= ･ 7= 9 9 9 B GC 7 (2)　¦ABC と直線 EF について，メネラウスの定理により A BD CF AE =1 ･･ DC FA EB 1 E BD 1 1 ゆえに　･･ =1 DC 3 2 3 2 よって　BD：DC=6：1 ¦AEF と直線 BC について，メネラウスの定理により B C D 1 ED FC AB =1 ･･ DF CA BE ゆえに　1 F ED 1 3 ･･ =1 DF 2 2 よって　ED：DF=4：3 ２ (1)　チェバの定理により A AD BF CE =1 ･･ DB FC EA よって　ゆえに　3 3 BF 3 ･･ =1 2 FC 4 4 D BF 8 = FC 9 E O 2 B 3 F C すなわち　BF：FC=8：9 (2)　△PBC と直線 AQ について，メネラウスの定理により A BQ CR PA =1 ･･ QC RP AB よって　1 CR 3 ･･ =1 1 RP 4 ゆえに　CR 4 = RP 3 3 P R 1 すなわち　CR：RP=4：3 B -4- 1 Q 1 C ３ (1)　¦ABL と CN について，メネラウスの定理により A AN BC LR 2 3 LR =1　すなわち　･･ =1 ･･ NB CL RA 1 1 RA 3 M よって　LR：RA=1：6　…… ① また，¦ACL と BM について，メネラウスの定理に P 3 N より Q AM CB LP 1 3 LP =1　すなわち　･･ =1 ･･ MC BL PA 2 2 PA 2 B R1 L 1 C よって　LP：PA=4：3　…… ② ①，② から　AP：PR：RL= ア 3：イ 3：1 (2)　(1) と同様にして　BQ：QP：PM=3：3：1 ４よって　△ABL= 2 2 3 2 △ABC= ，△PBR= △ABL= 3 3 7 7 ゆえに　△PQR= ウ 1 1 △PBR= 2 7 (1)　△ABD と直線 CE について，メネラウスの定理により　よって　AE BC DP =1 ･･ EB CD PA 1 1 + b DP PA 1+b =1　ゆえに　= ･･ a b PA DP ab したがって　AP：PD= 0 1 + b1 ：ab (2)　△APE AE 1 △ABD BD 1 = = ， = = △APB AB 1+a △ABC BC 1+b A 1+b 1 E 更に，(1) から △APB AP 1+b = = △ABD AD 1 + b + ab よって　△APE △APE △APB △ABD = ･･ △ABC △APB △ABD △ABC = = 1 1+b 1 ･･ 1 + a 1 + b + ab 1 + b 1 0 1 + a1 0 1 + b + ab1 すなわち　△APE：△ABC=1：0 1 + a1 0 1+ b + ab1 -5- a B 1 D P ab b C ５ △ABC と直線 PQ について，メラネウスの定理よりよって　A 3 BR CQ AP =1 ･･ RC QA PB P 2 BR 2 3 ･･ =1 RC 5 2 5 C B R 2 BR 5 ゆえに　= RC 3 Q よって　BR：CR= ア 5：イ 3 また　△APR= 3 △ABR 3+2 = 3 5 △ABC ･ 5 5+3 = ６ウ 3 △ABC 8 △ADC と直線 BE について，メネラウスの定理により DB CE AP =1 ･･ BC EA PD よって　1 1 AP =1 ･･ 3 2 PD すなわち　AP =6 PD A 2 B したがって　1 C 1 D 3 ゆえに　AP：PD=6：1 よって　△PAB= E S2 P 1 6 1 2 △ABD= ･ △ABC = △ABC 6+1 7 3 7 S2 2 = S1 7 -6-