Wiederholung Grundlagen der Matrixrechnung

Wiederholung Grundlagen der Matrixrechnung III
3. Tutorium zu Statistik III für Nebenfachstudierende
Sabrina Enzinger
Basierend auf Materialien von Nora Fenske und Simon Prokopf
Institut für Statistik, LMU München
4. November 2015
Überblick
Determinante
Inverse
Spur
Quadratische Form & Definitheit einer Matrix
Determinante
Sei A eine quadratische (n × n)-Matrix. Die Determinante von A definiert als:
I
Für n = 1 → det(A) = a11
I
Für n = 2 → det(A) = a11 a22 − a12 a21
I
Für n = 3 → s. Regel von Sarrus („Jägerzaunregel“)
Geometrische Interpretation
I
A(2×2) Die Determinante ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das
von den beiden Spaltenvektoren aufgespannt wird.
I
Bei (3 × 3)-Matrizen ist det(A) gleich dem Volumen des Körpers, der von den
drei Spaltenvektoren aufgespannt wird.
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Eigenschaften der Determinante
Sei A (n × n).
Determinanten spezieller Matrizen:
I
Wenn eine Zeile (oder Spalte) von A aus Nullen besteht, dann ist det(A) = 0.
I
Wenn A zwei identische Zeilen (oder Spalten) besitzt, dann ist det(A) = 0.
I
Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonalelemente.
I
Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt ihrer Diagonalelemente.
I
det(I ) = 1
Eigenschaften und Regeln:
1. det(AT ) = det(A)
2. det(kA) = k n det(A)
3. det(A) 6= 0 ⇔ rg(A) = n
4. det(A · B) = det(A) · det(B)
5. det(A−1 ) =
1
det(A)
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Inverse einer Matrix
Sei A eine quadratische (n × n)-Matrix. Die Matrix A−1 heißt Inverse zu A, falls gilt
AA−1 = A−1 A = In .
Die Inverse einer Matrix existiert genau dann und ist eindeutig bestimmt, wenn gilt
rg(A) = n bzw. |A| =
6 0.
I
Eine Matrix, deren Inverse existiert, heißt regulär.
I
A hat dann „vollen Rang“.
Lösen eines LGS
Falls die Matrix A im LGS Ax = b invertierbar ist, dann ist das LGS eindeutig lösbar
und es gilt:
x = A−1 b
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Berechnung und Eigenschaften der Inversen
I
Berechnung
über Zeilenumformungen der erweiterten Matrix (A | In ) auf
In | A−1
I
Besonderheit:
Für A(2×2) gilt, rg(A) = 2 vorausgesetzt:
1
d
a b
A=
A−1 =
−c
c d
ad − bc
I
−b
a
Seien A und B (n × n)
1. (cA)−1 = c −1 A−1
2. (AB)−1 = B −1 A−1
3. Ist A orthogonal: AT = A−1
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Spur
Sei A = (aij ) eine quadratische (n × n)-Matrix. Die Spur (trace) von A ist definiert als
die Summe der Diagonalelemente:
sp(A) = tr(A) =
n
X
aii
i=1
Für die Spur von Matrizen A und B passender Dimension gilt:
1. sp(A + B) = sp(A) + sp(B)
2. sp(A) = sp(AT )
3. sp(c · A) = c sp(A)
4. sp(A · B) = sp(B · A)
5. x, y ∈ Rn : sp(xy T ) = sp(yx T ) = sp(x T y ) = x T y = y T x
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Quadratische Form in x
Sei A eine symmetrische (n × n)-Matrix. Eine quadratische Form in einem Vektor
x ∈ Rn ist definiert durch:
Q(x) = x T Ax =
n X
n
X
aij xi xj
i=1 j=1
=
n
X
i=1
aii xi2 + 2
n X
X
aij xi xj .
i=1 j>i
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Definitheit
Die quadratische Form x T Ax und die Matrix A heißen:
1. positiv definit, falls x T Ax > 0 für alle x 6= 0 ist
(Schreibweise: A > 0),
2. positiv semidefinit, falls x T Ax ≥ 0 und x T Ax = 0 für mindestens ein x 6= 0 ist
(Schreibweise: A ≥ 0),
3. nicht-negativ definit, falls x T Ax bzw. A entweder positiv oder positiv semidefinit
ist,
4. negativ definit, falls −A positiv definit ist
(Schreibweise: A < 0),
5. negativ semidefinit, falls −A positiv semidefinit ist
(Schreibweise: A ≤ 0),
6. indefinit in allen anderen Fällen.
→ Für Skalare λ ∈ R gilt entweder λ ≥ 0 oder λ < 0.
Dies gilt nicht entsprechend für Matrizen: Es gibt indefinite Matrizen A, für die
weder A ≥ 0 noch A ≤ 0 gilt, d.h. es existiert mindestens ein x1 mit x1T Ax1 > 0
und ein x2 mit x2T Ax2 < 0.
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Eigenschaften positiv definiter Matrizen
Sei A(n×n) positiv definit. Dann gelten die folgenden Eigenschaften:
1. A ist regulär, d.h. invertierbar.
2. Für die Diagonalelemente aii mit i = 1, . . . , n gilt: aii > 0.
3. sp(A) > 0
4. det(A) > 0
Bezug zur Regression
Kovarianzmatrizen müssen mindestens positiv-semidefinit sein (also positiv definit
oder positiv semidefinit).
I
Für eine positiv definite Kovarianzmatrix Σ gilt also, dass alle einzelnen
Varianzen σi2 > 0 sind.
I
2. und 3. können auf positiv semidefinite Matrizen übertragen werden. Für
positiv semidefinite Matrizen gilt: aii ≥ 0 für i = 1, . . . , n und sp(A) ≥ 0.
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