MATHEMATIQUES – 1S
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PROBABILITES : VARIABLE ALEATOIRE
Patrick CHATEL
Table des matières
1.
2.
3.
Quelques rappels
1.1. Loi de probabilité
1.2. Vocabulaire des événements
1.3. Probabilité d’un événement
Variable aléatoire
2.1. Définition
2.2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Paramètres d’une variable aléatoire
3.1. Espérance, variance, écart-type
3.2. Transformation affine
1 QUELQUES RAPPELS
1.1 LOI DE PROBABILITE
Définition
On appelle expérience aléatoire toute expérience ayant plusieurs issues (ou éventualités) possibles et dont on
ne peut pas prévoir à l’avance laquelle de ces issues sera réalisée.
Ces éventualités sont notées e1 ; e2 ; . . . ; en.
Leur ensemble, noté Ω, est appelé univers ; on a donc Ω = {e1 ; e2 ; . . . ; en}.
Exemple : On lance un dé à 6 faces : l’univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Définition
- Chaque éventualité ei est affecté d’une probabilité, c’est-à-dire d’un nombre noté pi tel que :
-
0 pi 1 et p1 + p2 + · · · + pn = 1
On appelle loi de probabilité la donnée des pi vérifiant ces conditions.
Définition
Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dits qu’ils sont équiprobables, ou que la loi de
probabilité p est équiprobable (ou équirépartie).
Exemple : On lance un dé à 6 faces bien équilibré.
Chaque face ayant les mêmes chances d’apparaître, chaque éventualité a une probabilité de 1/6 .
La loi de probabilité est donc :
ei
1
2
3
4
5
6
pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Remarque : De manière générale, si une expérience aléatoire est équiprobable et comporte n issues
différentes, chacune des issues a une probabilité de 1/n.
1.2 VOCABULAIRE DES EVENEMENTS
Définition
- Un événement A est une partie de l’univers (A ⊂ Ω) ;
est l’événement impossible ;
- Ω est l’événement certain.
Exemple : On lance un dé à 6 faces bien équilibré.
Des exemples d’événements :
A : « Obtenir un nombre pair »,
B : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 »,
B’ : « Obtenir un nombre strictement supérieur à 4 »,
C : « Obtenir 7 »,
D : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 ».
On a :
A = {2 ; 4 ; 6} ,
B = {1 ; 2} ,
B’ = {5 ; 6} ,
C = (événement impossible),
D = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} = Ω (événement certain).
Définition
Soient A et B deux événements d’un univers .
- L’événement A B est l’événement « A et B ».
- L’événement A B est l’événement « A ou B ».
- L’événement A est l’événement « contraire de A » ou « non A ».
- Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, c’est-à-dire si
A B= .
Exemple : On reprend les notations de l’exemple précédent.
- A B est l’événement « Obtenir un nombre pair inférieur ou égal à 2 » = {2}.
- A B est l’événement « Obtenir un nombre pair ou un nombre inférieur ou égal à 2 » = {1, 2, 4, 6}.
A est l’événement « Obtenir un nombre impair » .
- Les événements B et B’ sont incompatibles.
1.3 PROBABILITE D’UN EVENEMENT
Propriété
La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui le composent. On la note p(A).
Remarques :
1.
2.
3.
4.
pi =
nombre d'éléments de A nbre cas favorables
1
=
et p ( A) =
.
nombre d'éléments de Ω
nbre cas possibles
n
Propriété
- Si A est un événement : p ( A ) = 1 − p (A).
-
Page 1
On a donc 0 p (A) 1.
p(Ω) = 1 : l’événement est certain.
p( ) = 0 : l’événement est impossible.
Dans le cas de l’équiprobabilité, si l’univers comporte n issues, on a :
Si A et B sont deux événements : p (A B) = p (A) + p (B) − p (A B) ;
En particuliers, si A et B sont incompatibles : p (A B) = p (A) + p (B).
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Exemple : On reprend les notations de l’exemple du 1.2. Il s’agit d’une situation d’équiprobabilité ; on a :
- p(A) = 3/6 = 1/2 ,
- p( A ) = 1 – 1/2 = 1/2
- p(B) = 2/6 = 1/3
- p(A B) = 1/6 ;
- p(A B) = p(A) + p(B) − p (A B) = 1/2+ 1/3− 1/6 = 4/6 = 2/3 (on retrouve ce résultat directement en
détaillant l’événement A B.
Remarque : Quand on est en présence d’une situation d’équiprobabilité, on est souvent amener à dénombrer
(c.-à-d compter) et le nombre total d’issues de l’expérience et le nombre total d’issues de différents
événements.
Pour cela, il est commode de représenter la situation à l’aide de :
Méthode
-
-
-
Quand l’utiliser
Langues parlées
3 critères non
exclusifs :
anglais,
allemand et
espagnol
2 critères non
exclusifs
Le tabagisme
2 critères non
exclusifs :
sexe et
fumeur ?
Choix successifs
indépendants
ou non
3 lancers de
pièces
3 choix
successifs
indépendants
Diagramme
de Venn
Plusieurs
critères non
exclusifs
Tableaux
à double
entrées
Arbres
Exemple
Exercice 1 :
On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes.
1. Caractériser cette expérience.
2. Quelle est la probabilité des événements suivants :
- A : la carte tirée est le roi de cœur ;
- B : la carte tirée est un as ;
- C : la carte tirée est rouge ;
- D : la carte tirée n’est ni rouge ni un as.
Exercice 2 :
Deux lignes téléphoniques A et B arrivent à un standard. On note :
• E1 : « la ligne A est occupé » ;
• E2 : « la ligne B est occupée ».
Après étude statistique, on admet les probabilités : p(E1) = 0,5, p(E2) = 0,6 et p(E1∩E2) = 0,3.
Calculer la probabilité des évènements suivants après avoir exprimé ces derniers en fonction de E1 et/ou E2 :
- F : « la ligne A est libre » ;
- G : « une ligne au moins est occupée » ;
- H : « une ligne au moins est libre ».
Page 3
Exercice 3 :
Dans une équipe de rugby, il y a un effectif de 35 joueurs sous contrat : 21 avants et 14 arrières.
15 avants pèsent plus de 100 Kg, alors que c’est le cas de seulement 3 arrières.
On appelle A l’événement « le joueur est un avant » et B l’événement « le joueur pèse plus de 100 Kg ».
1. Organiser ces données dans un tableau.
2. Je sélectionne un joueur au hasard. Déterminer la probabilité des événements suivants :
– « Le joueur est un avant » ;
– « Le joueur pèse moins de 100 Kg » ;
– « Le joueur est un avant de plus de 100 Kg » ;
3. Je sélectionne un avant au hasard, déterminer la probabilité qu’il pèse plus de 100 Kg.
4. Je sélectionne un joueur de plus de 100 Kg au hasard, déterminer la probabilité que ce soit un avant.
Exercice 4 :
Une expérience aléatoire conduit à l'observation de trois événements A, B et C.
On sait alors que : P(A) = 0.15, P(B) = 0.3, P(C) = 0.4, P(A∪B) = 0.42, P(A∩C) = 0.05 et B et C sont incompatibles.
Calculer la probabilité des événements suivants : P(A), P(B∪C), P(A∩B) et P(A ∩ B) .
Exercice 5 :
On lance deux fois de suite un dé équilibré.
1. Combien y a-t-il d’issues à cette expérience ?
2. Calculer la probabilité des événements :
- A : « on obtient un double » ;
- B : « on obtient 2 numéros consécutifs » ;
- C : « on obtient au moins un 6 » ;
- D : « la somme des numéros dépasse 10 ».
Exercice 6 :
Le code d’une serrure est constitué d’une suite de deux chiffres et une lettre.
1. Combien y a-t-il de codes disponibles ?
2. Une personne essaie au hasard un code.
a. Calculer la probabilité des événements suivant :
- A : « Elle tombe sur le bon code » ;
- B : « Les deux chiffres sont exactes » ;
- C : « La lettre n’est pas la bonne » .
b.
Quelle est la probabilité des événements : A et B ∪ C ?
Exercice 7 :
Dans une loterie, on vend 100 billets dont 3 sont gagnants.
1. On achète un billet. Quelle est la probabilité qu’il soit gagnant ?
2. On achète un deuxième billet. Quelle est la probabilité de gagner au moins un lot ?
2 VARIABLE ALEATOIRE
2.1 DEFINITION
Définition
Soit une expérience aléatoire dont l'univers est l'ensemble Ω.
Une variable aléatoire est une fonction définie sur Ω et à valeurs dans
Page 4
; on la note en générale X.
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On appelle X la variable aléatoire égale au numéro inscrit sur ce secteur.
Donner la loi de probabilité de X.
Exercice 9 :
Un sac contient trois jetons numérotés 1, 2 et 3.
On tire successivement et avec remise 2 jetons de ce sac.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de fois où le jeton 3 a été tiré.
Donner la loi de probabilité de X.
Exercice 10 :
On prend 3 jetons numérotés 1, 2 et 3 et on les aligne au hasard.
1. À l'aide d'un arbre, représenter les issues de cette expérience.
2. X est la variable aléatoire qui, à chaque issue, associe le nombre de jetons dont la place correspond à son
numéro.
a. Décrire l'événement (X = 0) à l'aide d'une phrase.
b. Quelle est la probabilité de l'événement (X = 2) ? Expliquer.
c. Déterminer la loi de probabilité de X.
d. Déterminer la probabilité qu'au moins un jeton soit « à sa place ».
Exemple : On lance un dé équilibré à six faces et on joue au jeu suivant :
• « Si le résultat obtenu est 1 ou 6, je gagne 2 jetons. »
• « Si le résultat obtenu est 5, je gagne 1 jeton. »
• « Sinon, je perds 1 jeton. »
On peut définir une variable aléatoire X qui décrit les gains de ce jeu.
X est donc la fonction définie sur Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} par :
X ֏ ℝ avec X(1) = 2 , X(2) =−1 , X(3) = −1 , X(4) = −1 , X(5) = 1 , X(6) = 2 .
2.2 LOI DE PROBABILITE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE
3 PARAMETRES D’UNE VARIABLE ALEATOIRE
Définition
Une variable aléatoire X est définie sur l'univers Ω, d'une expérience aléatoire.
Notons E ={x1 , x2 ,..., xn} l'ensemble des valeurs prises par X.
La loi de probabilité de X est la fonction qui à chaque xi de E lui associe sa probabilité notée p(X = xi ) .
3.1 ESPERANCE, VARIANCE, ECART-TYPE
On peut résumer les résultats dans un tableau :
Définition
Une variable aléatoire X est définie sur l'univers Ω d'une expérience aléatoire.
xi
p(X = xi)
x1
p1
x2
p2
…
….
xn
pn
Remarques :
• On note « X = xi » l'événement « X prend la valeur xi » ; il s'agit de l'ensemble des issues de Ω auxquelles on
associe le réel xi.
• On s’intéresse dans ce chapitre à des variables aléatoires discrètes, car elles prennent un nombre fini de
valeurs. En mathématique, discret désigne un ensemble dont on pourrait énumérer les éléments ; il
s’oppose au terme continue.
Exemple : Dans le jeu de l'exemple précédent, chaque issue du lancer de dé est équiprobable, de probabilité
1/6 .
Le gain est de deux jetons si le résultat obtenu est 1 ou 6 ; la probabilité correspondante est 1/6 + 1/6 = 1/3,
d'où p (X = 2) = 1/3. On a de même p (X = 1) = 1/6 et p (X =−1) = 3/6 = 1/2.
La loi de probabilité est résumée dans le tableau suivant :
xi
-1
1
2
P(X = xi)
1/2
1/6
1/3
Exercice 8 :
Cette roue est partagée en 12 secteurs angulaires de même angle au centre.
Chaque secteur porte un numéro.
On fait tourner la roue qui finit par s’arrêter sur l’un des secteurs.
Page 5
Notons E = {x1 , x2 ,..., xn} l'ensemble des valeurs prises par X.
La loi de probabilité de X associe à chaque xi de E sa probabilité pi = p(X = xi) .
•
L'espérance mathématique de la loi de probabilité de X est la moyenne de la série des xi pondérés par pi ;
on la note E(X) :
n
E ( X ) = ∑ pi xi ;
i =1
•
La variance de la loi de probabilité de X est la variance de la série des xi pondérés par pi ;on la note V(X) :
n
V ( X ) = ∑ pi ( xi − E ( X ) ) ;
2
i =1
•
L'écart-type de la loi de probabilité de X est l'écart-type de la série des xi pondérés par pi on la note σ(X) :
σ (X ) = V (X ) .
Exemple : Reprenons le jeu de l'exemple précédent ; On a :
-
E(X ) =
1
1
1
3 1 4 2 1
× ( −1) + × 1 + × 2 = − + + = = ;
2
6
3
6 6 6 6 3
-
V (X ) =
1
1 1 1 1
1
1 16 1 4 1 25 17
;
× −1 − + × 1 − + × 2 − = × + × + ×
=
2
3 6 3 3
3
2 9 6 9 3 9
9
-
σ (X ) =
2
2
2
17
17
=
≈ 1, 37 .
9
3
Page 6
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Remarque : La loi des grands nombres nous permet d'interpréter l'espérance et l'écart-type de la loi de
probabilité de X.
En répétant un grand nombre de fois l'expérience, les fréquences observées se rapprochent de la probabilité
théorique.
Exercice 14 :
Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la
forme suivante :
n
n
i =1
i =1
•
La moyenne ∑ f i xi des résultats obtenus se rapproche de l'espérance ∑ pi xi de la loi de probabilité de X.
•
L'espérance est donc la moyenne que l'on peut espérer en répétant l'expérience un grand nombre de fois.
De même pour l'écart-type, qui est un paramètre de dispersion pour une série statistique, il peut être
interprété comme un paramètre de dispersion « espérée » ou « crainte » pour la loi de probabilité de X.
Pour le jeu proposé en exemple, l'espérance de 1/3 signifie que l'on peut espérer gagner en moyenne 1/3 de
jeton par partie (ou 1 jeton toutes les 3 parties). Mais avec une moyenne proche de 0,33, l'écart-type d'environ
1,37 exprime le fait que le risque d'obtenir un gain négatif (une perte) est important.
-5
0.3
-1
0.1
3
0.5
7
0.1
On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd).
Donner la loi de probabilité de X.
Calculer a pour que le jeu soit équitable.
Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.
Quelle est la probabilité p qu’un joueur gagne ?
Résultat (théorème de Koenig-Huygens)
n
La variance est également donnée par : V ( X ) = ∑ pi xi 2 − ( E ( X ) ) .
Exercice 12:
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie (V) ou fausse (F) puis justifier.
Proposition
La fléchette atteint toujours une case et une seule.
Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes la même probabilité d’être
atteintes. Si la fléchette atteint :
→ une case rouge, le joueur gagne 8 euros.
→ une case verte, le joueur gagne 5 euros.
→ une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.
→ une case blanche, le joueur perd a euros (où a > 0).
1.
2.
3.
Exercice 11 :
Calculer l’espérance et l’arrondi au centième de la variable aléatoire X dont voici la loi de probabilité :
xi
P(X = xi)
B B B B B B B B B J J J V V R
R V V J J J B B B B B B B B B
Démonstration :
V/F
k
1.
Si une variable aléatoire X suit la loi de probabilité suivante alors E ( X ) =
i
P(X =
2.
3.
i)
1
2
3
4
0,2
0,4
0,1
0,3
2
i =1
2
i =1
i =1
k
k
k
i =1
i =1
2
k
2
)=∑px
k
i i
i =1
2
− 2 pi xi E ( X ) + pi ( E ( X ) )
k
= ∑ pi xi −∑ 2 pi xi E ( X ) + ∑ pi ( E ( X ) ) = ∑ pi xi − 2 E ( X ) ∑ pi xi + ( E ( X ) )
2
i =1
k
2
2
i =1
k
i =1
= ∑ pi xi − 2 E ( X ) × E ( X ) + ( E ( X ) ) × 1 = ∑ pi xi − ( E ( X ) )
2
2
i =1
Soit X une variable aléatoire; il est possible d'avoir ( ) = 0.
2
2
2
k
∑p
i =1
i
2
i =1
2
Soit X une variable aléatoire; il est possible d'avoir ( ) = 0.
(
k
V = ∑ pi × ( xi − E ( X ) ) = ∑ pi × xi − 2 xi E ( X ) + ( E ( X ) )
5
5
et V ( X ) = .
2
4
2
Remarque : On écrit aussi V(X) = E(X ) − (E(X)) .
4. Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5.
Alors on a toujours P(X ⩽ 4) ⩾ P(X = 5).
TRANSFORMATION AFFINE D'UNE VARIABLE ALEATOIRE
Remarque : Lorsque les valeurs prises par X représentent les gains (ou les pertes) à un jeu, alors E(X)
représente le gain moyen par partie.
- Si E( X ) > 0 alors le jeu est favorable au joueur.
- Si E( X ) < 0 alors le jeu est défavorable au joueur.
- Si E( X ) = 0 alors le jeu est équitable.
Résultat (théorème de Koenig-Huygens)
Une variable aléatoire X est définie sur l'univers Ω d'une expérience aléatoire. Soit a et b deux nombres réels ;
Considérons la variable aléatoire Y définie par Y = aX + b ; On a alors :
-
E(Y) = a E(X) + b ;
-
V (Y ) = a2 V(X) ;
Exercice 13 :
Les six faces d’un dé sont colorées : 3 faces en rouge, 2 en vert et 1 en bleu.
Un joueur mise 1€ puis lance le dé. S’il obtient une face verte, il gagne 3 €, s’il obtient la face bleue, il gagne 5 €
et s’il obtient une face rouge, il ne gagne rien.
On note G la variable aléatoire correspondant au gain du joueur
1.
2.
3.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
Calculer l’espérance et l’écart-type de G.
Ce jeu est-il équitable ?
Page 7
σ(Y ) = ∣a∣ σ(X).
Démonstration :
k
k
k
E (Y ) = ∑ pi × yi = ∑ pi × ( axi + b ) = ∑ api xi + bpi
i =1
i =1
i =1
k
k
k
k
i =1
i =1
i =1
i =1
= ∑ api xi + ∑ bpi = a ∑ pi xi + b∑ pi = a × E ( X ) + b × 1 = a × E ( X ) + b
Page 8
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k
(
k
MATHEMATIQUES – 1S
V (Y ) = ∑ pi × ( yi − E (Y ) ) = ∑ pi × ( axi + b ) − ( aE ( X ) + b )
2
i =1
i =1
k
k
) = ∑ p × ( ax − aE ( X ))
k
2
i =1
i
2
i
= ∑ pi a 2 ( xi − E ( X ) ) = a 2 ∑ pi ( xi − E ( X ) ) = a 2 × V ( X )
2
i =1
2
i =1
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 4 + 4 = 2 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4.
Exemple : Une usine fabrique des tiges métalliques de longueur théorique 2,40 mètres. Une étude a montré
que ces mesures sont légèrement erronées.
On extrait au hasard une tige de la production et on considère la variable aléatoire X qui associe à chaque tige
sa taille au millimètre près.
La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :
xi
2,399
2,4
2,401
2,402
2,403
p(X = xi )
0,3
0,1
0,1
0,3
0,2
Pour simplifier les calculs, on définit la variable aléatoire Y = 1000 X − 2400 .
La variable Y ainsi définie décrit alors en millimètres la différence entre la tige mesurée et 2,40 mètres.
La loi de probabilité de Y est alors définie par :
yi
-1
0
1
2
3
p(Y = yi)
0,3
0,1
0,1
0,3
0,2
E (Y ) = 0, 3 × ( −1) + 0,1 × 0 + 0,1 × 1 + 0, 3 × 2 + 0, 2 × 3 = 1 ;
On en déduit E(X) car E(Y) = 1000 E(X) − 2400 d'où E(X ) = (E(Y)+ 2400)/1000 = 2,401 .
-
V (Y ) = 0, 3 × ( −1 − 1) + 0,1 × ( 0 − 1) + 0,1 × (1 − 1) + 0, 3 × ( 2 − 1) + 0, 2 × ( 3 − 1) = 2, 4 ;
2
2
Le Grand Duc de Toscane aurait remarqué, à force de jouer, qu'en lançant trois dés et en totalisant les points
obtenus, il était plus fréquent d'obtenir 10 que 9. Une telle constatation l'étonnait beaucoup puisque 10 et 9 se
décomposent tous les deux de 6 manières différentes :
9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3,
σ (Y ) = V (Y ) = a 2 × V ( X ) == a 2 × V ( X ) = a × σ ( X )
-
Exercice 17 : TICE
2
2
2
On en déduit σ(X) = σ(Y )/1000 ≃ 0,00155.
Exercice 15 :
Un loueur de bateau dispose de six bateaux qu’il loue à la journée.
X est la variable aléatoire qui a une journée associe le nombre de bateaux loués.
Sa loi de probabilité est donnée ci-dessous.
xi
0
1
2
3
4
5
6
p(X =xi )
0,06
0,11
0,18
0,22
0,20
0,15
0,08
Les deux événements devraient donc avoir les mêmes chances de se produire.
On se propose d’étudier cette problématique avec une approche statistique et probabiliste.
Partie A - Etude sur ordinateur
Simulation sur 5000 tirages
On simule 5000 lancers de trois dés afin de calculer leur somme.
1. Dans les cellules A2, B2, C2 et D2, noter « dé n°1 », « dé n° 2 », « dé n° 3» et « somme ».
2. Dans la cellule A3, écrire une formule permettant de simuler le lancer d'un seul dé, c'est-à-dire un nombre
choisi entre 1 et 6.
| Aide : On pourra utiliser les fonctions alea et ent.
3. Copier cette formule en B3 et C3 et calculer la somme en D3.
4. Copier ces formules dans la plage A3:D5002.
Calcul des fréquences observées
Suivant le nombre de lancers effectués, on s'intéresse à la fréquence d'apparition des sommes 9 et 10.
5. En F2, G2 et H2, écrire respectivement « Nb de tirages », « Fréq.de 9 » et « Fréq. de 10 ».
6. En F2, écrire une formule permettant le calcul par recopie du nombre de lancers.
7. Dans la colonne G, écrire une formule permettant d'obtenir la fréquence d'apparition du 9 suivant le
nombre de lancers
| Aide : on pourra utiliser les fonctions nb.si et nb.
8. Dans la colonne H, écrire une formule permettant d'obtenir la fréquence d'apparition du 10 suivant le
nombre de lancers
| Aide : on pourra utiliser les fonctions nb.si et nb.
Création de diagramme
Créer un graphique représentant les fréquences d'apparition du 9 et du 10 en fonction du nombre de lancers
effectués.
I Aide : dans le tableur OpenOffice, on choisira le type I de graphique « X-Y » en sélectionnant « lignes |
seules ».
Observation
En utilisant la touche F9 du clavier, observer sur la feuille de calcul les variations des fréquences d'apparition du
9 et du 10 puis sur le diagramme, les positions relatives des courbes représentant les fréquences d'apparition
du 9 et du 10.
Quelle conjecture peut-on émettre ?
Les frais fixes journaliers s’élèvent à 300 € et la marge bénéficiaire de location d’un bateau est de 150 €.
R est la variable aléatoire égale au gain journalier.
Calculer l’espérance de X ; en déduire celle de R.
Exercice 16 :
1.
A partir de l’analyse du programme XCas ci-contre,
écrire un énoncé d’exercice que ce programme
permet de résoudre.
2.
Que se passe-t-il si n devient grand ?
Expliquer.
Partie B - Etude mathématique
Démonstration de la conjecture
On souhaite prouver la conjecture faite ci-dessus et répondre ainsi au Grand-duc de Toscane : on lance trois
dés, on fait leur somme et on s'intéresse à la fréquence d'apparition du 9 et du 10.
1. A l'aide d'un arbre (première) ou d'un raisonnement combinatoire (terminale), dénombrer les tirages
possibles de lancers de trois dés (supposés différentiables).
2. Compter le nombre de façons différentes pour obtenir 9 à l'aide de trois dés.
3. Compter le nombre de façons différentes pour obtenir 10 à l'aide de trois dés.
4. Calculer alors la probabilité d'apparition du 9 puis du 10.
5. Le Grand-duc de Toscane a-t-il raison ?
Partie C - Lien entre statistiques et probabilités
1. Entrer les probabilités d'apparition dans les colonnes I et J.
2. Créer un nouveau graphique incluant les droites représentant ces probabilités.
3. Que peut-on remarquer quant à la convergence des fréquences observées ?
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