fiche 2 - Université Claude Bernard Lyon 1

Universit´e Claude Bernard Lyon 1
Ann´ee 2014-2015
Automne 2014
FICHE TD 2
PCSI L1 UE Math2
Responsable : Alessandra Frabetti
http ://math.univ-lyon1.fr/∼frabetti/Math2/
-
´
CALCUL DIFFERENTIEL
Exercice 1 (Fonctions diff´
erentiables)
Pour les fonctions suivantes, calculer les d´eriv´ees partielles (o`
u exactes s’il n’y a qu’une variable) et d´et´erminer
l’ensemble o`
u les fonctions sont diff´erentiables :
a) f (x, y) = y sin(2xy + π)
h) f (x, y) = ln(x2 y 2 ), xy
1
i) φ(p, q) = ln(p + q), ln(p − q)
b) g(x, y) = xy 2 , x+y−1
j) h(x, y, z) = sinx y , siny x , sin(x+y)
c) F (u, v, w) = 3u2 (v + 1) + uew
z
k) g(x, y) = arcsin(xy)
d) U (ρ, ϕ) = ρ3 tan ϕ
p
e) h(x, y, z) = x2 + y + 1 + yz 2
√
√
f) u(x) =
2 + x, 2 − x
l) u(ω, t) = esin(2ω)+tω
√
√
√
1 − t, sinh( t − 12 ), cosh( t − 12 )
m) γ(t) =
√
√
n) F (r, ϕ, θ) =
r cos ϕ, r sin θ
g) G(R, T ) = R3 T + R2 T 2 + RT 3
Exercice 2 (D´
eriv´
ee directionelle)
Pour les fonctions de l’exercice 1 (sauf la f ) et la m)), trouver la d´eriv´ee directionelle dans la direction
donn´ee par le vecteur ~ı + 2~ si la fonction a deux variables, et ~ı + 2~ + 3~k si la fonction a trois variables.
Exercice 3 (Gradient et diff´
erentielle des fonctions r´
eelles)
Pour les fonctions suivantes, calculer le gradient et la diff´erentielle en tout point, et puis au point indiqu´e :
a) f (x, y) = y sin(2xy + π) en 0, π4
e) G(R, T ) = R3 T + R2 T 2 + RT 3 en (3, 2)
b) F (u, v, w) = 3u2 (v + 1) + uew en (1, 1, 0)
f) g(x, y) = arcsin(xy) en (2, π4 )
c) U (ρ, ϕ) = ρ3 tan ϕ en (3, π4 )
p
d) h(x, y, z) = x2 + y + 1 + yz 2 en (−1, 1, 2)
g) u(ω, t) = esin(2ω)+tω en ( π4 , 1)
Exercice 4 (Matrice Jacobienne des fonctions vectorielles)
Pour les fonctions suivantes, calculer la matrice Jacobienne et si possible le d´eterminant Jacobien en tout
point, et puis au point indiqu´e :
1
e) h(x, y, z) = sinx y , siny x , sin(x+y)
en (0, π6 , π3 )
en (1, 1)
a) g(x, y) = xy 2 , x+y−1
z
√
√
√
√ √
b) u(x) =
2 + x, 2 − x en x = 14
f) γ(t) = 1−t, sinh( t−21 ), cosh( t−21
en t = 14
2
2
c) f (x, y) = ln(x y ), xy en (1, 1)
√
√
d) φ(p, q) = ln(p + q), ln(p − q) en (1, 0)
g) F (r, ϕ, θ) =
r cos ϕ, r sin θ en (1, π4 , π4 )
Exercice 5 (D´
eriv´
ee directionelle)
Un randonneur se prom`ene sur une montagne qui ressemble au graphe de la fonction f (x, y) = xy 2 , dans
un voisinage du point (2, 1). Il arrive au point (2, 1, 2) = (2, f (2, 1)) de la montagne depuis la direction
d~ = 2~ı −~ , et l`a demarrent trois chemins de direction
~u = ~ı − 2~ ,
~v = ~ı +~
et w
~ = ~ −~ı .
a) Quel chemin doit-il prendre pour monter la pente le plus doucement possible ?
b) Quelle est la direction o`
u il faudrait r´ealiser un nouveau chemin qui monterait la pente le plus
rapidement possible ?
c) Au retour, en passant par le mˆeme point, quel chemin doit-il prendre pour descendre la pente le plus
rapidement possible ?
1
Exercice 6 (R`
egle de la chaine)
Soient x = x(t) et y = y(t) deux fonctions d´erivables en tout t ∈ R. Trouver la d´eriv´ee par rapport `
a t de
x
y a) f (x, y) = x2 + 3xy + 5y 2
b) g(x, y) = ln(x2 + y 2 )
c) h(x, y) =
,
x+y x−y
Exercice 7 (R`
egle de la chaine)
2
Soit f : R −→ R une fonction diff´erentiable sur R2 , de variables (x, y). Trouver la d´eriv´ee de f par rapport
`a t quand
b) x = e−t et y = et
a) x = sin t et y = cos t
c) x = cosh t et y = sinh t
Exercice 8 (R`
egle de la chaine)
Soit z(x) = f (x, y(x)), o`
u f est une fonction de classe C 1 sur R2 et y = y(x) est une fonction C 1 sur R.
Calculer la d´eriv´ee z 0 (x) en fonction des d´eriv´ees de f et de y.
Appliquer la formule trouv´ee aux cas particuliers suivants :
a) f (x, y) = x2 + 2xy + 4y 2
c) y = e3x
b) f (x, y) = xy 2 + x2 y
d) y = ln x
Exercice 9 (R`
egle de la chaine)
2
Soit f : R −→ R une fonction avec d´eriv´ees partielles
∂f (x, y)
2xy
=
∂x
y−1
∂f (x, y)
x2
=−
.
∂y
(y − 1)2
et
a) Calculer les d´eriv´ees partielles de la fonction F (u, v) = f (2u − v, u − 2v).
b) Calculer la d´eriv´ee de la fonction G(t) = f (t + 1, t2 ).
Exercice 10 (Diff´
erentielle de fonctions compos´
ees)
Soit f : R2 −→ R une fonction diff´erentiable sur R2 , et posons
a) g(x, y) = f (x2 − y 2 , 2xy)
b) g(x, y, z) = f (2x − yz, xy − 3z)
Exprimer les d´eriv´ees partielles de g en fonction de celles de f , et ´ecrire la diff´erentielle de g.
Exercice 11 (Jacobienne de fonctions compos´
ees)
Soit h : R2 −→ R2 une fonction diff´erentiable sur R2 , et posons
a) g(x, y) = h(x2 − y 2 , 2xy)
b) g(x, y, z) = h(2x − yz, xy − 3z)
Exprimer les d´eriv´ees partielles de g en fonction de celles de h, et ´ecrire la matrice Jacobienne de g.
Exercice 12 (Jacobienne de fonctions compos´
ees)
Soient F : R2 −→ R2 et G : R2 −→ R2 deux fonction diff´erentiables sur R2 , dont on connait les matrices
Jacobiennes
y2
2xy
−2u 2v
JF (x, y) =
et
JG (u, v) =
2x + 1 1
3u2 1
Calculer la matrice Jacobienne et le d´et´erminant Jacobien des fonctions compos´ees f (x, y) = G(F (x, y)) et
g(u, v) = F (G(u, v)).
2
Exercice 13 (Matrice Hessienne)
Calculer la matrice Hessienne et le d´et´erminant Hessien des fonctions suivantes, en tout point et puis au
point indiqu´e :
a)
b)
c)
d)
u2 − v 2
en (1, 1)
u2 + v 2
f) u(x, t) = arctan(xt2 ) en (2, 1)
f (x, y) = x3 y + x2 y 2 + xy 3 en (1, −1)
g(ϕ, θ) = ϕ sin θ − θ sin ϕ en (0, π2 )
h(x, y, z) = xy 2 + yz 2 en (0, 1, 2)
F (x, y) = arcsin(xy) en (1, 12 )
e) G(u, v) =
Exercice 14 (Fonctions harmoniques)
Trouver les valeurs de c ∈ R∗ pour lesquels la fonction u(x, y, t) = x2 + y 2 − c2 t2
est harmonique.
Exercice 15 (Laplacien)
Soit f : R −→ R une fonction de classe C 2 sur R et posons F (x, y) = f (x − 2y).
a) Calculer le Laplacien de F en (x, y), c’est-`a-dire la valeur ∆F (x, y) =
∂2F
∂2F
(x,
y)
+
(x, y).
∂x2
∂y 2
b) D´eterminer toutes les fonctions f telles que ∆F (x, y) = 25(x − 2y)4 .
Exercice 16 (Laplacien en coordonn´
ees polaires)
2
2
Soit f : R → R une fonction C donn´ee en coordonn´ees cartesiennes et soit f˜(ρ, ϕ) = f (x, y) son expression
en coordonn´ees polaires, o`
u x = ρ cos ϕ et y = ρ sin ϕ.
e et du Laplacien ∆,
e d´efinis par les identit´ees
Trouver l’expression en coordonn´ees polaires du gradient ∇
e f˜(ρ, ϕ) = ∇f (x, y)
∇
et
e f˜(ρ, ϕ) = ∆f (x, y).
∆
Exercice 17 (Formule de Taylor)
Donner la partie principale du d´eveloppement de Taylor `a l’ordre 2 des fonctions suivantes, autour du point
indiqu´e :
cos x
a) f (x, y) =
autour de (0, 0)
cos y
ecos(x+y)
autour de (0, 0)
2+y
c) h(x, y) = ln(xy 2 + 1) autour de (1, 1) et puis de (1, −1)
b) g(x, y) =
Exercice 18 (Approximation)
La puissance utilis´ee dans une r´esistance ´electrique est donn´ee par P = E 2 /R (en watts), o`
u E est la
diff´erence de potentiel ´electrique (en volt) et R est la r´esistance (en ohm). Si E = 200 volt et R = 8 ohm,
quelle est la modification de la puissance si E decroˆıt de 5 volt et R de 0.2 ohm ? Comparer les r´esultats
obtenus par le calcul exact avec l’approximation fournie par la diff´erentielle de P = P (E, R).
Exercice 19 (Points critiques et extrema)
Pour chacune des fonctions suivantes, trouver et ´etudier les points critiques. La fonction admet-elle des
extrema locaux ? [Facultatif : et des extrema globaux ?]
a) f (x, y) = x2 + xy + y 2 + 2x + 3y
b) g(x, y) = xey + yex
c) h(x, y) = (x − y)2 + (x + y)3
d) F (x, y) = x3 + y 3 + 3xy
e) G(x, y) = x4 + y 4 − (x − y)3
3

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