Nr.3 4.05.2015 Gleichungen • Löse die Gleichung • Bestimme die Nullstellen der Funktion f • Bestimme die Schnittstellen der Graphen von f und g • Für welche x ist f(x) > g(x) Wie löst man Gleichungen Wie löst man Ungleichungen h(x) = 0 ? h(x) > 0 ? 1 Nr.3 4.05.2015 Aquivalenzumformungen Technik 1: Äquivalenzumformungen Tafelanschrieb (x+1)² – 4 = 6 + x² x² + 2x +1 – 4 = 6 + x² 2x +1 – 4 = 6 2x – 3 = 6 2x = 9 x = 4,5 Hier stehen sechs Gleichungen untereinander. Was bedeutet das? 2 Nr.3 4.05.2015 Äquivalenzumformungen Jede der Gleichungen hat dieselbe Lösungsmenge. Warum? (x+1)² – 4 = 6 + x² x² + 2x +1 – 4 = 6 + x² │-x² 2x +1 – 4 = 6 2x – 3 = 6 │+3 2x = 9 x = 4,5 Lösung: 4,5 oder L={4,5} Äquivalenzumformung einer Gleichung 3 Nr.3 4.05.2015 Äquivalenzumformungen Definition: Eine Zahl a heißt Lösung einer Gleichung, wenn bei der Belegung mit a die linke Seite und die rechte Seite der Gleichung denselben Wert ergeben. Definition: Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge besitzen. 4 Nr.3 4.05.2015 Äquivalenzumformungen Satz: Die Lösungsmenge einer Gleichung wird nicht verändert, wenn man auf beiden Seiten der Gleichung 1. Dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert 2. Mit der derselben Zahl r≠0 mulDpliziert oder dividiert. 3. Eine Seite der Gleichung durch einen äquivalenten Term ersetzt. Nr.1,2 heißen Äquivalenzumformungen einer Gleichung 5 Nr.3 4.05.2015 Äquivalenzumformungen Wie schreibt man das an die Tafel? 1. 2x – 3 = 6 Ist äquivalent zu 2x = 9 │+3 2. 2x – 3 = 6 │+3 Hat dieselbe Lös.menge wie 2x = 9 3. Ist das Symbol 2x – 3 = 6 │+3 ⇔ 2x = 9 ⇔ richtig verwendet? 6 Nr.3 4.05.2015 Äquivalenzumformungen Eine Gleichung wie 2x – 3 = 6 ist keine Aussage, sondern eine Aussageform, d.h. ein Ausdruck mit einer Variablen, der beim Einsetzen einer Zahl zu einer Aussage wird, die wahr oder falsch ist. 2x – 3 = 6 │+3 ⇔ 2x = 9 ⇔ hat hier die Bedeutung: Die zwei Gleichungen stimmen bei jeder Belegung in den Wahrheitswerten überein, bzw. Bei beiden Gleichungen führt dieselbe Menge L zu wahren Aussagen. L heißt Lösungsmenge, hier L = {4,5}. 7 Nr.3 4.05.2015 Viele Bedeutungen: Äquivalenz • Äquivalente Aussagen • Äquivalente Gleichungen • Äquivalente Terme: Vereinfache 2x – x Lösung: 2x – x = x Man meint: Die Terme 2x – x und x sind äquivalent. 8 Nr.3 4.05.2015 Hintergrund: Äquivalenz Die „Äquivalenzrelation“ in der Mathematik fordert • Reflexivität: a ~ a • Symmetrie: Wenn a ~ b, dann b ~ a • Transitivität: Wenn a ~ b und b ~ c, dann a ~ c. Dies ist für Aussagen, Gleichungen, Terme erfüllt. 9 Nr.3 4.05.2015 Tafelanschrieb Löse die Gleichung (x+1)² – 4 = 6 + x² (x+1)² – 4 = 6 + x² ⇔ x² + 2x +1 – 4 = 6 + x² │-x² ⇔ 2x +1 – 4 = 6 2x – 3 = 6 │+3 ⇔ 2x = 9 ⇔ x = 4,5 Lösung: 4,5 oder L={4,5} 10 Nr.3 4.05.2015 Quadrieren Gleichung 1: Gleichung 2: x=5 x² = 25 L₁ ={ } L₂ ={5; -5} Tafelausschrieb? x = 5 |Quadrieren ⇔ ? ⇒ ? ⇐ ? x² = 25 Symbol | wie bei Äquivalenzumformung ; ist aber keine. Was stimmt hier? 11 Nr.3 4.05.2015 Quadrieren Sachlich richtig: x = 5 |Quadrieren ⇒ x² = 25 L = {5; -5} für die letzte Gleichung. Im Unterricht sagen: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, deshalb keine Verwendung von ⇔ . Auch keine Verwendung von ⇒ bzw. ⇐ . Stattdessen grundsätzlich die Probe in der Ausgangsgleichung. 12 Nr.3 4.05.2015 Wurzelgleichungen x +8 −x = 2 ⇔ x + 8 = x + 2 Quadrieren ⇒ x + 8 = ( x + 2) 2 ⇔ x + 8 = x 2 + 4x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 Mit Lösungsformel: x1=-4 oder x2=1 Probe in der Ausgangsgleichung ergibt L ={1} Im Unterricht hier kein Symbol ⇒ 13 Nr.3 4.05.2015 Bruchgleichungen 1.Methode x 3 = ⋅(x−3) x−3 x−3 x=3 Probe falsch L={} 2.Methode x 3 = ; D = R\{3} x−3 x−3 x 3 = ⋅(x−3) x−3 x−3 x=3 3 ∉D L={} 14 Nr.3 4.05.2015 Betragsgleichungen x − 1 = 2x Fallunterscheidung 1. Fall: x-1 ≥ 0 d.h. x ≥ 1 2. Fall: x-1 < 0 d.h. x < 1 x − 1 = 2x x − 1 = 2x ⇔ x − 1 = 2x ⇔ − x + 1 = 2x ⇔ ⇔ x = −1 L1 = { } x= 1 3 L2 = { Insgesamt: L={ 1 } 3 1 } 3 15 Nr.3 4.05.2015 Ungleichungen Satz: Die Lösungsmenge einer Ungleichung wird nicht verändert, wenn man auf beiden Seiten der Ungleichung 1. Dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert 2. Mit der derselben Zahl r>0 multipliziert oder dividiert. 3. Mit der derselben Zahl r<0 multipliziert oder dividiert und < mit > tauscht. 4. Eine Seite der Ungleichung durch einen äquivalenten Term ersetzt. 16 Nr.3 4.05.2015 Bruch-Ungleichungen x −1 ≥1 x +3 Fallunterscheidung 1.Fall: x+3>0; d.h. x>-3 2.Fall: x+3<0; d.h. x<-3 x-1 ≥ x+3 x-1 ≤ x+3 -1 ≥ 3 -1 ≤ 3 L1 = { } L2 = (-∞; -3) Insgesamt: L=(-∞; -3) 17 Nr.3 4.05.2015 Betrags-Ungleichungen │3x-1│ + │x+2│ ≤ 3 Fallunterscheidung │ -2 │ │ 0 ⅓ 1.Fall: x < -2 2.Fall: -2 ≤ x ≤ ⅓ (-3x+1)+(-x-2)≤3 (-3x+1)+(x+2)≤3 -4x≤ 4 -2x≤0 x >-1 x ≥0 L1 = { } L1 = [0; ⅓] 3.Fall: x > ⅓ (3x-1)+(x+2)≤3 4x ≤ 2 x ≤½ L1 = (⅓; ½] Insgesamt: L=[0; ½] 18 Nr.3 4.05.2015 Gleichungen-Ein weites Feld • Polynomgleichungen (2x-7)²(x³ + 3x²+x) = 0 4e • Exponentialgleichungen 0,5 x −1 +1 = 0 • Trigonometrische Gleichungen 3sin(2x+1) = 1,5 • Gleichungen mit Parameter x³ - 4ax = 0 x • Integralgleichungen ∫ t 2 dt = 9 0 19