第 1 回レポート問題解答位相幾何学 BI (担当: 新國) 2015 年 5 月 12 日 (火) 問題. 以下の大問 1 , 2 , 3 の全てに解答せよ. 講義で述べた各命題は用いて良い. 1 X, Y をそれぞれ集合とし, f : X → Y を写像とする. このとき, 次が成り立つことを示せ. (1) ある写像 g : Y → X が存在して, g ◦ f = idX が成り立つならば, f は単射であることを示せ. (2) ある写像 g : Y → X が存在して, f ◦ g = idY が成り立つならば, f は全射であることを示せ. (3) ある写像 g : Y → X が存在して, g ◦ f = idX , f ◦ g = idY が同時に成り立つならば, f は全単射で, 特に g = f −1 であることを示せ. 2 X, Y をそれぞれ位相空間とし, x0 ∈ X, y0 ∈ Y とする. いま, 位相空間対のある連続写像 φ : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) , ψ : (Y, y0 ) −→ (X, x0 ) が存在して, ψ ◦ φ ≃ idX (rel. {x0 }) , φ ◦ ψ ≃ idY (rel. {y0 }) が成り立つならば, φ が誘導する基本群の準同型写像 φ♯ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 ) は同型写像で, また, ψ が誘導する基本群の準同型写像 ψ♯ : π1 (Y, y0 ) −→ π1 (X, x0 ) は, φ♯ の逆写像であることを示せ. 1 3 R3 の部分集合 M を { } M = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 = 1, 0 ≤ x3 ≤ 1 で定義し, R3 の相対位相によって位相空間とみなす. このとき, M は単位円周 { } S1 = (x1 , x2 ) ∈ R2 | x21 + x22 = 1 とホモトピー同値であることを示せ. 以上解答. 1 (1) x1 , x2 ∈ X に対し, f (x1 ) = f (x2 ) g ◦ f (x1 ) = g ◦ f (x2 ) =⇒ g◦f =idX =⇒ idX (x1 ) = idX (x2 ) =⇒ x1 = x2 . 即ち f は単射である. (2) 任意の y ∈ Y に対し, x = g(y) ∈ X とおくと f (x) = f (g(y)) = f ◦ g(y) f ◦g=idY = idY (y) = y. 即ち f は全射である. (3) 仮定より, ある写像 g : Y → X が存在して, g ◦ f = idX , f ◦ g = idY が同時に成り立つ. このとき (1), (2) より, f は単射かつ全射となるから, 故に全単射である. 従って f の逆写像 f −1 が存在するが, いま, 任意の y ∈ Y に対し f (g(y)) = f ◦ g(y) = idY (y) = y = f (f −1 (y)) となり, f は単射であるから g(y) = f −1 (y) である. 即ち g = f −1 である. 2 まず, ψ ◦ φ ≃ idX (rel. {x0 }) であるから, 講義における命題 1.3.2 及び補題 1.3.5 より, ψ♯ ◦ φ♯ 命題 1.3.2 (2) = (ψ ◦ φ)♯ 補題 1.3.5 = (idX )♯ 命題 1.3.2 (1) = idπ1 (X,x0 ) (i) となる. 一方, φ ◦ ψ ≃ idY (rel. {y0 }) であるから, やはり命題 1.3.2 及び補題 1.3.5 より, φ♯ ◦ ψ♯ 命題 1.3.2 (2) = (φ ◦ ψ)♯ 補題 1.3.5 = 2 (idY )♯ 命題 1.3.2 (1) = idπ1 (Y,y0 ) (ii) となる. 故に (i), (ii) と 1 (3) より, φ♯ は全単射となり, 従って群の同型写像である. 更に, ψ♯ は φ♯ の逆写像である. 3 S1 を R3 の部分位相空間 {(x1 , x2 , 0) ∈ R3 | x21 + x22 = 1} とみなす. いま, 写像 r : M → S1 を, (x1 , x2 , x3 ) ∈ M に対し r (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , 0) で定義し, 一方, i : S1 → M を包含写像とする. 即ち, (x1 , x2 , 0) ∈ S1 に対し i (x1 , x2 , 0) = (x1 , x2 , 0) である. r と i はいずれも連続写像である. このとき, 合成写像 r ◦ i : S1 → S1 について, (x1 , x2 , 0) ∈ S1 に対し r ◦ i (x1 , x2 , 0) = r (i (x1 , x2 , 0)) = r (x1 , x2 , 0) = (x1 , x2 , 0) であるから, r ◦ i = idS1 となる. 特に r ◦ i ≃ idS1 (iii) である. 一方, 合成写像 i ◦ r : M → M について, (x1 , x2 , x3 ) ∈ M に対し i ◦ r (x1 , x2 , x3 ) = i (r (x1 , x2 , x3 )) = i (x1 , x2 , 0) = (x1 , x2 , 0) となる. そこで I = [0, 1] を単位閉区間として, 写像 F : M ×I → M を, (x1 , x2 , x3 , t) ∈ M × I に対し1 F (x1 , x2 , x3 , t) = (x1 , x2 , tx3 ) で定義する (0 ≤ x3 ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 から 0 ≤ tx3 ≤ 1 であることに注意). これは連続で, 任意の (x1 , x2 , x3 ) ∈ M に対し F (x1 , x2 , x3 , 0) = (x1 , x2 , 0) = i ◦ r (x1 , x2 , x3 ) , F (x1 , x2 , x3 , 1) = (x1 , x2 , x3 ) = idM (x1 , x2 , x3 ) となる. 従って i ◦ r ≃ idM (iv) である. (iii), (iv) より, r : M → S1 をホモトピー同値写像として, M と S1 はホモトピー同値である2 . 1 本来は 2x 0 ((x1 , x2 , x3 ) , t) と書くべきであろうが, ウザいので単にこのように表す. = (1, 0, 0) ∈ M 及び任意の t ∈ I に対し, F (x0 , t) = F (1, 0, 0, t) = (1, 0, 0) = x0 であるから, i ◦ r ≃ idM (rel. {x0 }) である. 一方, 明らかに r ◦ i ≃ idS1 (rel. {x0 }) も成り立つので, 定理 1.3.7 から, ホモトピー同値写像 r は基本群の間の同型写像 ( ) ∼ = r♯ : π1 (M, x0 ) −→ π1 S1 , x0 ( ) を誘導する. π1 S1 , x0 ∼ = Z であったから (定理 1.3.8), アニュラス M の基本群も Z に同型である. 3