Aufgabe 1: Wie groß ist der Winkel? Wie kann ich vorgehen? Welche Fragen kann ich mir stellen? Bestimme die Winkel α und β. Schreibe zunächst alle geometrischen Beziehungen auf, die du erkennen kannst. Welche weiteren Größen könnten hilfreich sein? Welche Besonderheiten weist die Planfigur auf? Lösung: C gesucht: Winkel γ γ A B H Strategie Vorwärtsarbeiten Vorwärtsarbeiten Vorwärtsarbeiten + Rückwärtsarbeiten Vorwärtsarbeiten Vorwärtsarbeiten + Rückwärtsarbeiten Behauptung 1.) 180° = 90° + α + β 2.) 180° = 90° + α + γ 3.) β = γ 4.) 5.) 180° = 2 • β + γ 180° = 3 • β ⇒ β = 60° Aufgabe 2: Berechne die fehlenden Winkel (g II h). Notiere, wo du vorwärts und wo du rückwärts gearbeitet hast! Lösung: α = 70°, weil es ein Nebenwinkel zu 110° ist β = 110°, weil es ein Scheitelwinkel zu 110° ist γ = 70°, weil es ein Wechselwinkel zu α ist Wo hast du vorwärts, wo rückwärts gearbeitet? Begründung Winkelsummensatz im Dreieck AHC Winkelsummensatz im Dreieck HBC Aus 1.) und 2.) Gestreckter Winkel Aus 3.) und 4.) Aufgabe 3: In einen Kreis ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC einbeschrieben, so dass seine Hypotenuse AB gerade den Durchmesser bildet. Begründe: Wenn α = 30°, dann ist die Seite BC halb so lang wie die Seite AB. Tipp: Zeichne die Hilfslinie MC ein! Lösung: gesucht: α = 30°⇒ BC = ½ AB Strategie Vorwärtsarbeiten Vorwärtsarbeiten Vorwärtsarbeiten Vorwärtsarbeiten Vorwärtsarbeiten + Rückwärtsarbeiten Behauptung 1.) MB = MC (Hilfslinie) = ½ AB 2.) Dreieck MBC ist gleichschenklig 3.) β = 60° 4.) γ2 = 60° Begründung alles Radien des selben Kreises MB = MC (1.) Winkelsummensatz im Dreieck ABC MBC gleichschenklig (2.) Winkelsummensatz im Dreieck MBC 5.) µ2 = 60° ⇒ alle Winkel im Dreieck MBC betragen also 60° Rückwärtsarbeiten 5.) = Definition eines gleichseitigen Dreiecks 6.) MBC gleichseitig ⇒ BC = MC = MB ⇒ BC = ½ AB
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