一点の運動 —位置、速度、加速度— ■ 位置を表す。 • デカルト伝説朝、眠くてウトウトしていると、天井から蜘蛛が降りてきた。これを見て、蜘蛛の位置の記述法にはたと気づいた。 • 直積分解点 P の位置は x の位置、y の位置、z の位置に分解できる。 • オイラーの解析力学点 P の運動は x の動き、y の動き、z の動きに分解できる。 x の動きは時間 t から x への関数 x(t) で記述できる。 z P (x,y,z) O x y ■ 速度 (Velocity)って何だ? • 速度とは位置の時間変化「率」 • 単位時間あたりの位置の変化量と言ってもよい。 • 言い換えれば、位置の変化量の時間の変化量に対する「比」を速度という。速度 = 位置の変化量経過した時間 . • ニュートンは、時間の関数を「流量」、時間に関する変化率を「流率」、と呼んだ。ニュートンによる流量と流率の間の関係の発見が「微積分の発見」と言われている。ニュートンの場合、独立変数は「時間」であり、流量 x にたいして、流率は x˙ と表記された。 ■ 変化量変化量=(最後の値)-(始めの値) 変化量=(値)-(基準値) • 位置の変化量を変位という。途中経過を考えない。歴史を引きずらない。 • 半径 r の円周を一周しても、変位は 0. もとに戻っているから。しかし、動いた距離は 2πr ■ 速度と速さは何が違う？ Velocity - Speed • 速度は大きさと方向を持つ量。 ∗ 直線上の運動でも速度はマイナスになることがある。 • 速さは大きさだけ。 ∗ 速さは正またはゼロの量 ■ 速度はどうすれば測れるか物理の概念はどのように測るかに基づいて、実験的に定義される (操作的な定義)。物理が分かるとは測り方が分かること。 • 時計で時間を測る。 • ものさしで位置を測る。 ∗ 初めの位置 x1 と時間 t1、最後の位置 x2 と時間 t2 を測って x2 − x1 . v= t2 − t1 比が一定なら、これでよし。 ∗ 横軸に時間、縦軸に位置をとってグラフを書くと、比が一定なら、直線のグラフになり、速度はその傾き。 ■ 速度が変化するとき、どうすれば測定できるか微小な時間間隔に分けて、何度も何度も、位置と時間を観察すればよい。速度の求めかた —- 例時計の読み 0.1 s 0.2 s 0.3 s 0.4 s ... 定規の読み 5.21 cm 読みの差時間変化率 2.14 cm 21.4 cm/ s 1.67 cm 16.7 cm/ s 0.53 cm 5.3 cm/ s ... ... 7.35 cm 9.02 cm 9.55 cm ... ■ 「平均の速度」と「速度」 • 前の例では、速度は隣り合う２つの時間のちょうど真ん中の時間でのものと考えた。 • 厳密には、２つの時間の間のどこかの速度であるとしかいえない。 • しかし、観測間隔を小さくすると、速度の値は正確になっていく。 • それで十分だというのが微積分。平均の速度と速度が一致する時間がわからないとき、微積分が役に立つ。 • 一致する時間が明らかなとき、微積分は不要である。ニュートンは「プリンキピア」では微積分を使わず、作図で力学を厳密に論じている。ニュートンは、時間とは何か、空間とは何か、を考えたかったので、あえて、微積分を使わなかった。 ■ 平均値の定理平均速度速度 x 平均値の定理 x x dx Δx dt Δt t1 t2 t t t1 t2 t 平均の速度と速度が一致する時間が考えている時間内にかならず「存在」する。存在するというだけで、いろいろなことが言える。それが微分学。存在する点がどこかを計算（作図）できるなら、微分はいらない。 ■ 位置は t-v のグラフの面積から求められる。 • もし速度 v が一定なら, 時間 tA から時間 tB までの変位 v × (tB − tA) 速度 v は長方形の面積。 S v < 0 なら面積は負であることに注意。物理では長さや面積や体積まで符号つきで考える。 tA tB 時刻 • もし速度 v が一定の割合で変化するなら, 時間 tA から時間 tB までの変位 (xB − xA) は平均の速度が中央の時間での速度に等し v vB いと置くと vB + vA xB − xA = tB − tA 2 (vB + vA) xB − xA = × (tB − tA) 2 これは台形の面積の公式である。 vA S tA tB t • 速度 v が一定でなかったら、時間を細かく区切って考える。物理の公式を考えるこつ：まず、変数が定数の場合を考えて、つぎに時間を細かく区切って考える。 v 変位は面積で表される。面積は積分で求められる。 ∫ t 2 r= vdt t1 t1 t2 t ■ 加速度 (Acceleration)って何だ？ • 速度の時間変化率。 • 速度の変化量の時間の変化量に対する比 a= 速度の変化時間の経過 • 速度と加速度は次元のまったく異なる量である。加速度の単位は m s−2 どうすれば加速度を測れるか? — 例時計と定規があれば測れる。時計 0.1 s 0.2 s 位置 5.21 cm 差速度 2.14 cm 21.4 cm/ s 7.35 cm 1.67 cm 0.3 s 9.02 cm 0.53 cm 0.4 s 16.7 cm/ s 加速度 −4.7 cm/ s −47.0 cm/ s2 −11.4 cm/ s −114 cm/ s2 ... ... 5.3 cm/ s 9.55 s ... 差 ... 等加速度運動の場合、横軸を時間、縦軸を速度としたグラフは直線になる。加速している場合は傾きは正、減速の場合は傾きは負。 v S t1 t2 t 面積から変位が分かることも思い出しておこう。 ■ 相対 • 絶対位置 = 位置 - 原点の位置。原点など、どこにあってもいいから、絶対位置に意味はない。空間のベクトルは平行移動してもよかったことを思い出せ。 • 相対位置 = 位置 - 基準の位置 • 相対速度 = 速度 - 基準の速度 ■ 絶対空間論争 • ニュートン (1642–1727) は絶対空間のなかでの一点の運動を考えた。 • バークリー (1685–1753) は、運動はすべて相対的で、絶対空間などありえないと主張した。バークリー「流率法の存在を信ずる程のものは宗教上の神秘に信を置くにも抵抗を感じるべからず。」 • マッハ (1838–1916) は絶対空間は宇宙全体の物質の運動から決まると主張した。 • アインシュタイン (1879–1955) はマッハの考えにしたがって、相対性理論を作った。 ■ 微分記法にかんする注意 • 加速度は速度の微分であり、速度は位置の微分だから a(t) = dv dt = d( dx dt ) これを次のように略記することが多い。 a(t) = d2 x dt2 dt ■ ライプニッツ • 人間の思想全体に対する普遍的な象徴言語である記号論の創始者。 • 微積分の記号はライプニッツの画期的な発明である。 • オイラーはライプニッツの記号を用いて、力学の問題を次々と解いていった。運動の法則を ma = f と書いたのは、オイラーである。 • ライプニッツの記号による形式的な操作は、正確な意味が定義されておらず、厳密性に欠けるものであったが、新しい問題を解く上ではあまりにも強力であった。強力過ぎてニュートンの「プリンキピア」は顧みられなかった。