Musterl¨ osung Hans-Christian von Bothmer, Raphael Zayadeh SoSe 2015 Blatt 1 Thema: Konstruktion mit Zirkel und Lineal Aufgabe 1 Gegeben sei eine Strecke AB . Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal die Mittelsenkrechte Konstruktion Beschreibung Zeichnen Sie einen Kreis KA um A mit Radius AB und einen Kreis KB um B mit Radius AB . Die Schnittpunkte von KA und KB bezeichnen wir mit C und D . Die Gerade durch 1 C und D steht dann senkrecht auf AB und schneidet AB in M . M liegt in der Mitte von AB . Beweis. Das Dreieck ABC ist gleichseitig. Da B und C auf KA und A und C auf KB liegen und Radius KA = Radius KB = AB ist, gilt AC = AB = BC . Also sind alle Winkel gleich 60◦ . Da C und D auf KA liegen gilt AC = AD = AB und das Dreieck ACD ist gleichschenklich. Da die Winkelsumme im Dreieck 180◦ betr¨agt, folgt 180 = 60 + 60 + α + α ⇒ α = 30◦ Im Dreieck ACM gilt dann α + 60 + ϕ = 180 ⇒ ϕ = 90◦ Also steht CD senkrecht auf AB . Die Dreiecke ACM und BCM sind kongruent, da eine Seite und zwei Winkel gleich sind. Also ist auch AM = BM . M liegt also in der Mitte von AB . 2 2 Aufgabe 2 Gegeben sei der folgende Kreis. Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal den Mittelpunkt 1. Mo ¨glichkeit Konstruktion Zeichne eine beliebige Sehne. Diese schneidet den Kreis in A und B . Errichte die Mittelsenkrechte auf AB . W¨ahle eine zweite Sehne CD und wiederhole die Konstruktion. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich in den Punkt M . Dies ist der Mittelpunkt des Kreises. 3 Beweis. Wir beweisen zun¨achst: Jede Mittelsenkrechte auf einer Sekante enth¨alt den Mittelpunkt des Kreises. Sei AB eine Sekante. Das Dreieck ABM ist dann gleichschenklig, also ∠BAM = ∠ABM =: α . Sei S die Mittelsenkrechte auf AB und E der Mittelpunkt von AB . Sei F der Schnittpunkt von S mit AM und G der Schnittpunkt von S mit BM . Nun haben die Dreiecke AEF und EGB zwei Winkel und eine Seite gemeinsam, also sind sie kongruent ( AE = EB ). Es folgt EF = EG und F = G . Da F auf AM und G auf BM liegt, muss F = G auf beiden Geraden liegen. Der einzige solche Punkt ist aber M , also F = G = M und die Mittelsenkrechte geht durch M . Haben wir zwei Mittelsenkrechten auf zwei Sekanten, so liegt der Mittelpunkt des Kreises auf beiden. Wenn die beiden Mittelsenkrechten nur ein Schnittpunkt haben, muss dieser der Mittelpunkt M des Kreises sein. 2 4 2. M¨ oglichkeit W¨ahle 3 Punkte A, B, C auf dem Kreis. Dann ist der Kreis der Umkreis um das Dreieck ABC . Den Umkreismittelpunkt erh¨alt man als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. 5 3. M¨ oglichkeit W¨ahle eine Sekante AB im Kreis. Errichte eine Senkrechte zu AB auf A . Diese schneidet den Kreis im Punkt C. Das Dreieck ABC ist rechtwinklig. Nach der Umkehrung des Satz von Thales muss CB ein Durchmesser des Kreises sein. Der Mittelpunkt von CB ist dann der Mittelpunkt des Kreises. Bemerkung: Es gibt noch viele weitere M¨oglichkeiten... 6