TD : Algorithmes

TD : Algorithmes
Énoncés et solutions
Terminale ES
Exercice 1
Pour tout entier naturel n, on a :


u0 = 0
 u
n+1 = 3un − 2n + 3.
On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N.
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul N.
75 016 PARIS
Traitement
Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N − 1
Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
Fin pour
A. KADI & F. Boisseau
—
Lycée Molière
—
Sortie
Afficher U
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
Solution
Entrée
N = 3.
Traitement
U=0
Début de la boucle pour k allant de 0 à N − 1 donc k prendra toutes les valeurs entière de 0 à 2
Pour k = 0 on a : U = 3U − 2k + 3 = 3 × 0 − 2 × 0 + 3 = 3
Pour k = 1 on a : U = 3U − 2k + 3 = 3 × 3 − 2 × 1 + 3 = 10
Pour k = 1 on a : U = 3U − 2k + 3 = 3 × 10 − 2 × 1 + 3 = 27
Fin de la boucle pour
L’affichage en sortie est 27
Exercice 2
Pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on a :
e−1
2

e
−
nun
 u
.
n+1 =
2



u1 =
On considère l’algorithme suivant :
Initialisation
Affecter à n la valeur 1
e−1
Affecter à u la valeur
2
Traitement
Tant que n < 3
Affecter à u la valeur
e − nu
2
Affecter à n la valeur n + 1
Afficher u
Quel terme de la suite (un ) obtient-on en sortie de cet algorithme ?
Solution
—
Initialisation
n=1
e−1
donc u prend la valeur u1
u=
2
Traitement
U=0
Début de la boucle tant que n < 3
n = 1 est strictement plus petit que 3 donc u prend la valeur
A. KADI & F. Boisseau
Lycée Molière
—
75 016 PARIS
Sortie
n prend la valeur n + 1 donc n prend la valeur 1 + 1 = 2
n = 2 est strictement plus petit que 3 donc u prend la valeur
e − 1 × u1
e−n×u
, donc u prend la valeur
c’est u2 .
2
2
e−n×u
e − 2 × u2
, donc u prend la valeur
c’est u3 .
2
2
n prend la valeur n + 1 donc n prend la valeur 2 + 1 = 3
n = 3 n’est pas strictement plus petit que 3 donc on sort de la boucle tant que.
Sortie
Afficher u or ici u c’est u3
Le terme de la suite (un ) obtenu en sortie est u3
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par
f (x) = x2
1. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 4].
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Initialisation :
A. KADI & F. Boisseau
—
Lycée Molière
—
75 016 PARIS
Entrée :
Traitement :
Sortie :
u, v, m et r sont des nombres réels
Affecter à u la valeur 1
Affecter à v la valeur 1,5
Saisir r
TANT QUE v − u > r
u+v
Affecter à m la valeur
2
SI f (m) < 2
ALORS Affecter à u la valeur m
SINON Affecter à v la valeur m
FIN SI
FIN TANT QUE
Afficher u.
Afficher v
a) Faire fonctionner l’algorithme précédent avec r = 0, 1 en recopiant et complétant le tableau ci-dessous.
On arrondira au millième les valeurs de f (m).
Initialisation
étape 1
étape 2
étape 3
v−u
v−u>r
m
f (m)
f (m) < 2
u
v
0,5
oui
1,25
1,563
oui
1
1,25
1,5
1,5
b) Interpréter les résultats trouvés pour u et v à la fin de l’étape 3.
Solution
1. f est une fonction de référence, elle est donc dérivable sur [0 ; 4]
Soit f ′ la dérivée de la fonction f .
Pour tout nombre x de [0 ; 4] on a : f ′ (x) = 2x.
f ′ (x) > 0 sur [0 ; 4], donc f est croissante sur [0 ; 4].
2. a) On arrondira au millième les valeurs de f (m).
Initialisation
étape 1
étape 2
étape 3
v−u
v−u>r
m
f (m)
f (m) < 2
u
v
0,5
0,25
0,125
oui
oui
oui
1,25
1,375
1,4375
1,563
1,891
2,066
oui
oui
non
1
1,25
1,375
1,375
1,5
1,5
1,5
1,4375
Remarque : les valeurs de m ne sont pas arrondies, seul les valeurs de f (m) le sont.
b) A la fin de l’étape 3 on a : v − u = 1, 4375 − 1, 375 = 0, 0625
et
0, 0625 < 0, 1
On a f (u) < 2 < f (v), donc l’intervale [u ; v] est un intervalle de longueur inférieur à 0, 1 qui contient la solution
dans [0 ; 4] de l’équation f (x) = 2 c’est à dire de l’équation x2 = 2.

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