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圏論と選択公理
alg-d
http://alg-d.com/math/ac/
2014 年 9 月 28 日
※ 圏論については『圏論の基礎』や http://alg-d.com/math/category/ を参照．
この PDF では「圏」と書いたら「小さい圏」を表すものとする．
{Xλ }λ∈Λ を互いに素な非空集合の族とする．圏 X, Λ を次のように定める．
• まず Λ は離散圏とする．即ち Ob(Λ) := Λ で
{
1 (λ = ν)
|HomΛ (λ, ν)| =
0 (λ =
̸ ν)
∪
• X については Ob(X) := λ∈Λ Xλ として
{
|HomX (x, y)| =
1 (あるλ ∈ Λについて x, y ∈ Xλ となるとき)
0 (それ以外)
関手 L : X −→ Λ を Lx :=「x ∈ Xλ となる λ ∈ Λ」で定める．このように定義すれば，
{Xλ }λ∈Λ の選択関数とは L の右随伴関手のことである．
. .
. ) L ⊣ R : X −→ Λ とすれば，任意の x ∈ X, λ ∈ Λ に対して Homλ (Lx, λ) ∼
=
HomX (x, Rλ) である．ここで x ∈ Xµ とすれば Homλ (µ, λ) ∼
= HomX (x, Rλ)，即ち
µ = λ ⇐⇒ Rλ ∈ Xµ である．よって Rλ ∈ Xλ となり，R は選択関数である．
逆に R を選択関数とすれば Homλ (Lx, λ) ∼
= HomX (x, Rλ) が分かる．
故に，随伴関手の存在に関する定理から選択公理を導くことができる．
定理. 次の命題は (ZF 上) 同値．
1. 選択公理
1
2. C, D を圏，F : C −→ D を関手とする．任意の d ∈ D に対して F から d への普
遍射が存在するならば，F は右随伴を持つ．
3. C を余完備な圏，D を圏，F : C −→ D を余連続な関手とする．F は solution
set condition を満たすとする．このとき F は右随伴を持つ．(General Adjoint
Functor Theorem)
4. C を余完備かつ co-wellpowered で，generator を持つ圏，D を圏，F : C −→ D
を余連続な関手とする．このとき F は右随伴を持つ．(Special Adjoint Functor
Theorem)
5. 関手 F : C −→ D が圏同値 ⇐⇒ F が忠実充満かつ本質的全射
6. C, D, U を圏，F : C −→ D，E : C −→ U を関手として，各 d ∈ D に対して余極
E
限 colim(F ↓ d → C −
→ U ) が存在するとする．このとき F に沿った E の左 Kan
E
拡張 F † E が存在し，F † E(d) ∼
→ U ) である．
= colim(F ↓ d → C −
証明. 1=⇒2，1=⇒3，1=⇒4，1=⇒5，1=⇒6 は省略する．
(2 =⇒ 1) {Xλ }λ∈Λ を互いに素な非空集合の族とする．C, D, F として，上で定義した
X, Λ, L を取る．λ ∈ Λ とすると，任意の x ∈ Xλ に対して一意な射 Lx −→ λ が普遍射
である．よって L が右随伴を持つ．
(3 =⇒ 1) {Xλ }λ∈Λ を互いに素な非空集合の族とする．どの Xλ にも含まれない元 0, 1
を取っておく．0, 1 ∈
/ Λ としてよい．圏 C, D を次のように定める．
• Ob(C) :=
∪
λ∈Λ
Xλ ∪ {0, 1}



 1 (あるλ ∈ Λについて x, y ∈ Xλ となる)
• |HomC (x, y)| =
1 (x = 0 または y = 1)


 0 (それ以外)
• Ob(D) := Λ ∪ {0,
{1}
1 (x = 0 または y = 1 または x = y)
• |HomD (x, y)| =
0 (それ以外)
関手 F : C −→ D を

 0 (x = 0)
1 (x = 1)
F x :=

λ (x ∈ Xλ )
で定める．このとき C は余完備，F は余連続で solution set condition を満たす．故に
右随伴 G : D −→ C が存在する．すると x ∈ Xµ ，λ ∈ Λ に対して HomD (F x, λ) ∼
=
HomC (x, Gλ) だから，Gλ ∈ Xλ となり，G は選択関数である．
2
(4 =⇒ 1) 3=⇒1 と同じ圏を使用すればよい．
(5 =⇒ 1) {Xλ }λ∈Λ を互いに素な非空集合の族とする．上で定義した圏 X, Λ と
L : X −→ Λ を考える．明らかに L は忠実充満かつ本質的全射である．故に仮定 5 から
圏同値 X ∼
= Λ が成り立つ．よって関手 R : Λ −→ X で RL ∼
= idX ，LR ∼
= idΛ となるも
のが存在する．このとき λ ∈ Λ とすれば，L(Rλ) ∼
= λ だから Rλ ∈ Xλ が分かり，R が
{Xλ }λ∈Λ の選択関数である．
(6 =⇒ 1) {Xλ }λ∈Λ を互いに素な非空集合の族とする．C, D, F として，上で定義した
X, Λ, L を取る．また U := X ，E := idX と定める．
1
λ
Λ
L† idX
L
L↓ λ
X
X
idX
id
任意の λ ∈ Λ に対して余極限 colim(L ↓ λ → X −
→ X) は明らかに存在する．よって
L† idX : Λ −→ X が存在する．λ ∈ Λ を取る．Xλ ̸= ∅ だから，x ∈ Xλ が取れる．この
とき Lx = λ である．自然変換 η : idX =⇒ (L† idX ) ◦ L から射 ηx : x −→ L† idX (Lx) =
L† idX (λ) が得られる．よって圏 X の定義から L† idX (λ) ∈ Xλ でなければならない．
X op = X ，Λop = Λ であるから，選択関数は L : X −→ Λ の左随伴関手であることも
分かる．よって，先の命題の双対も選択公理と同値である．
定義. 圏 C が骨格的 ⇐⇒ f : c −→ d が同型射ならば c = d．
定義. 圏 C の骨格的な充満部分圏 S ⊂ C で「任意の c ∈ C に対してある s ∈ S が存在し
てc∼
= s となる」を満たすものを C の骨格という．
定理. 次の命題は (ZF 上) 同値．
1. 選択公理
2. 任意の圏は骨格を持つ．
3. 圏の骨格は (もし存在するならば) 同型を除いて一意である．
証明. (1 =⇒ 2) C を圏とする．選択公理により，商集合 Ob(C)/∼
= の完全代表系 S を取
る．S を充満部分圏 S ⊂ C と見なせば，S が骨格である．
(2 =⇒ 1) {Xλ }λ∈Λ を互いに素な非空集合の族とする．上で定義した圏 X の骨格 S を
取れば，明らかに Ob(S) が {Xλ }λ∈Λ の選択集合である．
3
(1 =⇒ 3) C を圏，S, T ⊂ C を骨格とする．s ∈ S とすると，T が骨格だから F s ∈ T
が一意に存在して s ∼
= F s となる．このとき As := {f : s −→ F s | f は同型射 } ̸= ∅ で
∏
ある．よって選択公理により (fs )s∈S ∈
As を取ることができる．f : s0 −→ s1 に対
s∈S
して F f : F s0 −→ F s1 を F f := fs1 ◦ f ◦ fs−1
により定めれば，F : S −→ T は関手で
0
ある．
s0
fs0
F s0
f
s1
Ff
fs1
F s1
この F が圏同型である．
(3 =⇒ 1) 選択公理と同値な次の命題を示す．
非空集合の族 {Xλ }λ∈Λ は全ての Xλ の濃度が等しいとする．
このときあるλ0 ∈ Λと写像の族 {fλ }λ∈Λ が存在して
「各λ ∈ Λに対して fλ : Aut(Xλ0 ) −→ Aut(Xλ ) は群同型」を満たす．
※ 証明は集合に関する命題を参照．
{Xλ }λ∈Λ を非空集合の族で，λ ̸= µ に対して |Xλ | = |Xµ | であるとする．λ0 ∈ Λ を一
つ取る．圏 C を Ob(C) := Λ × {0, 1} で

Bij(Xλ0 , Xλ0 )




Bij(X

λ , Xλ )
Bij(Xλ0 , Xλ )
HomC (⟨λ, i⟩, ⟨µ, j⟩) =


Bij(Xλ , Xλ0 )



∅
(i = j = 0, λ = µ)
(i = j = 1, λ = µ)
(i = 0, j = 1, λ = µ)
(i = 1, j = 0, λ = µ)
(それ以外)
但し，Bij(X, Y ) := {f : X −→ Y | f は全単射 }
により定める．i = 0, 1 に対して Ci := Λ × {i} と置けば，明らかに C0 , C1 ⊂ C は
骨格である．故に仮定 3 により圏同型 F : C0 −→ C1 が存在する．関手 F から全単射
Fλ : Aut(Xλ0 ) −→ Aut(Xλ ) が得られる．
4

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