Extremwerte von Funktionen mit mehreren Variablen Definition. Ein stationärer Punkt a = (a1 , . . . , an ) einer Funktion f (x1 , . . . , xn ) ist ein Punkt, für den ∇f (a) = o gilt, d.h. ein Punkt, in welchem sämtliche partielle Ableitungen der Funktion verschwinden. Nur stationäre Punkte kommen als Extremwerte in Frage, aber nicht jeder stationäre Punkt muss ein Extremwert sein. Beispiel: Gesucht sind die lokalen Extremwerte der Funktion f (x1 , x2 ) = 16 x31 − x1 + 41 x1 x22 . Zunächst berechnen wir die stationären Punkte. Dazu benötigen wir die ersten partiellen Ableitungen, die wir dann gleich Null setzen, um ein Gleichungssystem zu erhalten: ∂f = 12 x21 − 1 + 14 x22 = 0, ∂x1 ∂f = 12 x1 x2 = 0 ∂x1 Wir müssen also das nichtlineare Gleichungssystem 1 2 x 2 1 + 14 x22 = 1, 1 xx = 0 2 1 2 lösen. Aus der zweiten Gleichung folgt, dass entweder x1 = 0 oder x2 = 0. 1.Fall: x1 = 0: Einsetzen in die erste Gleichung ergibt: 1 2 x =1 4 2 daher x22 = 4 =⇒ x2 = ±2. Wir haben also die zwei stationären Punkte a1 = (0, 2) bzw. a2 = (0, −2). 2.Fall: x2 = 0: Einsetzen in die erste Gleichung ergibt: 1 2 x 2 1 = 1, daher x21 = 2 Also: zwei weitere stationäre Punkte √ a3 = ( 2, 0) =⇒ bzw. 29 √ x1 = ± 2. √ a4 = (− 2, 0). Wann ist ein stationärer Punkt ein Minimum oder ein Maximum? Wie im eindimensionalen Fall sieht man dies, wenn man die zweiten Ableitungen, also die Hesse–Matrix, betrachtet. Satz. Ein stationärer Punkt a ist ein relativer Minimalpunkt, wenn die Hesse–Matrix positiv definit ist. Das bedeutet, dass alle Eigenwerte der Hesse–Matrix positiv sind. ein relativer Maximalpunkt, wenn die Hesse–Matrix negativ definit ist. Das bedeutet, dass alle Eigenwerte der Hesse–Matrix negativ sind. weder Minimal– noch Maximalpunkt, wenn die Hesse–Matrix indefinit ist (d.h. sowohl positive als auch negative Eigenwerte hat). Es kommt also auf die Eigenwerte der Hesse–Matrix an. Da es relativ mühsam ist, die Eigenwerte tatsächlich alle auszurechnen, gibt es ein einfacheres Kriterium, um zu entscheiden, ob eine Matrix positiv definit oder negativ definit ist. Dieses Kriterium verwendet den Begriff des Hauptminors: Definition. Sei A ∈ IRn×n eine quadratische Matrix. Die Hauptminoren Ai ( wobei i = 1, . . . , n) sind jene Subdeterminanten, die aus den ersten i Zeilen und i Spalten gebildet werden, d.h: A1 = a11 , a11 a12 a21 a22 A2 = det A3 ! , a11 a12 a13 = det a21 a22 a23 , a31 a32 a33 etc. Kriterium von Sylvester: Eine symmetrische Matrix A ist • positiv definit, wenn alle ihre Hauptminoren positiv sind. • negativ definit, wenn A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, . . . , d.h. wenn die Hauptminoren wechselndes Vorzeichen haben, beginnend mit einem negativen. 30 Zurück zu unserem Beispiel: Es war f (x1 , x2 ) = 16 x31 − x1 + 14 x1 x22 und wir hatten vier stationäre Punkte √ √ a4 = (− 2, 0). a1 = (0, 2), a2 = (0, −2), a3 = ( 2, 0) Die Hesse–Matrix lautet: 1 x 2 2 1 x 2 1 x1 H= 1 x 2 2 Untersuchen wir zunächst den Punkt a1 = (0, 2): H(a1 ) = 0 1 1 0 Die Hauptminoren sind: H(a1 )2 = −1. H(a1 )1 = 0, Laut Kriterium von Sylvester ist keine Aussage darueber möglich, ob a1 ein Minimalpunkt, ein Maximalpunkt oder keines von beiden ist. Jetzt: a2 : H(a2 ) = 0 −1 −1 0 Die Hauptminoren sind wieder: H(a2 )2 = −1. H(a2 )1 = 0, Daher ist auch hier keine Entscheidung möglich, ob a2 ein Minimalpunkt, ein Maximalpunkt oder keines von beiden ist. Als nächstes: a3 : √ H(a3 ) = 2 0 0 √ 2 2 Die Hauptminoren sind: H(a3 )1 = √ 2, H(a3 )2 = 1. Die Hauptminoren sind beide positiv, daher ist die Hesse–Matrix im Punkt a3 positiv definit, daher liegt in a3 ein lokaler Minimalpunkt vor. 31 Schliesslich noch a4 : H(a4 ) = √ − 2 0 0 √ − 2 2 Die Hauptminoren sind: √ H(a4 )1 = − 2, H(a4 )2 = 1. Laut Kriterium von Sylvester ist die Hesse–Matrix im Punkt a3 negativ definit, daher liegt in a3 ein lokaler Maximalpunkt vor. 32
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