Devoir Surveillé 9 – Probabilités

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Samedi 31/05/2014
Devoir Surveillé 9 – Probabilités
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté, la précision et la concision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
L’usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit. Notamment, les téléphones portables doivent être éteints
et rangés.
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra
sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre
Exercice – Étude d’un combat à trois.
On considère un combat entre trois tireurs A, B et C, qui se déroule en une suite d’épreuves de la façon suivante,
jusqu’à élimination d’au moins deux des trois tireurs :
• Lorsque A tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire vaut 32 .
• Lorsque B tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire vaut 21 .
• Lorsque C tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire vaut 31 .
• Lorsqu’un des tireurs est atteint, il est définitivement éliminé des épreuves suivantes.
• À chacune des épreuves, les tireurs non éliminés tirent simultanément et chacun d’eux vise le plus dangereux de ses
rivaux non encore éliminés. Ainsi, à la première épreuve, A vise B, tandis que B et C visent A.
Lors d’une épreuve donnée, les tirs des adversaires restants sont mutuellement indépendants.
Pour tout nombre entier n > 1, on considère les événements suivants :
ABCn : « à l’issue de la n-ième épreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés »
ABn : « à l’issue de la n-ième épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés »
An : « à l’issue de la n-ième épreuve, seul A n’est pas encore éliminé »
∅n : « à l’issue de la n-ième épreuve, les trois tireurs sont éliminés »
On définit de manière similaire les événements BCn et ACn , ainsi que Bn et Cn .
Enfin, l’événement ABC0 est l’événement certain, tandis que AB0 , AC0 , BC0 , A0 , B0 , C0 et ∅0 sont égaux à l’événement impossible
1. Calculer P (ABC1 ), et plus généralement P (ABCn ), pour n > 1.
2. Calculer P (ABn ), P (ACn ) et P (BCn ).
3. On note T l’aléa numérique indiquant le nombre d’épreuves à l’issue duquel cesse la combat, c’est-à-dire au delà
duquel il ne reste qu’un tireur au plus.
Calculer, pour tout n ∈ N, P (T > n) et en déduire que T est une variable aléatoire, dont on déterminera la loi.
4. Déterminer l’espérance de T .
5. En s’intéressant à la configuration du jeu au début du n-ième combat, calculer la probabilité que A soit déclaré
vainqueur à l’issue du n-ième combat. En déduire la probabilité que A gagne le combat
On pourrait bien entendu calculer de la même façon la probabilité de victoire de B et de C, ainsi que la probabilité
qu’il n’y ait pas de vainqueur. On trouverait, en notant GB, GC, et G∅ ces 3 événement respectivement :
P (GB) =
1
,
8
P (GC) =
67
112
et
P (G∅) =
15
.
112
Ainsi alors que c’est lui qui vise le plus mal, c’est le joueur C qui a le plus de chances de remporter le tournoi, car
personne ne se méfie de lui. En revanche, l’adresse de A est compensée par le fait que les 2 autres se liguent contre
lui tant que les 3 joueurs sont encore présents.
1
Problème – Étude de la descendance d’un individu (autour de la loi de Galton-Watson)
Dans tout le problème, on désigne par λ un réel strictement positif. L’objet du problème est d’étudier l’évolution au
cours du temps de la descendance d’un individu dans une population donnée.
Question préliminaire (formule de l’espérance totale)
Soit X une variable aléatoire finie sur un espace probabilisé (Ω, T , P ), et (A1 , . . . , An ) un système complet d’événements
non quasi-impossibles. On note E(X | Ak ) l’espérance de X pour la mesure de probabilité PAk . Montrer que
E(X) =
n
X
E(X | Ak )P (Ak )
k=1
On admettra que cette formule reste vraie, sous réserve de convergence, lorsque X est une variable discrète à valeurs
dans N et (Ai )i∈I un système complet fini ou dénombrable.
Partie I – Nombre moyen de descendants
On convient d’appeler, dans une population donnée, descendants de première génération d’un individu, ses enfants ;
descendants de deuxième génération, ses petits-enfants ; etc.
Soit X une variable aléatoire réelle discrète suivant une loi d’espérance λ. On suppose alors dans la suite du problème
que le nombre de descendants de première génération de tout individu au sein de cette population suit la même loi que
X et que pour tout n ∈ N∗ , les variables aléatoires associant aux différents individus d’une même génération le nombre
de leurs descendants de n-ième génération sont indépendantes et de même loi.
On note désormais :
• pour tout n ∈ N∗ , Xn la variable aléatoire telle que le nombre de descendants de n-ième génération de tout individu
au sein de cette population suive la même loi que Xn ; ainsi, X1 = X, et X2 correspond à la loi du nombre de
petits-enfants d’un individu ;
• pour tout n ∈ N∗ , un = P (Xn = 0) la probabilité pour un individu donné de n’avoir aucun descendant à la n-ième
génération (on posera par convention u0 = 0).
1. Soit n ∈ N∗ . Déterminer, pour tout k ∈ Xn (Ω), l’espérance conditionnelle E(Xn+1 | Xn = k).
2. En déduire que E(Xn ) = λn .
3. On suppose dans cette question, et uniquement dans cette question, que X est une variable finie. On retrouve
le résultat précédent par l’utilisation des séries génératrices (ici réduites à des polynômes). Pour toute variable
aléatoire finie Y à valeurs dans N, on note GY la fonction définie sur [0, 1] par :
∀x ∈ [0, 1], GY (x) =
X
P (Y = k)xk .
k∈Y (Ω)
Montrer que pour tout n ∈ N∗ , GXn+1 = GXn ◦ GX et retrouver l’expression de E(Xn ).
4. Commenter, suivant les valeurs de λ, la valeur de la limite de E(Xn ).
5. On suppose que le fait de naître homme ou femme est une expérience de Bernoulli de paramètre 21 . Par ailleurs,
on suppose que le patronyme se transmet uniquement par la descendance mâle. Discuter, suivant la valeur de λ,
de l’évolution moyenne du patronyme de l’individu initial dans sa descendance.
Partie II – De la probabilité d’extinction de la descendance d’un individu
1. Montrer que pour tout n ∈ N, un+1 = E(uX
n ).
2. On suppose dans la suite de cette partie que X suit une loi de Poisson de paramètre λ.
Montrer que pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ), où f : x 7→ eλ(x−1) .
3. Montre que (un )n∈N converge, vers une limite ℓ qu’on n’explicitera que lorsque λ 6 1.
2
4. On suppose que λ > 1 et on note ℓ la limite de (un ). Montrer que pour tout ε > 0, il existe n tel que
f (un + ε) − (un + ε) < 0, et qu’alors, |un − ℓ| < ε
5. Écrire une fonction en Python retournant, pour toute valeur de λ et toute marge d’erreur ε fournies en paramètre,
une valeur approchée à ε près de la probabilité d’extinction de la descendance de l’individu.
Partie III – Du nombre moyen de générations de la descendance d’un individu
Soit D l’aléa numérique égal au nombre de générations de descendants d’un individu donné. Ainsi, D + 1 correspond
au rang d’extinction de la lignée. Par exemple, D prend la valeur 0 si l’individu n’a pas d’enfants, 1 si l’individu a
des enfants mais pas de petits-enfants. L’alée D peut ne prendre aucune valeur si l’individu admet des descendants de
toute génération.
On suppose dans cette partie également que X suit une loi de Poisson de paramètre λ. La suite (un ) vérifie donc la
relation de récurrence donnée par la fonction f .
1. (a) Exprimer P (D > n) et P (D = n) en fonction de un et un+1 .
(b) Justifier que D est une variable aléatoire si et seulement si λ 6 1. Dans la suite de cette partie, on suppose
qu’on est dans cette situation.
(c) Justifier que si nP (D > n) admet une limite finie, alors D admet une espérance si et seulement si la série
de terme général P (D > n) converge, et que dans ce cas :
E(D) =
+∞
X
P (D > n).
n=0
2. On suppose dans cette question que λ = 1.
1
α
(a) Soit wn =
. Déterminer un réel α tel que la suite (wn+1
− wnα )n∈N admette une limite finie non nulle
1 − un
qu’on déterminera.
1
(b) Quelle est alors la limite de wnα ?
n
(c) En déduire que D n’admet pas d’espérance lorsque λ = 1.
3. On suppose dans cette question que λ < 1.
(a) Montrer que : ∀n ∈ N, 0 6 1 − un 6 λn .
(b) Montrer que D admet une espérance lorsque λ < 1.
(c) Écrire une fonction Python donnant une valeur approchée à ε près de E(D).
Partie IV – De la conséquence d’une perturbation alphabétique dans la transmission des patronymes
La planète ZB est habitée par des êtres hermaphrodites, dont la société est régie par les règles suivantes :
• Tout individu possède un patronyme, écrit dans un alphabet sur lequel on dispose d’un ordre total. Ainsi, on dispose
également d’un ordre total sur l’ensemble des patronymes, donné par l’ordre lexicographique. Plusieurs individus
peuvent avoir le même patronyme.
• Les individus se reproduisent génération par génération, de façon successive mais rapprochée, de sorte que la population puissent être globalement répartie de façon nette en générations.
• Lors de la phase de reproduction, pour former la génération n + 1, chaque individu A de la génération n choisit
uniformément sur l’ensemble de tous les autres habitants un compagnon B de la génération n (et indépendamment
des autres, plusieurs individus peuvent ainsi faire le même choix) avec lequel il aura exactement 1 fils. Ce fils est
appelé fils direct de l’individu A, et fils indirect de l’individu B.
• Ainsi, tout individu a exactement un fils direct, mais peut avoir de 0 à N −1 fils indirects, selon le nombre d’individus
l’ayant choisi.
On étudie ici les conséquences de plusieurs règles de transmission des patronymes.
1. Dans cette question, les patronymes sont transmis par la règle suivante :
3
Transmission du patronyme, règle 1 : tout individu transmet son patronyme à son fils direct.
Soit N le nombre d’individus à la génération initiale d’étude, appelée génération 0. Déterminer le nombre
d’individus dans chaque génération, et discuter de l’évolution des patronymes génération après génération.
2. La société évoluant, les parents de nombreux fils indirects s’insurgent sur le fait que malgré leur grande contribution à la survie de l’espèce, ils ne transmettent leur patronyme qu’à un seul un de leurs fils (l’unique fils direct).
Après moult manifestations, la loi suivante est adoptée :
Transmission du patronyme, règle 2 : tout nouveau-né pourra prendre, de façon aléatoire et
indépendante des autres, le patronyme du père direct ou du père indirect. Ce choix représente une
expérience de Bernoulli de paramètre p (pas nécessairement égal à 12 , du fait de la persistance des
habitudes, mais indépendant des individus).
Initialement, les patronymes sont au nombre de M . Étant donné un de ces M patronymes, il est donc possédé
par au moins un individu de la génération 0.
Les patronymes étant numérotés de 1 à M dans l’ordre alphabétique, on note Xn,k le nombre d’individus de
la n-ième génération de patronyme numéro k. On note Yn,k le nombre d’individus de la n-ième génération de
patronyme numéro k, dont le père direct est aussi de patronyme k ; Zn,k est le nombre d’individus de la n-ième
génération dont le père direct n’est pas de patronyme k.
On remarquera qu’un individu peut choisir comme père indirect de son fils direct un individu de même patronyme
(autre que lui-même bien entendu), et que dans ce cas, ce patronyme est automatiquement transmis au fils.
(a) Soit k ∈ N. Sachant que Xn,k = ℓ est réalisé, déterminer la loi du nombre Cn,k d’individus de patronyme
donné k ayant choisi un individu de même patronyme k.
(b) En déduire l’espérance conditionnelle E(Yn+1,k | Xn,k = ℓ).
(c) Montrer que E(Xn+1,k ) = E(Xn,k ). Que peut-on dire en moyenne de la répartition des patronymes, génération après génération ?
3. Très vite la nouvelle loi sème la discorde sur la planète ZB, certains couples de pères ne parvenant pas à s’entendre
sur le choix du patronyme à transmettre. Une nouvelle loi est votée pour remédier au problème.
Transmission du patronyme, règle 3 : Lorsque les parents d’un individu ne parviennent pas à
s’entendre, c’est le premier patronyme dans l’ordre alphabétique qui est transmis au nouveau-né.
Expérimentalement, il s’avère que les parents s’entendent pour le choix du père direct, avec une probabilité 21 −α,
pour le choix du père indirect avec une probabilité 12 − α, et font appel à la règle 3 ci-dessus avec une probabilité
2α, pour α ∈]0, 12 [.
∗
(a) En notant AM l’événement « aucune génération ne se retrouve constituée que d’individus de patronyme
M », montrer que E(Xn,M | AM ) tend vers 0.
(b) A-t-on E(Xn,M ) → 0 ?
(c) En notant B1 l’événement « à aucune génération le patronyme 1 ne disparaît entièrement », peut-on affirmer
que E(Xn,1 | B1 ) → N ?
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