MSG-Hausaufgaben Serie 19 Abgabe: 18.03.2015 Kurs fällt am 11.03. aus! Lucas Mann Aufgabe 1. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Begründe. a) Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P gibt es genau eine Gerade h, sodass gilt: P liegt auf h und die Geraden g und h schneiden sich nicht. b) Es gibt ein Dreieck, bei dem die Summe zweier Seitenlängen kleiner als die dritte Seitenlänge ist. c) Es gibt ein Dreieck, bei dem die Summe zweier Innenwinkel kleiner als der dritte Innenwinkel ist. d) Zu zwei Geraden g 1 und g 2 gibt es immer eine Gerade h, die keine der Geraden g 1 und g 2 schneidet. e) Im dreidimensionalen Raum gibt es zwei Geraden, die sich nicht schneiden, aber auch nicht parallel zueinander sind. Aufgabe 2. Gegeben sei ein Dreieck 4ABC . Die Punkte D, E und F seien die Seitenmittelpunkte der Seiten BC , C A und AB : C D E A F B Zeige: Die Strecken DE , E F und F D zerlegen das Dreieck 4ABC in vier kongruente Dreiecke. Jedes dieser vier Dreiecke hat die gleichen Innenwinkel wie 4ABC . Aufgabe 3. Wir betrachten ein Dreieck 4ABC und Punkte D, M , P mit folgenden Eigenschaften: (1) Der Punkt M ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks 4ABC und er liegt auf der Strecke AB . (2) Die Geraden AB und C M stehen senkrecht aufeinander. (3) Der Punkt D liegt auf dem Umkreis des Dreiecks 4ABC , und zwar derart auf dem kürzeren Bogen von A nach C , dass der Winkel ∠M DB die Größe 15◦ hat. (4) Der Punkt P liegt auf der Strecke MC und die Geraden AB und DP sind parallel zueinander. Tue folgendes: a) Fertige eine Planfigur an und trage alle gegebenen Informationen ein. b) Zeige, dass das Dreieck 4MC D gleichseitig ist. c) Berechne die Länge der Strecke PC in Abhängigkeit von der Länge der Strecke AB . 1 Zusatz Aufgabe 4. Zeichne ein Dreieck 4ABC in ein Koordinatensystem und bestimme die Koordinaten (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) und (x 3 , y 3 ) von A, B und C . Zeichne die folgenden beiden Punkte ein: • Der Punkt F mit den Koordinaten x = • der Punkt S mit den Koordinaten x = x 1 +x 2 2 und y = x 1 +x 2 +x 3 3 y 1 +y 2 2 . und y = y 1 +y 2 +y 3 . 3 Welche Punkte sind das? Betrachte nun ein Viereck mit den Ecken A, B , C und D und bestimme wieder die Koordinaten der vier Punkte (dabei seien alle Koordinaten so bezeichnet wie oben, ferner seien (x 4 , y 4 ) 3 +x 4 die Koordinaten von D). Betrachte nun den Punkt T mit den Koordinaten x = x1 +x2 +x und 4 y 1 +y 2 +y 3 +y 4 y= . Ist T der Schwerpunkt des Vierecks äABC D? 4 Aufgabe 5. Neben der planaren Geometrie (Geometrie in der Ebene) git es auch andere Arten von Geometrien, zum Beispiel die sogenannte sphärische Geometrie, also die Geometrie auf einer Kugel. Diese wollen wir ein bisschen untersuchen. Ein Punkt in der sphärischen Geometrie ist einfach ein Punkt auf der Kugel. Eine Gerade ist ein Kreis auf der Kugel, dessen Mittelpunkt gleich dem Kugelmittelpunkt ist (z.B. der Äquator bei unserer Erde).1 Eine Strecke ist ein zusammenhängendes Teilstück einer Geraden. Die Größe eines Winkels auf der Kugel wird berechnet, indem man die Kugel an der entsprechenden Stelle ein bisschen „flach drücken“ und den normalen Winkel bestimmt. Die folgenden Aussagen sind alle richtig in der planaren Geometrie. Welche der Aussagen stimmen auch in der sphärischen Geometrie? Du brauchst keinen richtigen Beweis angeben; eine kurze Beschreibung deiner Idee reicht aus. a) Zu zwei verschiedenen Punkten P und Q gibt es genau eine Strecke, deren Endpunkte gerade die Punkte P und Q sind. b) Es gibt zwei Geraden, die keinen Schnittpunkt haben. c) Wenn zwei Geraden mehr als einen Schnittpunkt haben, dann sind sie identisch. d) Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist immer 180◦ . e) Die kürzeste Verbindung (innerhalb unserer Geometrie, d.h. auf der Kugel!) zwischen zwei verschiedenen Punkten ist immer eine Strecke. 1 Solche Kreise nennt man auch Großkreise. 2