Hausaufgabe 2

Prof. Sibylle Gemming
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Robert Wenisch
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Theoretische Physik (Quantentheorie)
Hausaufgabe 2 (Abgabe: 25.11.2015)
Klein-Gordon-Gleichung, Bra-Ket-Notation, Erwartungswerte,
gekoppelter Potentialkasten
Aufgabe 2/1: Eigenfunktionen des Wasserstoffatom
Die Schrödinger-Form der Klein-Gordon-Gleichung lautet iℏ∂t Ψ = Ĥf Ψ mit
( )
(
)
p̂2
φ
0 −i
2
(σ3 + iσ2 ) + σ3 m0 c , Ψ =
, σ2 =
und
Ĥf =
χ
i 0
2m0
(
)
1 0
σ3 =
.
0 −1
Man zeige durch Anwendung des Operators Ĥf + iℏ∂t , dass jede Komponente von Ψ die KleinGordon-Gleichung −ℏ2 ∂t2 ψi = [p̂2 c2 + m20 c4 ] ψi erfüllt.
Aufgabe 2/2: Bra-Ket-Notation
In der Bra-Ket-Notation werden die Elemente eines Hilbertraums H geschrieben als |Ψ⟩. Welche der folgenden Aussagen sind wahr. Begründen Sie Ihre Entscheidung und berichtigen Sie
gegebenenfalls falsche Aussagen (Ein einfaches negieren der Aussage ist nicht gesucht!).
a) Wenn {|Ψi ⟩} eine Basis in H ist, so lässt sich jedes |φ⟩ ∈ H schreiben als |φ⟩ =
∑
ci |Ψi ⟩.
b) Wenn {|Ψi ⟩} eine orthogonale Basis in H ist, so gilt ⟨Ψi | Ψj ⟩ = δij .
c) Wenn {|Ψi ⟩} eine orthonormal Basis in H ist, so ist |Ψi ⟩ ⟨Ψi | = 1.
Aufgabe 2/3: Erwartungswerte
⟨ ⟩
Es sei H ein Hilbertraum und Â : H → H ein linearer Operator. Der Erwartungswert Â (|Ψ⟩)
⟨ ⟩
mit |Ψ⟩ ∈ H ist definiert
als
Â (|Ψ⟩) := ⟨Ψ| Â |Ψ⟩.
⟨ ⟩
Ist diese Abbildung Â : H → R ebenfalls linear?
Aufgabe 1/4: Gekoppelte Potentialtöpfe
Betrachtet werden soll ein System gekoppelter Potentialtöpfe:
{
−V0 für d2 < |x| < a + d2
V (x) =
0
für
sonst
Ermitteln Sie das Eigenwertspektrum
des zugehörigen Hamiltonoperators mit dem Ansatz |Ψ⟩ =
⟩
α |φI ⟩+β |φII ⟩, wobei φI/II die Grundzustandsfunktionen für isolierte Töpfe sind. Vergleichen
Sie das Ergebnis mit dem des Wasserstoffmolekülions H+
2.

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