Quatrième / Cercles et triangles rectangles A. Théorème du triangle rectangle et du cercle inscrit (Enoncer de nouvelles propriétés) Exercice 1084 On considère le triangle ABC dont les mesures ont pour valeur : AB = 5,2 cm ; BC = 4,8 cm ; AC = 2 cm 1. Exercice 1962 On considère le cercle C ayant pour diamètre le segment [AB]. Avec les indications portées sur la figure, montrer que le point C appartient au cercle C . a. Tracer le triangle ABC. b. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en C. C C On note M le milieu de [BC], N le milieu de [AC], P le milieu de [AB]. 2. : 53 o a. Démontrer que (M P ) est parallèle à (AC). o 37 b. En déduire que (M P ) est la médiatrice de [BC]. B A 3. Démontrer que (N P ) est la médiatrice de [AC]. 4. Que peut-on dire du point P ? B. Réciproque du triangle rectangle et du cercle inscrit : à cette demi-droite. Exercice 1086 On considère le triangle ABC inscrit dans le cercle C de centre I où [BC] est un diamètre du cercle C . La droite perpendiculaire à la droite (AC) passant par le point I intercepte le segment [AC] en J. En utilisant uniquement la règle non-graduée et le compas, placer un point B dans le plan de sorte à ce que le triangle ABC soit un triangle rectangle en B. Exercice 2933 On considère dans le plan le cercle C de centre A ; les deux droites (d) et (d′ ) sécantes au point O sont également tangentes au cercle C ; une droite (∆) intercepte le cercle C au point I et J ; M est le milieu du segment [IJ] : A J C (d) I J B I M O C A 1. Montrer que les droites (AB) et (IJ) sont parallèles. 2. En déduire que J est le milieu du segment [AC]. (d0 ) 1. Justifier que le triangle OM A est rectangle en M . Exercice 1095 On considère une demi-droite [Ax) et un point C appartenant Quatrième - Cercles et triangles rectangles - http://chingatome.net (∆) 2. En déduire que le point M appartient au cercle de diamètre [OA]. 2. a. Justifier que le triangle OAC est un triangle isocèle. ’ b. En déduire la mesure de l’angle ACO Exercice 4833 On considère un cercle C de centre O et un segment [AB] formant un diamètre du cercle C . 3. ’ a. Déterminer la mesure de l’angle BOC. ’ b. En déduire la mesure de l’angle OCB. ’ = 40o On considère un point C du cercle C vérifiant : AOC 4. Déterminer la nature du triangle ABC. 1. Effectuer une représentation de cette configuration. C. Théorème et réciproque du triangle rectangle et du cercle inscrit : 2. Démontrer que les points K, B, L sont alignés. Exercice 2932 On considère dans le plan les cercles C et C ′ de centre respectif O et P tels que : ces deux cercles s’interceptent aux points A et B ; les points I et J sont des points respectifs des cercles C et C ′ tels que les points I, A, J sont alignés ; Exercice 1963 On considère le cercle C de centre O et quatre points A, B, C et D appartenant au cercle C tels que le segment [AC] soit un diamètre de ce cercle. B C les points K et L sont des points respectifs des cercles C ’ et AJL ‘ sont des angles droits. et C ′ tels que KIA A C0 O C J C A I O P K L B D 1. Montrer que le triangle ADC est un triangle rectangle en D. 2. 1. Démontrer que le triangle AKB est un triangle rectangle en B. D. Cercle inscrit et théorème de Pythagore Exercice 1088 On considère un cercle C de centre A et trois points B, C et D du cercle C tels que le segment [DC] soit un diamétre du cercle C . B a. Quelle propriété doit posséder le segment [BD] afin que le triangle ABD soit un triangle rectangle en A ? b. Si le triangle ABD est rectangle en A, quelle sera la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse. : Dans le plan, on considère un triangle ABD où les points C et E appartiennent respectivement aux segments [AD] et [BD]. A 5, 2 cm 4 , 8 cm C B C 24 C cm E 26 cm A D D Déterminez la longueur du segment [BD]. Exercice 1091 Certaines indications de longueurs sont portées sur la longueur. Quatrième - Cercles et triangles rectangles - http://chingatome.net 1. Montrer que le triangle BCD est rectangle en C. 2. En déduire la longueur du segment [AC]. E. Théorème et réciproque du triangle rectangle et de la médiane : Montrer que le triangle M N I est isocèle en I. Exercice 1085 Dans le plan, on considère un segment [AB] dont le point I est un milieu. Les points M et N forment deux triangles rectangles dont leur hypothénuse est le segment [AB]. N M Exercice 1092 On considère un triangle ABC isocèle en B. On note I le milieu du segment [AB]. La droite passant par le point I et parallèle à la droite (BC) intercepte le segment [AC] au point M . C M A A I I B B Montrez que le triangle AM B est rectangle en M . F. Caractérisation des points du cercle par une relation angulaire. : On considère la figure ci-dessous où O est le milieu du segment [AB] : Exercice 1335 Considère ci-dessous la figure composée du segment [AB] et de cinq autres points du plan : C C 4, D 8c F 5, 5 cm m E B G 7, 3 cm O A B A D A l’aide de l’équerre non-graduée, préciser les points susceptibles d’appartenir au cercle de rayon [AB]. Exercice 4861 G. Tangente d’un cercle Prouver l’existence d’un cercle, dont on précisera le centre, passant par les quatres points A, B, C et D. On dira alors que les points A, B, C et D sont cocycliques : Exercice 1450 On considère la configuration donnée ci-dessous : A P B C O C (∆) Quatrième - Cercles et triangles rectangles - http://chingatome.net 1. A l’aide de l’équerre, vérifier que la droite (∆) est une tangente du cercle C de centre O. H. Tangente d’un cercle 2. Quel cercle de centre O et passant par le point A, B ou C admet-il la droite (∆) pour tangente. : Soit C un cercle de centre O et A un point situé à l’extérieur du cercle C . Tracer le cercle C ′ ayant pour diamètre [OA]. Exercice 1093 Soit (d) une droite et H un point de cette droite. On souhaite tracer une cercle C tangent à la droite (d) au point H. Indiquez la méthode de construction d’un tel cercle. Les deux cercles C et C ′ s’interceptent en deux points qu’on nommera M et N . 1. Réaliser une figure représentant cette configuration. Exercice 1094 2. Que peut-on dire de la droite (AM ) relativement au cercle C ? Justifier votre affirmation. I. Un peu plus loin : C Exercice 4649 M Dans le plan, on considère un cercle C de centre O et [AB] un diamètre de ce cercle. Les point C et D sont des points du cercle C distincts de A et de B. On note : (d) la droite parallèle à la droite (AC) passant par le point D ; elle intercepte une seconde fois le cercle C en E. A (d′ ) la droite parallèle à la droite (BC) passant par le point E ; elle intercepte une seconde fois le cercle C en F. 1. 1. Réaliser cette figure. 2. Démontrer que le segment [DF ] est un diamètre du cercle [DF ]. B P a. Justifier les égalités suivantes de longueurs : BM = BN = BP b. Montrer que P’ BN = 180o . c. Justifier que le cercle de diamètre [N P ] admet la droite (AC) comme tangente au point M . Exercice 2936 Dans le plan, on considère le triangle ABC rectangle en B ÷ et M un point du segment [AC] tel que AM B soit un angle droit ; les point N et P sont les symétriques du point M , respectivement par rapport à la droite (BC) et (AB) : N 2. a. Démontrer que les points B, C, M , N sont cocycliques d’un cercle qu’on nommera C . b. Donner la position de la droite (AB) relativement au cercle C . Quatrième - Cercles et triangles rectangles - http://chingatome.net
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