GRUNDLAGEN DER ANALYSIS, TOPOLOGIE UND GEOMETRIE (WWU 2016) 77 24. A BLEITUNGEN VON F UNKTIONEN UND GLATTEN A BBILDUNGEN Sei wieder M eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension m, sei p ∈ M und v ∈ Tp M. Dann definieren wir die Ableitung einer Funktion f , die auf einer Umgebung von p definiert und glatt ist, in Richtung von v, indem wir eine Karte (U, φ) um p wählen, als Dv f := D( f ◦ φ−1 )φ(p) v(φ) ∈ C. Für jede andere Karte (V, ψ) um p ergibt sich nach Kettenregel D( f ◦ ψ−1 )ψ(p) v(ψ) = D( f ◦ ψ−1 )ψ(p) D(ψ ◦ φ−1 )φ(p) v(φ) = D( f ◦ φ−1 )φ(p) v(φ) . {z } | =v(ψ) Wir bemerken: (D1) Für jede Kurve ω ∈ T p M kann man die Ableitung Richtung ω̇(0) ohne Karte bilden, indem man die Funktion f ◦ ω in 0 ableitet: Dω̇(0) f = D( f ◦ φ−1 )φ(p) ω̇(0)(φ) = D( f ◦ φ−1 )φ(p) (φ ◦ ω)0 (0) = ( f ◦ ω)0 (0). (D2) Ist auch g eine um p glatte Funktion, so folgt aus (D1) und der Produktregel Dv ( f g) = f (p)Dv g + g(p)Dv f . (D3) Offenbar hängt Dv f nur von f |W für beliebig kleine Umgebungen W von p ab. (D4) Der Vektor v(φ) und somit v ist durch Dv vollständig bestimmt, denn (φ) Dv φi = D(φi ◦ φ−1 )φ(p) v(φ) = vi , | {z } x7→xi also v(φ) = (Dv φ1 , . . . , Dv φm ). Bemerkung 24.1. Eine Derivation auf C∞ (M) in p ist eine lineare Abbildung δ : C∞ (M) → C mit δ( f ) = f (p)δ(g) + g(p)δ( f ) für alle f , g ∈ C∞ (M). Solche Derivationen bilden alg einen Untervektorraum von Hom(C∞ (M), C), den wir mit Tp M bezeichnen. Man kann alg zeigen: Die Abbildung Tp M → Tp M, v 7→ Dv , ist ein linearer Isomorphismus.