Rand- und Eigenwertprobleme – Sommersemester 2015 Handout

Institut für Analysis
Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Prof. Dr. Wolfgang Reichel
Rand- und Eigenwertprobleme – Sommersemester 2015
Handout zur Funktionalanalysis/Hilberträume
Ref.: W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd Ed., McGraw-Hill, 1987, Chapter 4.
Definition F.1 (Beschränkte lineare Operatoren) Seien (X, k·k) und (Y, |||·|||) normierte
Räume. Ein linearer Operator A : X → Y heißt beschränkt, falls
kAk :=
|||Ax|||
< ∞.
x∈X\{0} kxk
sup
Im Fall Y = R heißen beschränkte lineare Operatoren auch beschränkte lineare Funktionale. Ferner gilt: ein linearer Operator ist stetig genau dann, wenn er beschränkt ist.
Definition F.2 (Hilberträume) Sei H ein reeller Vektorraum mit Innenprodukt h·, ·i,
d.h.
(i) hx, yi = hy, xi für alle x, y ∈ H,
(ii) für alle x ∈ H gilt hx, xi ≥ 0 und hx, xi = 0 genau dann wenn x = 0,
(iii) hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi für alle x, y, z ∈ H und für alle α, β ∈ R.
Dann wird durch
kxk :=
p
hx, xi
eine Norm auf H definiert. Ist H bezüglich dieser Norm vollständig, dann heißt (H, h·, ·i)
Hilbertraum.
Definition F.3 (Orthogonalität) Sei h·, ·i ein Innenprodukt auf dem reellen Vektorraum
H und sei V ⊂ H.
(i) x ⊥ y :⇔ hx, yi = 0,
(ii) x ⊥ V :⇔ x ⊥ v für alle v ∈ V ,
(iii) V ⊥ := {x ∈ H : x ⊥ V }.
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Theorem F.4 (Abstandsminimierer) Sei (H, h·, ·i) ein Hilbertraum und sei V ⊂ H
ein abgeschlossener Untervektorraum. Dann gilt:
(i) ∀x ∈ H existiert genau ein v0 ∈ V mit
kx − v0 k = dist(x, V ) = inf kx − vk.
v∈V
Außerdem gilt x − v0 ⊥ V .
(ii) H = V ⊕ V ⊥ .
Theorem F.5 (Riesz’scher Darstellungssatz) Sei (H, h·, ·i) ein reeller Hilbertraum und
sei φ : H → R ein beschränktes lineares Funktional. Dann gibt es genau ein Element u ∈ H
mit
φ(x) = hu, xi für alle x ∈ H.
Außerdem gilt: kφk = kuk.
Definition F.6 (Separable Räume) Ein Banachraum (X, k · k) heißt separabel, falls es
eine abzählbare Menge Z = {z1 , z2 , z3 , . . .} ⊂ X gibt mit Z = X.
Beispiele: Lp (Ω), W k,p (Ω) sind separabel, falls 1 ≤ p < ∞. L∞ (Ω), W k,∞ (Ω) sind nicht
separabel, falls Ω offen und nichtleer ist.
Definition F.7 (Orthonormalsystem) Sei (H, h·, ·i) ein reeller, unendlichdimensionaler Hilbertraum. Eine Menge B = {ui : i ∈ N} ⊂ H heißt Orthonormalsystem, falls
gilt
hui , uj i = δij ∀i, j ∈ N.
Theorem F.8 (Konvergenz der abstrakten Fourier-Reihe) Sei (H, h·, ·i) ein reeller
Hilbertraum und sei B = {ui : i ∈ N} ein Orthonormalsystem. Dann ist für jedes u ∈ H
die Reihe
∞
X
û :=
hu, ui iui (abstrakte Fourier-Reihe)
i=1
konvergent.
Definition F.9 (Orthonormalbasis) Sei (H, h·, ·i) ein reeller, unendlichdimensionaler
Hilbertraum. Gilt für ein Orthonormalsystem B = {ui : i ∈ N}
u=
∞
X
hu, ui iui
für alle u ∈ H,
i=1
dann heißt B Orthonormalbasis.
Theorem F.10 (Existenz von Orthonormalbasen) Sei (H, h·, ·i) ein reeller separabler Hilbertraum. Dann besitzt H eine Orthonormalbasis.
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