MAT 2541 — Alg`ebre linéaire I Devoir 3 — dû le 20 novembre

MAT 2541 — Alg`ebre lin´eaire I
Devoir 3 — dˆ
u le 20 novembre.
Question 1. Soient V, W des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps K, tels que
dim L(V, W ) = 11. Montrez que L(V, W ) ∼
= V ou L(V, W ) ∼
= W.
Question 2. Soient V un espace vectoriel et S, T ∈ L(V ). Montrez que si S ◦ T = T ◦ S, alors
S(ker T ) ⊆ ker T .
Question 3. Soit T : V → W une application lin´eaire, o`
u V est de type fini. Supposons :
• L : v1 , . . . , vp est une liste de vecteurs de ker(T ), et est L.I. ;
• L0 : w1 , . . . , wq est une liste de vecteurs de im(T ), et est L.I.
(a) Servez-vous du th´eor`eme “rang+nullit´e” pour montrer que p + q ≤ dim V .
(b) Montrez que si p + q = dim V alors L est une base de ker(T ) et L0 est une base de im(T ).
Expliquez bien chaque ´etape de votre raisonnement.
Question 4. Soit T : C5 → C3 l’application lin´eaire d´efinie par
T (x1 , . . . , x5 ) = (x1 + x5 , x2 + x3 + x4 , x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ),
pour tout (x1 , . . . , x5 ) ∈ C5 .
(a) Trouvez des vecteurs v1 , v2 , v3 et w1 , w2 tels que :
• v1 , v2 , v3 est une liste de vecteurs de ker(T ) et est lin´eairement ind´ependante ;
• w1 , w2 est une liste de vecteurs de im(T ) et est lin´eairement ind´ependante.
Remarque : cette question est suffisamment simple pour que vous puissiez y r´epondre sans
utiliser de m´ethode particuli`ere (comme par exemple la r´eduction de Gauss-Jordan).
(b) En vous servant de la Question 3, trouvez une base de ker(T ) et une base de im(T ).
´
(c) Etendez
la base de ker(T ) trouv´ee en (b) `a une base de C5 .
Question 5. Consid´erez l’espace vectoriel L(V, K), o`
u V est un espace vectoriel de dimension n ≥ 1
sur un corps K.
(a) Montrez que si f ∈ L(V, K) et f 6= 0, alors dim(ker f ) = n − 1.
(b) Montrez que si U est un sous-espace de V tel que dim U = n − 1, alors il existe f ∈ L(V, K)
tel que ker f = U .
La question suivante ne fait pas partie du devoir, et ne sera pas une question d’examen. C’est
seulement pour vous amuser.
Question d´
efi. Soient V1 , V2 , . . . , Vn (o`
u n ≥ 1) des espaces vectoriels de type fini, et
T
T
T
Tn−1
T
0
1
2
n
0 −→
V1 −→
V2 −→
· · · −−−→ Vn −−→
0
des applications lin´eaires. Remarquez que le domaine de T0 est l’espace vectoriel nul, et que le
codomaine de Tn est aussi l’espace nul. Supposons que :
im(Ti−1 ) = ker(Ti ) pour tout i = 1, . . . , n.
Montrez que
n
X
i=1
(−1)i dim(Vi ) = 0.

Download Report