Verständnisfragen: Lineare Algebra und Analy

Verständnisfragen: Lineare Algebra und Analytische Geometrie I und II
Matrizen, lineare Gleichungssysteme
• Wie kommt man von einem linearen Gleichungssystem zu einer Matrix?
• Was ist die Zeilenstufenform?
• Was ist das Gauß-Verfahren?
• Wie addiert und multipliziert man Matrizen? Was ist das Produkt einer
(2 × 3)- und einer (3 × 4)-Matrix?
• Wie berechnen man die inverse Matrix? Was ist eine notwendige Bedingung, damit diese überhaupt existieren kann?
Die mathematische Sprache
• Was ist eine Relation zwischen 2 Mengen? Was ist eine Äquivalenzrelation?
• Wann heißt eine Funktion injektiv/surjektiv/bijektiv?
• Warum sind Äquivalenzklassen entweder disjunkt oder gleich?
• Was ist eine Gruppe? Wann heißt eine Gruppe abelsch? Was ist ein Beispiel einer nicht-abelschen Gruppe?
• Was ist eine Untergruppe? Gibt es Gruppen, die nur triviale Untergruppen
haben? Sind Diagonalmatrizen eine Untergruppe aller Matrizen bezüglich
der Addition?
• Was ist ein Gruppenhomomorphismus? Was sind Kern und Bild eines
solchen? Was haben Kern und Injektivität miteinander zu tun?
• Wieso ist der Quotient einer abelschen Gruppe nach einer Untergruppe
wieder eine Gruppe?
• Was ist der Unterschied zwischen einem Ring und einem Körper? Was ist
ein Ring mit 1? Gibt es Ringe, die keine 1 haben?
• Warum ist ein Körper nullteilerfrei?
• Was ist ein Ringhomomorphismus?
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Vektorräume
• Was ist ein Vektorraum? Was ist ein Modul? Warum ist die Menge aller
Abbildungen von einer beliebigen Menge in einen Vektorraum wieder ein
Vektorraum?
• Sind die m × n-Matrizen über einem Körper ein Vektorraum? Was ist mit
den invertierbaren Matrizen?
• Warum ist die Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems ein
Vektorraum?
• Was ist ein Untermodul, was ein Untervektorraum? Ist ein solcher wieder
ein Modul bzw. Vektorraum?
• Wann heißt eine Abbildung K-linear? Wie bekommt man aus einer Matrix
eine lineare Abbildung? Was kann man über den Kern und das Bild einer
linearen Abbildung aussagen?
• Was ist der Quotientenvektorraum? Wie lautet der Homomorphiesatz für
Vektorräume?
• Was ist der Spann einer Teilmenge eines Vektorraums? Was ist ein Erzeugendensystem eines Vektorraums? Was ist eine linear unabhängige Teilmenge? Hat jeder Vektorraum ein Erzeugendensystem?
• Was ist eine Basis eines Vektorraums? Was hat eine solche mit Erzeugendensystemen und linear unabhängigen Mengen zu tun?
• Was besagt der Basisergänzungssatz und was der Austauschsatz?
• Was ist die Dimension eines Vektorraums? Hat jeder Modul eine? Was
besagt die Dimensionsformel?
• Wie bestimmt man eine Basis für den Kern und das Bild einer linearen
Abbildung zwischen K m und K n ?
• Was ist die direkte Summe von Vektorräumen? Hat diese immer eine Dimension und wenn ja, welche?
• Wie stellt man eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen
Vektorräumen durch eine Matrix dar? Was steht in den Spalten dieser
Matrix? Wie lautet die Transformationsformel?
• Wie ist der Dualraum definiert? Was ist der Bidualraum? Wann sind diese
endlich-dimensional?
• Was ist die duale Abbildung f ∗ einer linearen Abbildung f ? Wenn f nach
Wahl von Basen durch eine Matrix M dargestellt wird, kann man M
benutzen, um die duale Abbildung darzustellen?
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• Was ist der Rang einer Matrix und wie berechnet man diesen?
Determinanten
• Was sind Minoren einer quadratischen Matrix und wie kann man mit
diesen ihre Determinante berechnen?
• Was ist eine multilineare alternierende Abbildung? Ist die Determinante
eine? Was ist die Formel von Leibniz?
• Wie ist die komplementäre Matrix definiert und welche Eigenschaften hat
diese?
• Was hat die Invertierbarkeit einer quadratischen Matrix über einem Ring
mit der Determinante zu tun? Welche Matrizen mit ganzzahligen Einträgen sind über Z invertierbar?
• Wenn f ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums
ist, wie kann man seine Determinante definieren? Hängt diese Definition
von irgendwelchen Wahlen ab?
• Wie kann man die Determinante einer Matrix berechnen?
Eigenwerte und die Jordansche Normalform
• Was sind Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume?
• Wann heißt ein Endomorphismus diagonalisierbar? Wann heißt eine Matrix diagonalisierbar? Was haben die beiden Konzepte miteinander zu tun?
• Was ist das charakteristische Polynom PA und was das Minimalpolynom
mA einer quadratischen Matrix A? Was haben PA und mA mit den Eigenwerten zu tun?
• Warum sind Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten linear
unabhängig?
• Wenn R ein kommutativer Ring mit 1 ist, was ist dann R[X] und welche
Universaleigenschaft hat letzteres Objekt?
• Was ist der Grad eines Polynoms? Welche Eigenschaften hat der Grad als
Funktion auf dem Polynomring?
• Wie viele Nullstellen kann ein Polynom haben?
• Was hat Diagonalisierbarkeit einer Abbildung mit den Vielfachheiten der
Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu tun?
• Wie lautet der Satz von Cayley-Hamilton?
• Wann ist eine Matrix trigonalisierbar und wie trigonalisiert man? Was ist
eine Fahne in einem Vektorraum?
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• Was sind Haupträume? Was ist die Hauptraumzerlegung und wann existiert diese?
• Was ist ein (links-, rechts-, beidseitiges) Ideal in einem Ring? Was haben
diese mit Moduln zu tun?
• Wann heißen zwei Ideale teilerfremd? Wie lautet der chinesische Restsatz?
• Was ist ein Hauptidealring?
• Wann heißt ein Element eines Rings prim? Wann irreduzibel? Welche Beziehung besteht zwischen diesen Begriffen?
• Was ist die Primfaktorzerlegung?
• Wie ist die Länge eines Moduls definiert? Ist sie immer endlich? Wie
verhält sie sich auf kurzen exakten Sequenzen?
• Was kann man über die Struktur von Moduln endlicher Länge über Hauptidealringen aussagen?
• Wie lautet die Beziehung zwischen K[X]-Moduln und Paaren bestehend
aus einem K-Vektorraum und einem Endomorphismus?
• Wie lautet der Satz über die Gaußsche Diagonalisierung für Polynomringe?
• Was sind die Invariantenteiler einer Matrix und wie berechnet man diese?
Sind sie eindeutig? Was kann man über die Invariantenteiler von ähnlichen
Matrizen aussagen?
• Was ist die Begleitmatrix eines Polynoms?
• Was ist die Frobenius-Normalform und was die Jordansche Normalform?
Sind diese eindeutig?
• Wie kann man PA und mA durch die Invariantenteiler ausdrücken? Wie
erkennt man Diagonalisierbarkeit an den Invariantenteilern?
Bilinearformen und das Tensorprodukt
• Was ist eine bilineare Abbildung? Was hat eine solche mit dem Tensorprodukt zu tun? Wie ist letzteres definiert?
• Was ist eine Bilinearform? Wann heißt diese (anti-)symmetrisch, wann
nicht-entartet? Wie kann man eine Bilinearform durch eine Matrix darstellen? Welche Eigenschaften hat diese Matrix?
• Wie sind die orthogonale und die spezielle orthogonale Gruppe definiert?
• Was ist das orthogonale Komplement eines Unterraums bezüglich eines
Skalarprodukts? Welche Dimension hat das Komplement? Was ist die Normale?
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• Wie ist das Kreuzprodukt im R3 definiert und welche Eigenschaften hat
dieses?
• Was sind affine Unterräume?
• Was ist eine Sesquilinearform?
• Wie lautet die Basiswechselformel für die Matrixdarstellung einer Bilinearform über R? Was passiert für eine Sesquilinearform?
• Wann heißt eine Bilinearform positiv (semi-)definit? Welcher Zusammenhang besteht zum Begriff “nicht-entartet”?
• Was ist ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum? Was ist die dadurch
definierte Norm? Hat jeder endlich-dimensionale Vektorraum über R oder
C ein Skalarprodukt? Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung?
• Was ist eine Orthonormalbasis und wie berechnet man diese?
• Welche Eigenschaften hat das orthogonale Komplement eines Untervektorraums eines Vektorraums mit Skalarprodukt? Welche Eigenschaften hat
die orthogonale Projektion?
• Was ist eine Isometrie?
• Was ist die adjungierte Abbildung? Wann heißt eine Abbildung selbstadjungiert, wann normal? Was haben die beiden Begriffe miteinander zu
tun? Welcher Zusammenhang besteht zur Diagonalisierbarkeit?
• Was besagt der Satz von Sylvester?
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