IUT GB - Fiche de TD 2

IUTGB‐FichedeTD2
Exercice 1. Chez le lapin, la robe tachetée domine sur la robe unicolore et la coloration noire domine sur la coloration brune . On croise deux lapins de génotypes : tous les descendants de la génération 1 sont noirs et tachetés de génotype . Les individus de la génération 2, issus de deux lapins noirs tachetés de la 1, ont alors les génotypes suivants : Génotype Probabilité 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Calculer les probabilités de chaque génotype. Calculer les probabilités du tableau suivant pour un lapin de 2 Couleur Tacheté noir Tacheté brun Unicolore noir Unicolore brun Probabilité Sachant qu’un lapin de 2est noir tacheté, quelle est la probabilité qu’il ait pour génotype Quelle est la probabilité qu’un lapin de 2 soit noir ? Sachant qu’un lapin de 2 est tacheté, quelle est la probabilité qu’il soit noir ? Expliquer la coïncidence des deux derniers résultats. ? Réponse. (j’utilise ici les deux notations ℙ |
ℙ
pour parler de la probabilité de sachant ). 1. Chaque individu de la génération 2 prend un allèle ou et un allèle ou de chacun des ses parents de génotype . Cela fait 4 possibilités provenant du mâle et 4 provenant de la femelle ( , , , ) et en croisant les deux, 16 possibilités (sachant que et ) : Mâle
Femelle Ce qui donne Génotype Probabilité 1/16 2/16 1/16 2/16 4/16 2/16 1/16 2/16 1/16 2. On peut coder les événements de façon suivante : Couleur Tacheté noir Tacheté brun Unicolore noir Unicolore brun Codage ? ? ? ? Probabilité 9/16 3/16 3/16 1/16 (on utilisera également les notations ? ? ? pour l’événement « robe noire » et ? ? ? pour « robe tachetée ») 3.
ℙ
4.
ℙ noir
5.
ℙ noir|tacheté
6.
| ? ?
ℙ ?? ?
ℙ
ℙ
? ?
ℙ
ℙ
? ?
ℙ
ℙ ? ? ? | ? ? ?
? ?
?
ℙ
???
?? ? ℙ ?? ?et T???
ℙ ???
ℙ
? ?
ℙ ???
Il y a indépendance des deux facteurs : la couleur de la robe (noir/brun) et le type de robe (tacheté/unicolore). Ainsi : ℙ noir|tacheté
ℙ noir c’est‐à‐dire . Exercice 2. ATTENTION : le cas de la question 1 (partie surlignée) n’a pas été traité dans tous les cours. En revanche, le cas de la question 2 a bien été étudié en cours. Un jardinier dispose d’un sachet de 20 graines dans lequel 25% ne germeront jamais. Il décide d’en planter 15 au hasard. 1. On note le nombre de graines qui vont pousser. a. Quelle est la loi de ? b. Calculer ℙ
9 , ℙ
13 , ℙ 9
13 . c. Calculer ,
et . 2. Reprendre l’exercice en remplaçant le sachet de 20 graines par un gros sac de graines, avec toujours 25% de graines qui ne germeront jamais. Réponse. 1.
On note 75% et 1
25%. La variable X est le nombre de succès pour 15tirages sans remise dans un sachet contenant 20graines dont 15 graines peuvent germer et 5 graines qui ne peuvent pas germer. a. suit une loi hypergéométrique : ↝
; ;
20; 15; 15 b. peut prendre que les valeurs telles que 10
15 (si au plus 9 graines germent, alors on a pris au moins 6 graines qui ne germent pas, ce qui est impossible) donc ℙ
9
0.Pour lers autre valeurs de : 15
5
15
ℙ
20
20
15
ce qui donne 10 11 12 13 14 15 ℙ
9
ℙ
19,37% 44,02% 29,347% 6,77% 0,48% 0,01% ℙ
19,37% 63,39% 92,74% 99,51% 99,99% 100% 100%ℙ 9
13
15 0,75 11,25
c.
1
2.
ℙ
13
99,51% 15 0,75
0,25
≃ 0,74
≃ 0,86.
Xest le nombre de succès pour 15tirages sans remise dans un sac un grand nombre de graines dont 75% peuvent germer, et 25% ne peuvent pas germer. Même si ce sont des tirages sans remise, comme il y a un grand nombre de graines (non précisé) dans le sac par rapport aux faible nombre de graines prélevées, on peut utiliser une loi binomiale. Ainsi : 15
. a. suit une loi binomiale : ↝
;
15; 0,75 ℙ
0,75 0,25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ℙ
0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,01% 0,07% 0,34% 1,31% 3,93%
ℙ
0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,01% 0,08% 0,42% 1,73% 5,66% 14,84% 31,35% 53,87% 76,39% 91,98% 98,66% 100,00%
9
13
b. ℙ
ℙ
ℙ 9
c.
9,17% 16,51% 22,52% 22,52% 15,59% 6,68% 1 ℙ
8
1 5,66% 94, 34% 91, 98% 13
ℙ
13
ℙ
8
91, 98% 5,66%
11, 25
2, 8125
1,34% 86, 32%. ≃ 1, 677. Exercice 3. On examine successivement les souris dans une population à la recherche d’un caractère génétique particulier . Pour chaque souris, on suppose que la probabilité d’avoir ce caractère est de 15%. On note le nombre de souris à examiner pour observer la première fois le caractère . , et . 1. Quelle est la loi de ? Calculer 2. Calculer les probabilités ℙ 1 , ℙ 6 , ℙ 15 . 3. Calculer ℙ pour 1. Calculer minimum pour que ℙ 95%. Réponse. 1. C’est un temps d’attente de premier succès (loi géométrique de paramètre 0,15) : ↝ 15% pour ∈ ∗ ℙ
où
1
1
2.
3.
ℙ
1
ℙ
6
ℙ
15
ℙ
6, 667
37, 778
0,85 6, 146. 15% 1
1
⋯
ℙ
14
1
1
1
1
donc ln 0,85
Il faut donc prendre 1
⋯
1
⋯
1
1– 0,85
0,85
1
62, 29% 0,85
10, 28% 95%donc 0,85
ln 0,05
0c'estàdire
0,05 ln 0,05
ln 0,85
18,4 18. Exercice 4. Un liquide contient 9,3.10 bactéries par litre. On prélève un échantillon de 1
). probabilité 10 de se trouver dans l’échantillon (car 1 10
1. Déterminer le nombre moyen de bactéries par
. de ce liquide. Chaque bactérie a donc une 2.
On note le nombre aléatoire de bactéries dans l’échantillon et on suppose que suit une loi de Poisson de moyenne . Calculer les probabilités ℙ
1 , ℙ
2 etℙ
4 . Réponse. 1.
9, 3.10 10
↝
2.
0, 93. ,
,
0, 93 ∶ pour ∈ ℙ
!
!
. 9,3.10 et de paramètre Remarque : on peut interpréter comme suivant une loi binomiale de taille 9,3.10 ; 10 ue l’on approxime par une loi de Poisson. 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5,29% 1,23% 0,23% 0,04% 0,00% 0,00% ℙ
39,46% 36,69% 17,06% ℙ
39,46% 76,15% 93,21% 98,50% 99,73% 99,96% 99,99% 100,00% 100,00%
ℙ
1
39,46%,ℙ
2
93,21%et ℙ
4
1
ℙ
3
100%
98,5%
1,5%. Exercice supplémentaire sur les probabilités conditionnelles : Exercice 5. Pour diagnostiquer une maladie du mouton, on a mis au point un test, mais qui n’est pas parfait : il peut y avoir des « faux positifs » c’est‐à‐dire des moutons pour lesquels le test est positif et qui ne sont pas malades, et à l’inverse des « faux négatifs » pour lesquels le test est négatif alors que le mouton est bien atteint par la maladie. On note les événements : « le mouton est malade » : « le test est positif ». On connaît les caractéristiques du test : sa sensibilité qui est la probabilité que le test soit positif pour une bête est malade, que l’on suppose de 90% sa spécificité qui est la probabilité que le test soit négatif lorsque la bête est saine, que l’on suppose à 85% On suppose que 20% des moutons d’une région sont atteints par la maladie. 1. Écrire les événements : « le mouton est un faux positif » et : « le mouton est un faux négatif » en fonction de et . 2. Écrire les données de l’exercice sous forme de probabilités. 3. Pour un mouton pris au hasard, calculer la probabilité qu’il soit positif au test. 4. Sachant qu’un mouton est positif au test, calculer la probabilité qu’il soit malade. 5. Sachant que le mouton est négatif au test, calculer la probabilité qu’il ne soit pas malade. ∩
. 6. Calculer l’efficacité du test c’est‐à‐dire la probabilité qu’il n’y ait pas d’erreur commise ℙ
Réponse. (j’utilise à nouveau les deux notations ℙ |
1.
∩ ∩ 90%ℙ |
ℙ
2. ℙ |
ℙ
On en déduit immédiatement : ℙ |
ℙ
10%ℙ |
ℙ
3. ℙ
ℙ |
ℙ
ℙ |
ℙ
30% 4. C’est la formule de Bayes : ℙ
ℙ |
ℙ
ℙ
ℙ
5. C’est la formule de Bayes à nouveau : ℙ
|
ℙ
ℙ
pour parler de la probabilité de sachant ). 85%ℙ
20% 15%ℙ
80% ℙ
ℙ
ℙ
ℙ
ℙ
ℙ
ℙ
ℙ
ℙ
ℙ
85% 80%
1 30%
20%
15%
90% 20%
30%
ℙ
ℙ
ℙ
90%
80%
60% 97,14% 6.
Eff ℙ
ℙ ∩ ∩ ∩
∩
ℙ
∪
∩
car les deux derniers sont disjoints. Ainsi : Eff ℙ
ℙ
ℙ
ℙ
∪
90%
ℙ
∩
∪
20%
85%
∩
ℙ
80%
86% ∩
ℙ
∩

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