Quatrième / Cercles et triangles rectangles

Quatrième / Cercles et triangles rectangles
A. Théorème du triangle rectangle et du cercle inscrit
(Enoncer de nouvelles propriétés)
Exercice 1084
On considère le triangle ABC dont les mesures ont pour valeur :
AB = 5,2 cm ; BC = 4,8 cm ; AC = 2 cm
1.
Exercice 1962
On considère le cercle C ayant pour diamètre le segment [AB].
Avec les indications portées sur la ﬁgure, montrer que le point
C appartient au cercle C .
a. Tracer le triangle ABC.
b. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle
en C.
C
C
On note M le milieu de [BC], N le milieu de [AC], P le milieu
de [AB].
2.
:
53 o
a. Démontrer que (M P ) est parallèle à (AC).
o
37
b. En déduire que (M P ) est la médiatrice de [BC].
B
A
3. Démontrer que (N P ) est la médiatrice de [AC].
4. Que peut-on dire du point P ?
B. Réciproque du triangle rectangle et du cercle inscrit
:
à cette demi-droite.
Exercice 1086
On considère le triangle ABC inscrit dans le cercle C de
centre I où [BC] est un diamètre du cercle C .
La droite perpendiculaire à la droite (AC) passant par le point
I intercepte le segment [AC] en J.
En utilisant uniquement la règle non-graduée et le compas,
placer un point B dans le plan de sorte à ce que le triangle
ABC soit un triangle rectangle en B.
Exercice 2933
On considère dans le plan le cercle C de centre A ; les deux
droites (d) et (d′ ) sécantes au point O sont également tangentes au cercle C ; une droite (∆) intercepte le cercle C au
point I et J ; M est le milieu du segment [IJ] :
A
J
C
(d)
I
J
B
I
M
O
C
A
1. Montrer que les droites (AB) et (IJ) sont parallèles.
2. En déduire que J est le milieu du segment [AC].
(d0 )
1. Justiﬁer que le triangle OM A est rectangle en M .
Exercice 1095
On considère une demi-droite [Ax) et un point C appartenant
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(∆)
2. En déduire que le point M appartient au cercle de diamètre [OA].
2.
a. Justiﬁer que le triangle OAC est un triangle isocèle.
’
b. En déduire la mesure de l’angle ACO
Exercice 4833
On considère un cercle C de centre O et un segment [AB]
formant un diamètre du cercle C .
3.
’
a. Déterminer la mesure de l’angle BOC.
’
b. En déduire la mesure de l’angle OCB.
’ = 40o
On considère un point C du cercle C vériﬁant : AOC
4. Déterminer la nature du triangle ABC.
1. Eﬀectuer une représentation de cette conﬁguration.
C. Théorème et réciproque du triangle rectangle et du cercle inscrit
:
2. Démontrer que les points K, B, L sont alignés.
Exercice 2932
On considère dans le plan les cercles C et C ′ de centre respectif O et P tels que :
ces deux cercles s’interceptent aux points A et B ;
les points I et J sont des points respectifs des cercles C
et C ′ tels que les points I, A, J sont alignés ;
Exercice 1963
On considère le cercle C de centre O et quatre points A, B,
C et D appartenant au cercle C tels que le segment [AC] soit
un diamètre de ce cercle.
B
C
les points K et L sont des points respectifs des cercles C
’ et AJL
‘ sont des angles droits.
et C ′ tels que KIA
A
C0
O
C
J
C
A
I
O
P
K
L
B
D
1. Montrer que le triangle ADC est un triangle rectangle
en D.
2.
1. Démontrer que le triangle AKB est un triangle rectangle
en B.
D. Cercle inscrit et théorème de Pythagore
Exercice 1088
On considère un cercle C de centre A et trois points B, C et
D du cercle C tels que le segment [DC] soit un diamétre du
cercle C .
B
a. Quelle propriété doit posséder le segment [BD] aﬁn
que le triangle ABD soit un triangle rectangle en A ?
b. Si le triangle ABD est rectangle en A, quelle sera la nature du quadrilatère ABCD ? Justiﬁer votre réponse.
:
Dans le plan, on considère un triangle ABD où les points C et
E appartiennent respectivement aux segments [AD] et [BD].
A
5, 2 cm
4 , 8 cm
C
B
C
24
C
cm
E
26 cm
A
D
D
Déterminez la longueur du segment [BD].
Exercice 1091
Certaines indications de longueurs sont portées sur la longueur.
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1. Montrer que le triangle BCD est rectangle en C.
2. En déduire la longueur du segment [AC].
E. Théorème et réciproque du triangle rectangle et de la médiane
:
Montrer que le triangle M N I est isocèle en I.
Exercice 1085
Dans le plan, on considère un segment [AB] dont le point I
est un milieu.
Les points M et N forment deux triangles rectangles dont
leur hypothénuse est le segment [AB].
N
M
Exercice 1092
On considère un triangle ABC isocèle en B. On note I le
milieu du segment [AB].
La droite passant par le point I et parallèle à la droite (BC)
intercepte le segment [AC] au point M .
C
M
A
A
I
I
B
B
Montrez que le triangle AM B est rectangle en M .
F. Caractérisation des points du cercle par une relation angulaire.
:
On considère la ﬁgure ci-dessous où O est le milieu du segment [AB] :
Exercice 1335
Considère ci-dessous la ﬁgure composée du segment [AB] et
de cinq autres points du plan :
C
C
4,
D
8c
F
5,
5
cm
m
E
B
G
7, 3 cm
O
A
B
A
D
A l’aide de l’équerre non-graduée, préciser les points susceptibles d’appartenir au cercle de rayon [AB].
Exercice 4861
G. Tangente d’un cercle
Prouver l’existence d’un cercle, dont on précisera le centre,
passant par les quatres points A, B, C et D.
On dira alors que les points A, B, C et D sont cocycliques
:
Exercice 1450
On considère la conﬁguration donnée ci-dessous :
A
P
B
C
O
C
(∆)
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1. A l’aide de l’équerre, vériﬁer que la droite (∆) est une
tangente du cercle C de centre O.
H. Tangente d’un cercle
2. Quel cercle de centre O et passant par le point A, B ou
C admet-il la droite (∆) pour tangente.
:
Soit C un cercle de centre O et A un point situé à l’extérieur
du cercle C . Tracer le cercle C ′ ayant pour diamètre [OA].
Exercice 1093
Soit (d) une droite et H un point de cette droite. On souhaite
tracer une cercle C tangent à la droite (d) au point H.
Indiquez la méthode de construction d’un tel cercle.
Les deux cercles C et C ′ s’interceptent en deux points qu’on
nommera M et N .
1. Réaliser une ﬁgure représentant cette conﬁguration.
Exercice 1094
2. Que peut-on dire de la droite (AM ) relativement au
cercle C ? Justiﬁer votre aﬃrmation.
I. Un peu plus loin :
C
Exercice 4649
M
Dans le plan, on considère un cercle C de centre O et [AB]
un diamètre de ce cercle.
Les point C et D sont des points du cercle C distincts de A
et de B.
On note :
(d) la droite parallèle à la droite (AC) passant par le
point D ; elle intercepte une seconde fois le cercle C en
E.
A
(d′ ) la droite parallèle à la droite (BC) passant par le
point E ; elle intercepte une seconde fois le cercle C en
F.
1.
1. Réaliser cette ﬁgure.
2. Démontrer que le segment [DF ] est un diamètre du cercle
[DF ].
B
P
a. Justiﬁer les égalités suivantes de longueurs :
BM = BN = BP
b. Montrer que P’
BN = 180o .
c. Justiﬁer que le cercle de diamètre [N P ] admet la droite
(AC) comme tangente au point M .
Exercice 2936
Dans le plan, on considère le triangle ABC rectangle en B
÷
et M un point du segment [AC] tel que AM
B soit un angle
droit ; les point N et P sont les symétriques du point M ,
respectivement par rapport à la droite (BC) et (AB) :
N
2.
a. Démontrer que les points B, C, M , N sont cocycliques d’un cercle qu’on nommera C .
b. Donner la position de la droite (AB) relativement au
cercle C .
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