Blatt 42 - Blatt 1 | Rechtecke

Mathe 10 | Blatt 42
gebrochen-rationale Funktionen
f (x )=
x 2+ x−2
x 2+2 x−3
maximale Definitionsmenge:
0=x 2 +2 x−3⇒ x 1=1; x 2 =−3
D=ℝ∖ {−3;1 }
Nullstellen:
0=x 2 +x−2⇒ x 3=1; x 4 =−2
x 1 ist eine einfache Nullstelle des Zählers und des Nenners. Es ist also eine hebbare Definitionslücke.
Die Definitionslücke bei
x 2 ist nicht hebbar und somit eine Polstelle.
Aufgabe 1:
 Bestimme die maximale Definitionsmenge.
 Berechne die Nullstellen.
 Untersuche die Funktion auf Symmetrie zum Koordinatenursprung.
 Gebe die Art der Definitionslücken an.
 Skizziere den Graph der Funktion mit Hilfe einer Wertetabelle und zeichne die Asymptoten ein.
a)
f (x )=
x 2 −1
x 2−2 x +1
d)
f ( x )=
x 2−9
2
x −x−12
x 2 −1
g) f (x )= 2
x +1
b)
e)
x 2−4
2
x +4
c) f (x )=
x 2 −2 x +2
2
x −2 x +1
f)
f ( x )=
f (x )=
x 2 +4 x +5
h) f (x )= 2
x + 4 x +4
x 2−0,5 x−3
2
x −1,5 x−4,5
f ( x )=
x 2−9
2
x +9
x 2+1,5 x−1
i) f (x )=
2
x −4
Aufgabe 2: Bestimme die Grenzwerte für x gegen Plus- und Minusunendlich.
a)
f (x )=
2 x 2 −3
2
x −x +5
3 x 2−4 x
d) f (x )= 2
x −2 x−7
g) f (x)=
2 x 2−1
2
x +1
b)
f ( x)=
x 2−4 x
3
x +2
c) f (x)=
x 2 −x 3−3
e) f ( x)=
3
x +4
h)
f (x )=
x 3 + x−2
2
x +7 x+2
x 1−0,5 x 3 −3
2
2 x −4
x 2−9 x
f) f ( x)= 3
2
x +9 x
i)
f (x )=
x 2+1,5 x−x 3
3
x −4
Lösungshinweise
f (x )=
a)
x 2 −1
x 2−2 x +1
b)
D=ℝ∖ {1 }
Nullstellen:
d)
f ( x )=
g)
f (x )=
x 1 =−1
Nullstellen:
x 2 −9
2
x −x−12
f (x )=
e)
x 1=3
x 2−1
2
x +1
h)
f (x )=
x 1=−2; x 2=2
x 2−2 x +2
2
x −2 x +1
Nullstellen:
f)
Aufgabe 2:
a) 2;
b) 0;
x 2+4 x +5
2
x + 4 x +4
lim f ( x)=+∞ , lim f ( x)=−∞ ;
x →−∞
lim f ( x)=−∞ , lim f (x )=+∞ ;
x→+∞
x →+∞
i) -1
x 2−9
2
x +9
Nullstellen:
i)
f ( x )=
x 1=−3 ; x 2=3
x 2 +1,5 x−1
2
x −4
D =ℝ∖ {−2; 2 }
Nullstellen: es gibt keine
c)
f (x )=
x 1=2
D=ℝ
D=ℝ∖ {−2}
x 1=−1; x 2=1
x 2 −0,5 x−3
2
x −1,5 x−4,5
D =ℝ∖ {−1,5 ; 3}
Nullstellen: es gibt keine
Nullstellen:
x →−∞
c) f (x )=
D=ℝ∖ {1}
D=ℝ
h)
x 2−4
2
x +4
D=ℝ
D=ℝ∖ {−3; 4}
Nullstellen:
f (x )=
Nullstellen:
d) 3;
x 1=0,5
e) -1;
f) 0;
g) 2;

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