Terminale S1 Devoir n°19 à remettre le 7 avril 2014

Terminale S1
Devoir n°19 à remettre le 7 avril 2014
Exercice 1
Trois sacs contiennent des jetons selon la répartition suivante :
• le sac S1 contient trois jetons noirs et deux jetons rouges ;
• le sac S2 contient quatre jetons noirs et un jeton rouge ;
• le sac S3 contient un jeton noir et quatre jetons rouges.
Une expérience aléatoire se déroule selon les deux étapes suivantes.
• Première étape
On tire au hasard un jeton dans le sac S1 et un jeton dans le sac S2 .
Si ces deux jetons sont de la même couleur, on les met dans le sac S3 .
Sinon, on les remet dans leurs sacs d’origine.
• Deuxième étape
On tire un jeton au hasard dans le sac S3 .
Pour tout entier k compris entre 1 et 3, on note Nk et R k les événements "on tire un jeton noir dans le
sac Sk " et "on tire un jeton rouge dans le sac Sk ".
1. Représenter la situation par un arbre de probabilités.
2.
a. Calculer la probabilité des événements N1 ∩ N2 ∩ N3 et N1 ∩ R 2 ∩ N3 .
En déduire la probabilité de l’événement N1 ∩ N3 .
b. Déterminer de façon analogue la probabilité de l’événement R 1 ∩ N3 .
c. Déduire des questions précédentes la probabilité de l’événement N3 .
3. Les événements N1 et N3 sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
4. Si le jeton tiré dans le sac S3 est noir, quelle est la probabilité que le jeton tiré dans le sac S1 soit
rouge ?
Exercice 2
Une particule se déplace aléatoirement entre deux positions A et B.
On note, pour tout entier naturel n :
• An l’événement "la particule est en A à l’instant n" et a n = P (An ) ;
• Bn l’événement "la particule est en B à l’instant n" et b n = P (Bn ).
On sait que :
• à l’instant t = 0, la particule est en A ;
• la probabilité pour que la particule ne change pas de position entre les instants n et n +1 est égale
à une constante c.
1. Donner les valeurs de a 0 , a n + b n , P An (An+1 ) et de P Bn (Bn+1 ).
2.
a. Calculer en fonction de c et de b n la probabilté de l’évenement Bn ∩ An+1 .
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, a n+1 = (2c − 1)a n + 1 − c.
(2c − 1)n + 1
c. En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel n, a n =
2
d. Déterminer la limite de la suite (a n ). Interpréter ce résultat.
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