Feuille 4 - C. Holtzmann

4
Espaces probabilisés
Exercice 4: On procède à trois jets consécutifs d’un dé parfait.
1. Construire un univers Ω qui décrit cette expérience.
2. On considère les deux évènements suivants :
A : " la somme des points amenés par les deux premiers jets est impaire " ;
B : " la somme des points amenés par les deux derniers jets est impaire " ;
C : "Le nombre 1 apparait au moins deux fois. "
¯ A ∩ B ∩ C.
a) Décrire précidément les événements : A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B,
b) Donner un espace probabilisé minimal (triplet (Ω, T , P )) qui permet de
calculer les probabilités de ces diﬀérents événements, ainsi que les probabilités de A, B, C.
c) Calculer toutes ces probabilités.
Univers et tribu
Exercice 1: – Raisonner – Modéliser –
Déterminer un espace probabilisé adapté à chacune des expériences aléatoires suivantes. On se demandera à chaque fois si les événements élémentaires sont équiprobables.
1. On lance un dé cubique. On s’intéresse au numéro aﬃché
a) Si le dé est équilibré.
b) Si le dé n’est pas équilibré.
2. Un groupe de n personnes s’alignent en une rangée. On s’intéresse à l’ordre
dans lequel sont placées les personnes.
3. Dans un lycée, on propose trois sports aux élèves : le basket, le football et le
volley. On s’intéresse aux sports fait par les garçons et les filles.
4. Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5 et deux jetons portant le numéro
6. On extrait au hasard un jeton de l’urne. On s’intéresse au numéro obtenu.
a) Les événements élémentaires ne sont pas forcément équiprobables.
b) Les événements élémentaires sont équiprobables.
5. Une urne contient 15 boules dont 8 blanches, 3 rouges et 4 vertes. On tire au
hasard une poignée de 4 boules de l’urne.
a) On s’intéresse aux couleurs obtenues.
b) On s’intéresse aux nombre de boules de chaque couleur.
Exercice 5: – Chercher – Soient A, B deux événements d’un espace probabilisé
(Ω, T , P )
Montrer que
P (A) − P (B) � P (A ∩ B) � min(P (A), P (B))
Exercice 6: – Chercher – Soient A, B deux événements d’un espace probabilisé
(Ω, T , P ) tels que
P (A) = P (B) = 0, 5
Exercice 2: – Raisonner –
1. Soit Ω = {1, 2, 3}. On pose A = {1, 2} et B = {3}. Montrer que l’ensemble
T = {∅, Ω, A, B} est une tribu sur Ω (diﬀérente de T .)
2. Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. On pose A = {1, 2} et B = {3}. Construire la plus petite
tribu T sur Ω contenant A et B.
Montrer que P (A ∩ B) = P (A ∩ B).
Exercice 7: – Chercher – Soient A, B, C trois événements d’un espace probabilisé
(Ω, T , P ) tels que A ∪ B ∪ C = Ω; P (B) = 2P (A); P (C) = 3P (A).
Montrer que P (A) � 16 .
Espaces probabilisés quelconques
Espaces probabilisés finis
Exercice 3:
Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé (Ω, T , P ) tels que
P (A) = 0, 3
P (B) = 0, 2
Exercice 8: – Chercher –
On considère un jeu de fléchettes dont la cible comportes 3 zones numérotées de 1
à 3. On lance une fléchette sur la cible. On note
P (A ∩ B) = 0, 1
Calculer la probabilité pour que ni A ni B se produisent.
Ak : "La fléchette atteint la zone k"
1
∀k = 1, 2, 3
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
et
A4 : "la fléchette sort de la cible."
2.
On note pk la probabilité de l’événement Ak .
k=0
Exercice 13: – Calculer –
Soit p la probabilité définie sur (N∗ , P(N∗ )) par
Pour k ∈ {2, 3, 4} la probabilité pk d’atteindre la zone k est deux fois plus importante que celle d’atteindre la zone k − 1.
Déterminer l’espace probabilisé associé à cette expérience.
p ({n}) = α3−n .
1.
2.
3.
4.
Exercice 9: – Calculer – Soient n ∈ N∗ et Ω = {1, . . . , n}. On considère l’application p : Ω −→ R définie par
p=
n
�
pk δ k
k=1
où
Existe-t-il p0
(Ω, P(Ω)) ?
– Calculer – Soit λ > 0. On définit une probabilité p sur (N, P(N))
λn
n!
Montrer qu’il s’agit bien d’une probabilité sur (N, P(N)).
Soit A l’ensemble des nombres pairs. Calculer p(A). (on exprimera le résultat
en fonction de λ).
Soit N un entier, Montrer que
� λ
tN
p ({0, 1, . . . , N }) = 1 −
e−t
dt.
N!
0
P ({n}) = e−λ
1.
2.
Exercice 10:
– Calculer – Soient n ∈ N∗ et Ω = {−n, . . . , n}. On considère
l’application p : Ω −→ R définie par
3.
n
�
(n + 1) − |k|
δk
(n + 1)2
k=−n
1.
2.
Déterminer α tel qu’il s’agisse bien d’une probabilité sur (N∗ , P(N∗ )).
Calculer p({n > 2}).
Calculer la probabilité de l’ensemble des multiples de 2.
Calculer la probabilité de l’ensemble des nombres n dont le reste est 3 si on
le divise par 4.
Exercice 14:
par
n−k
pk = p 1
∀k = 2, . . . , n
n−1
tel que p soit une loi de probabilité sur l’espace probabilisable
p=
soit une loi de probabilité ?
+∞
� � 1+(−1)k �
Même question pour p =
α
δk .
k!
Montrer que p est une probabilité sur l’espace probabilisable (Ω, P(Ω)).
Calculer p({−n, . . . , n − 1}).
Exercice 15: – Calculer – Chercher – Soit Ω = {wk | k ∈ N∗ }. On considère la
suite (pn )n∈N définie par :
Exercice 11: – Chercher –
Une urne contient 6 boules numérotée de 1 à 6. On tire trois boules de suite avec
remise. Quelle est la probabilité :
1. de pouvoir former une suite croissante avec les boules obtenues ?
2. de pouvoir former une suite strictement croissante avec les boules obtenues ?
3. d’obtenir précisément une suite strictement croissante ?
4. d’obtenir précisément une suite croissante ?
pn+1 =
4
pn
n
∀n ∈ N∗
Calculer p1 de manière à ce que l’application p : P(Ω) → R définie par
p=
+∞
�
pk δ w k
k=1
soit une loi de probabilité sur P(Ω).
Espaces probabilisés discrets
Exercice 16:
définie par
– Calculer – Soit a ∈ R. On considère l’application p : N −→ R
p=
Exercice 12: – Calculer –
1. Existe-t-il une constante α telle que
+∞
�
(ak + 1)e−k δk
k=0
Supposons que p soit une loi de probabilités.
1. Calculer p({0}) et en déduire p({1}). Quelle est l’unique valeur de a possible ?
2. Avec la valeur de a trouvée en 1), déterminer p({2}). Qu’en déduit-on ?
+∞
�
(−1)k
p=
α
δk
k!
k=2
2
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
3.
Indépendance et probabilités conditionnelles
4.
Exercice 17: – Raisonner – Chercher – Montrer que si A et B sont des événements
indépendants, alors Ac et B ainsi que Ac et B c sont indépendants.
Quelques exercices de plus
Exercice 18:
– Chercher – Soient A et B deux événements et incompatibles.
Calculer min(p(A), p(B)).
Exercice 22: – Modéliser – Chercher – Joe élève des alligators pour une fabrique
de bracelets pour montres.
Il dispose de trois couveuses pour faire éclore les oeufs :
- La première est réglée sur une température de 33 degrés et donnera nécessairement des alligators mâles.
- La deuxième, à 31 degrés, donnera des mâles avec une probabilité de 0,5 pour
chaque oeuf
- et la troisième, à 29 degré, ne donnera que des femelles.
Il a placé 2 oeufs dans la première, 3 dans la deuxième et 1 dans la troisième.
Exercice 19: – Chercher – Raisonner – Calculer – Soient p ∈]0; 1[, (An )n∈N une
suite d’événements et (Bn )n∈N un système complet d’événements tels que, pour
tout i ∈ N et tout k ∈ {0, . . . , i},
� �
i 1
p(Bi ) = pi (1 − p),
pBi (Ak ) =
k 2i .
Montrer que, pour tout n ∈ N et tout k ∈ {0, . . . , n},
� �
n
1 n−k
pAk (Bn ) =
p
(2 − p)k+1 .
n+1
k 2
Après éclosion des oeufs, il regroupe dans le même vivarium les 6 nouveaux alligators.
1. On note Fk l’événement : il y a k alligators femelles dans le vivarium.
a) Quel est l’ensemble des k possibles ?
b) Déterminer la probabilité de Fk pour tout k possible.
2. Joe est maladroit, deux alligators le mordent à la main. Calculer la probabilité
pour que ce soient des femelles.
Exercice 20: – Chercher – Raisonner – Calculer – Soient λ > 0, p ∈]0; 1[, (An )n∈N
une suite d’événements et (Bn )n∈N un système complet d’événements tels que, pour
tout n ∈ N et tout k ∈ {0, . . . , n},
� �
n
n k
−λ λ
p(Bn ) = e
, pBn (Ak ) =
p (1 − p)n−k .
n!
k
Exercice 23: – Modéliser – Chercher – Calculer –
Cendrillon veut aller au bal du prince. Totalement fan de Boney M, elle s’est
fabriqué une magnifique robe lamée or style disco, mais il lui manque quelques accessoires. Sa maraine, toujours prête à l’aider, lui ramène sa veille malle contenant
pèle mêle a accessoires divers et b broches à fleurs pas du tout adaptées au style
disco. Sa maraine est joueuse, Cendrillon n’a le droit de piocher dans la malle que
5 fois et, si elle tombe sur une broche, elle doit la remettre dans la malle avant de
retenter sa chance.
1. Calculer la probabilité que Cendrillon reparte avec au moins un accessoire.
2. Calculer la probabilité que Cendrillon trouve exactement un accessoire assorti
à sa tenue.
3. Reprendre la question précédente dans la cas où la malle est magique :
elle contient au total n objets, mais le nombre a d’accessoires disco est un
n−1
�
nombre aléatoire dans l’intervalle �1; n−1�. (On admettra que
k(n−k)4 =
Montrer que, pour tout k ∈ N,
p(Ak ) = e−λp
Exprimer A en fonction de (Ak )k∈{1,...,n} .
2n (n!)2
En déduire que p(A) =
(2n)!
(λp)k
k!
Exercice 21: – Chercher – Raisonner – Calculer – Une urne contient 2n boules
dont n blanches et n noires. On vide l’urne en eﬀectuant n tirages au hasard de 2
boules simultanées.
On cherche à calculer la probabilité d’obtenir des boules de 2 couleurs diﬀérentes
à chaque tirage. On considère les événements A ="on obtient des boules de 2 couleurs diﬀérentes à chaque tirage" et, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, Ak ="on obtient des
boules de 2 couleurs diﬀérentes au k ème tirage." On cherche donc à calculer p(A).
1. Calculer p(A1 ).
2. Montrer que, pour tout k ∈ {2, . . . , n},
�
�
k−1
�
2(n − k + 1)2
P Ak /
Ai =
.
2(n − k + 1)(2(n − k + 1) − 1)
i=1
n2 (n−1)(n+1)(2n2 −3)
.)
60
k=1
Exercice 24: – Modéliser – Chercher – Après le bal, le Prince Charmant parcourt
le royaume de son père sur sa Harley pour retrouver l’élue de son coeur qui pourra
chausser sa charentaise en vair de pointure 34. Cendrillon et la fée Carabosse
3
— Feuille 4: Espaces probabilisés —
chaussent toutes les deux du 34. Il visite 14 chaumières numérotées de 1 à 14.
Cendrillon est est abritée dans la chaumière numéro 6. La fée habite seule (et
heureuse de l’être !) dans une chaumière au hasard.
Chacune des chaumières visitées a 17% de chances d’abriter, lorsque la fée ou la
princesse ne sont pas installées, une (et une seule jeune fille) permettant d’enfiler
la célèbre pantoufle. Les demi-soeurs de Cendrillon chaussent du 45.
Sachant que la longueur des pieds des demoiselles du royaume sont indépendantes
les unes des autres calculer la probabilité pour le prince d’épouser Cendrillon dans
les cas suivants :
1. Le prince visite les maisons dans l’ordre croissant des numéros.
2. Le prince visite les maisons dans un ordre totalement aléatoire.
4
— Feuille 4: Espaces probabilisés —

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