MINISTERIUM FÜR KULTUS, JUGEND UND SPORT Abiturprüfung an den allgemein bildenden Gymnasien Prüfungsfach: Haupttermin 2009 Mathematik Aufgabe I 3 Analysis mit einem Computeralgebrasystem Wahlteil Aufgabe I 3.1 Gegeben sind Funktionen fa durch fa ( x ) = 10 x 2 ⋅ e −a ⋅ x mit a > 0 . a) Untersuchen Sie die Graphen von fa auf gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Extrempunkte und Asymptoten. Bestimmen Sie eine Gleichung der Kurve, auf der alle Hochpunkte liegen. (6 VP) b) Gegeben sind außerdem die Funktionen ga durch ga ( x ) = 10 x ⋅ e −a ⋅ x mit a > 0 . Die Graphen von fa und ga schließen für jedes a im ersten Quadranten eine Fläche des Inhalts A1 ein. Berechnen Sie A1 . Außerdem schließen die beiden Graphen eine nach rechts offene Fläche des Inhalts A2 ein. Für welchen Wert von a gilt A1 = A2 ? (5 VP) Aufgabe I 3.2 Auf einer Insel ist eine Epidemie ausgebrochen. Zu Beginn waren 40 Fälle gemeldet. Die Gesundheitsbehörde modellierte die momentane Änderungsrate w durch w( t ) = 20880 ⋅ e −0,6 ⋅ t (1 + 29 ⋅ e ) − 0,6 ⋅ t 2 (w(t) Anzahl der gemeldeten Neuerkrankungen pro Woche, t in Wochen seit Beobachtungsbeginn). Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion, welche die Gesamtzahl der gemeldeten Fälle angibt. Berechnen Sie, mit wie vielen Erkrankungen die Gesundheitsbehörde langfristig nach diesem Modell rechnen muss. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem für die folgenden zwei Wochen erstmals wieder mit weniger als 100 Neuerkrankungen zu rechnen ist. (7 VP)