Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. Dr. C. Tischendorf Dr. Johannes Brödel, Dr. Phi Ha, Dr. Irina Kmit Lineare Algebra und Analytische Geometrie II 6. Übungsblatt Aufgabe 1 (12 Punkte). Sei A eine (3 × 3)-Matrix mit tr(A) = 0. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Cayley-Hamilton, dass 1 det A = tr(A3 ) . 3 Hinweis: tr(A) ist die Spur (engl.: trace) von A, d.h. tr(A) = a11 + a22 + a33 . Aufgabe 2 (2+2+4+4+2=14 Punkte). Die Folge (an )n∈N sei definiert durch: a0 := 0, a1 := 1, an+2 := an+1 + an . 1 1 (a) Stellen Sie diese Folge mit Hilfe der Matrix A = geeignet dar! 1 0 (b) Zeigen Sie, dass die Eigenwerte der Matrix A gleich Φ und 1 − Φ sind, √ 1+ 5 wobei Φ = 2 der goldene Schnitt ist. (c) Bestimmen Sie einen Eigenvektor v1 zum Eigenwert λ1 = Φ und einen Eigenvektor v2 zum Eigenwert λ2 = 1 − Φ. (d) Sei S ∈ M (2 × 2, R) die Matrix, für die die erste Spalte gleich v1 und die zweite Spalte gleich v2 ist. Zeigen Sie, dass dann für alle n ≥ 0 gilt: n Φ 0 n . A S=S 0 (1 − Φ)n (e) Weisen Sie damit folgende Formel für das n-te Folgenglied nach: an = 1 (Φn − (1 − Φ)n ) . 2Φ − 1 Aufgabe 3 (4+6+4=14 Punkte). Die Matrix A zur Abbildung C3 → C3 x 7→ Ax 1 SS 2016 ist durch   0 0 1 A = 1 0 0 0 1 0 gegeben. (a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom pA (t) und die drei Eigenwerte λ1 , λ2 , λ3 ∈ C von A. (b) Finden Sie zu jedem Eigenwert λi ∈ C einen normierten Eigenvektor vi (d.h. ||vi ||2 = vi T vi = 1). (c) Bestimmen Sie eine Matrix S, so dass S −1 A S eine Diagonalmatrix ist. Tipp: Benutzen Sie die Eigenvektoren, um S zu bilden. Aufgabe 4 (4+2+4=10 Punkte). Seien A, B zwei quadratische Matrizen. In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass die charakteristischen Polynome ihrer beiden möglichen Produkte, pAB und pBA , übereinstimmen. (a) Zeigen Sie zunächst, dass für eine beliebige Matrix B und Matrizen Cr von der Form Ir 0 Cr = 0 0 gilt pCr B (λ) = pBCr (λ) . (b) Zeigen Sie, dass das charakteristische Polynom invariant unter einem Basiswechsel ist, d.h. für beliebige quadratische Matrizen M gilt pT −1 M T (λ) = pM (λ), falls T eine reguläre Matrix (mit passender Zeilenanzahl) ist. (c) Für jede Matrix A gibt es invertierbare Matrizen S, T so dass A = S −1 Cr T wobei r = rang(A). Nutzen Sie diese Aussage sowie die Resultate der Teilaufgaben (a) und (b), um zu beweisen, dass pAB (λ) = pBA (λ) . 2