Figures du cours

on
Bro
uill
Cours et TD
de
Physique Statistique
M1 de Physique
Cours : Thierry Charitat
Institut Charles Sadron
23, Rue du Loess-BP 84047
67034 Strasbourg Cedex 2
TD : Guillaume Weick
Institut de Physique et Chimie
des Mat´eriaux de Strasbourg
23, Rue du Loess-BP 43
F-67034 Strasbourg Cedex 2
[email protected]
http://www.ics-cnrs.unistra.fr/Mcube/
[email protected]
http://www.ipcms.unistra.fr/?page id=12969
Ann´
ee universitaire 2014-2015
Bro
2
uill
on
on
uill
Premi`
ere partie
Bro
Formalisme de la Physique Statistique
3
Bro
uill
on
on
Chapitre A
uill
Introduction et Rappels
1.5˚
A
L
1µm
Physique
Statistique
Bro
Echelle microscopique (moléculaire):
physique classique, quantique
Echelle macroscopique:
thermodynamique
Figure A.1 – Les diff´erentes ´echelles spatiales mises en jeu en physique statistique.
U
m
I
N, T, p
V
R
Figure A.2 – Exemple de syst`emes macroscopiques et de leurs grandeurs caract´eristiques.
5
X(t)
<X>
Σ
on
X(t)
t
Σ
uill
Figure A.3 – Evolution temporelle d’une grandeur physique X (t) a` l’´equilibre thermodynamique.
X
...
!
i=1... N
t ﬁxé, ensemble de N systèmes identiques
Bro
Figure A.4 – Illustration de la notion de moyenne d’ensemble calcul´ee sur un nombre N
grand de r´epliques.
p2
p1
time
Y
Y (p2)
τrel
Eq2
τµ
H.Eq.
Y (p1)
Eq1
t0
time
Figure A.5 – On repr´esente l’´evolution temporelle d’une grandeur statistique Y qui d´epend
d’un param`etre p impos´e par l’exp´erimentateur.
6
on
uill
Deuxi`
eme partie
Bro
Les gaz parfaits quantiques
7
Bro
uill
on
on
Chapitre A
uill
Gaz parfait de Fermions
kBT1 = µ
εF
1.00
kBT2 = 0.5 µ
kBT3 = 0.1 µ
nλ,FD
Bro
0.75
kBT4 = 0.00001 µ
0.50
kBT1
0.25
0.00
0
1
ε/εF
2
3
Figure A.1 – Distribution de Fermi-Dirac pour diff´erentes temp´eratures. En trait plein
(rouge) la limite du gaz de Fermi d´eg´en´er´ee.
9
2.00
3.0
εα
on
nλ,FD
1.50
1.00
2.0
−d(nλ,FD)
kBT1
0.50
dε
1.0
T=0
uill
kBT1 = 0.1 µ
kBT1 = 0.1 µ
0.00
0
1
0.0
2
ελ/εF
3
Bro
Figure A.2 – Distribution de Fermi-Dirac et − dn
en fonction de ǫ. En tirets (rouge) la
dǫ
limite du gaz de Fermi d´eg´en´er´ee. En noir, allure de ǫα avec α > 0.
102
2
Solution numérique
Développement basse−température
Développement haute−température
Gaz parfait
1
Solution numérique
Développement basse−température
101
0
µ/εF
–1
100
z
–2
–3
10–1
–4
–5
0
1
2
3
4
0
T/TF
1
2
3
4
10–2
5
T/TF
Figure A.3 – Potentiel chimique du gaz parfait de Fermi-Dirac : solution num´erique exacte
(trait continu noir), limites haute temp´erature (pointill´es bleus) et basses temp´eratures (tirets
rouges). Le gaz parfait est repr´esent´e en tiret-point vert.
10
on
Chapitre B
uill
Gaz parfaits de Bosons
8
µ/kBT = 3
6
µ/kBT = 6
4
Bro
nλ,BE
2
0
–10
0
ελ/kBT
10
20
Figure B.1 – Distribution de Bose-Einstein pour diff´erents potentiels chimiques. On
constate que la distribution diverge pour ǫ = µ.
11
on
zone interdite (µ >0)
1
0
uill
2
TB
–1
µ/kBT
–2
Bro
–3
–4
–5
0
2
3
zone interdite (µ >0)
1
0
3
(ρΛ /gs)B
µ/kBT
–1
Développement haute−température
Gaz parfait
Développement haute−température
Gaz parfait
1
2
0
4
1
2
3
3
4
(ρΛ /gs)
T/T0
Figure B.2 – A gauche : Potentiel chimique du gaz parfait de Bose-Einstein en fonction
de la temp´erature et `a droite en fonction de (ρΛ3 /gs ) : limite haute temp´erature (pointill´es
bleus) et gaz parfait en tiret-point vert. Les point rouge (•) correspond a` la valeur de Bose.
12
–2
–3
5
uill
1.25
on
1.50
N0/N
1−N0/N
1.00
0.75
Bro
0.50
0.25
0.00
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
T/TB
Figure B.3 – Nombre relatif de bosons dans l’´etat fondamentale (N0 /N, ligne continu rouge)
et dans les ´etats excit´es (1 − N0 /N, pointill´e bleu) en fonction de la temp´erature T /TB .
13
2.5
2.0
CV/NkBT
CV/NkBT haute−température
E/NkBT pour T < TB
E/NkBT haute−température
2.0
on
1.0
0.0
0.0
uill
0.5
1.0
0
2.0
CV/NkBT
E/NkBT
1.5
1.5
1.0
0.5
1
T/TB
2
0.0
3
T/TB
Bro
¯ B T , `a gauche) et capacit´e calorifique norFigure B.4 – Energie moyenne normalis´ee (E/k
malis´ee (CV /NkB , `a droite) du gaz parfait de Bose-Einstein en fonction de la temp´erature :
limite haute-temp´erature (pointill´es bleus) et basse-temp´erature (tiret rouge). En trait rouge
continu la solution exacte.
5
T3 >T2 >T1
4
T3
3
p
T2
2
1
0
0
T1
1
V
2
3
Figure B.5 – Isotherme (p vs V en unit´e arbitraire) du gaz parfait de Bose-Einstein pour
diff´erentes temp´erature. En pointill´e rouge, la courbe de transition de phase.
14
10–15
10–24
T = 300 K
T = 3000 K
T = 6000 K
Infra−Rouge
uill
10–27
10–30 10
10
1011
1012
1013
1014
ω
1015
Visible
10–21
ω M = 2.822 kBT/ h
on
uω (T) (J.m−3.s)
10–18
UV
1016
1017
1018
(s−1)
Bro
Figure B.6 – Densit´e spectrale d’´energie u¯ω (T ) en fonction de ω pour diff´erentes
temp´eratures T : traits pleins bleu (T = 300 K temp´erature ambiante), rouge (T = 3000 K
temp´erature d’une lampe) et vert (T = 6000 K temp´erature de la surface du soleil). En
tirets noirs on a repr´esent´e la loi de Rayleigh-Jeans aux temp´eratures correspondantes. En
pointill´es rouges le d´eplacement du maximum.
5
Lampe à filament T=2800 K
Lampe à halogène T=3200 K
Rapport de densité d’énergie
2.10–17
4
2.10–17
3
1.10–17
2
5.10–18
1
2.1015
3.1015
ω
4.1015
−1
(s )
4.1015
uω (3200)/uω (2800)
uω (T) (J.m−3.s)
2.10–17
0
Figure B.7 – Densit´e spectrale d’´energie u¯ω (T ) en fonction de ω dans le domaine du visible
pour une lampe `a incandescence classique (T = 2800 K tirets bleus) et pour un lampe
halog`ene (T = 3200 K, pointill´es rouges). En trait noir le rapport des deux densit´es.
15
Bro
16
uill
on
on
uill
Troisi`
eme partie
Bro
Physique Statistiques des Syst`
emes en
interactions
17
Bro
uill
on
on
Chapitre A
uill
Fluide classique
Bro
g (r)
σ
Premiers voisins
Seconds voisins
σ
√
2σ
√
3σ
r
Figure A.1 – A gauche, allure sch´ematique d’un solide cristallin a` deux dimensions. A
droite, fonction de corr´elation de paire correspondante (d’apr`es D. Chandler, Introduction
to Modern Statistical Mechanics, Oxford University Press).
19
σ
on
g (r)
Probabilité maximum d’observer
les seconds voisins
Gaz
uill
Probabilité maximum
d’observer les premiers voisins
σ
√
2σ
√
3σ
Liquide
Bro
Figure A.2 – A gauche, allure sch´ematique d’un liquide `a deux dimensions. A droite, fonction de corr´elation de paire correspondante (d’apr`es D. Chandler, Introduction to Modern
Statistical Mechanics, Oxford University Press).
ki
Π1
V
Π2
Mi
P1
P2
ri
θ
kd
Ox
Figure A.3 – Repr´esentation sch´ematique d’une exp´erience de diffusion de rayonnement : ki
vecteur d’onde de l’onde incidente ; ki vecteur d’onde de l’onde diffus´ee ; V volume diffusant ;
Π1 et Π2 2 plans d’ondes de r´ef´erences.
20
1.10–20
on
2.10–20
rmin=21/6 σ
0
0
4
6
8
10
°
r (en A)
uill
ε min=−ε
2
–2.10–20
Bro
Figure A.4 – Potentiel d’interaction de Lennard-Jones.
u(r)
f(r)
12
2.10–20
10
2.10–20
8
6
1.10–20
4
5.10–21
0
–5.10–21
2
4
2
6
8
10
r
0
2
4
6
8
10
r
–2
–1.10–20
Figure A.5 – Potentiel d’interaction de Lennard-Jones `a gauche, et fonction de Mayer
associ´ee.
21
u(r)
f(r)
on
1.0
2.10–20
0.5
2.10–20
0.0
1.10–20
5.10–21
σ
2
4
6
8
10
r
–0.5
2
σ
–5.10–21
4
6
8
10
r
–1.0
uill
0
–1.5
–1.10–20
Bro
Figure A.6 – Potentiel d’interaction de sph`eres dure `a gauche, et fonction de Mayer associ´ee.
u(r)
f(r)
1.0
2.10–20
0.5
2.10–20
0.0
1.10–20
σ
5.10–21
σ
0
–5.10–21
−u0
4
6
8
λσ
6
8
10
r
–0.5
λσ
2
4
10
r
–1.0
–1.5
–1.10–20
Figure A.7 – Potentiel d’interaction de sph`eres dure `a gauche, et fonction de Mayer associ´ee.
22
2
1
–1
–2
–3
uill
–4
on
B2/(2/3πσ3)
0
–5
–6
10–1
100
kBT*/ε 0
101
kBT/ε 0
102
Figure A.8 – Second coefficient du Viriel normalis´e B2 /(2/3πσ 3) en fonction de kB T /ǫ0 .
Bro
5
Pression T > Tc
Pression T < Tc
βpb
3
0
–2
–5
0
1
2
3
4
5
1/(ρb)
Figure A.9 – Pression normalis´ee pβ(2/3πσ 3) en fonction de (V /2/3πσ 3).
23
Bro
24
uill
on
on
uill
Quatri`
eme partie
Bro
Les Transitions de Phases : mod`
ele
d’Ising
25
Bro
uill
on
on
Chapitre A
uill
G´
en´
eralit´
es sur le mod`
ele d’Ising
2
Tc < T
1
Tc = T
Bro
-m 0(T)
-1
0
-0.5
0.5
1
m 0(T)
T > Tc
-1
-2
Figure A.1 – Solution de l’´equation auto-coh´erente en champ nul pour diff´erentes
temp´eratures : T > Tc en vert m = 0, T < Tc en bleu m = −m0 , 0, m0 et T = Tc en
rouge.
Table A.1 – Valeurs obtenues dans l’approximation de champ moyen pour les exposants
critiques.
Exposant
Champ moyen
α
0
27
β
1/2
δ
3
γ
1
ΔF
Tc = T
on
0.74
T > Tc
0.72
m 0(T)
-1
-0.5
0.5
1
0.68
0.66
uill
Tc < T
Figure A.2 – Energie libre F en fonction de l’aimantation m pour diff´erentes temp´eratures :
T > Tc en sombre, T < Tc en clair.
Bro
2
1
0
T > Tc
h=0.1
h=0.05
–1
–2
–1.0
0.0
1.0
m
Figure A.3 – Discussion graphique des solutions de l’´equation auto-coh´erentes pour
diff´erentes valeurs du champ magn´etique h.
28
h=0
h=0.05 kTc
h=0.1 kTc
–0.6
–0.7
uill
–0.8
–0.9
–1.0
T=0.75 Tc
on
F/(NkTc)
T=1.25 Tc
–0.4
–0.5
0.0
–1.0
0.5
m
–0.5
–0.5
–0.6
0.0
m
0.5
1.0
Bro
Figure A.4 – Allure de l’´energie libre FCM en fonction de m pour diff´erentes valeurs du
champ magn´etique h : `a gauche pour T > Tc , `a droite pourT < Tc en clair.
-2
1
0.5
-1
1
2
-0.5
-1
Figure A.5 – Aimantation m en fonction du champ magn´etique h pour diff´erentes
temp´eratures : T > Tc en sombre, T < Tc en clair.
29
Bro
30
uill
on
on
Chapitre B
uill
Solution exacte du mod`
ele d’Ising
Table B.1 – D´enombrement des graphes contribuant `a la fonction de partition du mod`ele
d’Ising `a 2 dimensions.
Longueur
Graphe
Bro
4
Nombre
N
6
2N
8
N (N − 5) /2
2N
4N
N
31
Bro
32
uill
on
on
Chapitre C
uill
Ph´
enom`
enes critiques : introduction
au groupe de renormalisation
Table C.1 – Valeurs obtenues dans l’approximation de champ moyen pour les exposants
critiques.
α
0
β
1/2
Bro
Exposant
Champ moyen
33
δ
3
γ
1
η
0
ν
1/2
on
0.05
x
0.00
uill
Energie libre de Landau
0.10
–0.05
–1.0
–0.5
0.0
T=Tc/2
T=Tc
T=2Tc
0.5
1.0
Bro
Figure C.1 – Allure de l’´energie libre ∆F dans le cadre du mod`ele de Landau en fonction
de l’aimantation (m (r)) pour une transition du second ordre..
Energie libre de Landau
0.10
0.00
T > T**
T* < T < T**
T0 < T < T*
T < T0
–0.10
–1.0
0.0
1.0
Figure C.2 – Allure de l’´energie libre ∆F dans le cadre du mod`ele de Landau en fonction
de l’aimantation (m (r)) pour une transition du premier ordre.
34
on
Order parameter m0
1.0
0.0
uill
–1.0
0.0
0.5
1.0
T*
T**
1.5
T/T0
Bro
Figure C.3 – Allure du param`etre d’ordre (m (r)) pour une transition du premier ordre.
T**
ligne 1er
ordre
T/T0
T*
Phase désordonnée
point
tricritique
1.0
zone
métastable
ligne 2nd
ordre
Phase ordonnée
0.0
0.2
0.4
0.6
xc
0.8
1.0
x
Figure C.4 – Diagramme de phase pour un syst`eme pr´esentant une ligne de transition du
second ordre, une ligne de transition du premier ordre et un point triclinique.
35
on
uill
Bro
T/Tc
ρ/ρc
Figure C.5 – Diagramme de phase en variable r´eduite (T /Tc en fonction de ρ/ρc ) pour
diff´erents fluides mol´eculaires. Le fit correspond `a un exposant critique β = 1/3 (le champ
moyen pr´edit 1/2). D’apr`es Guggenheim E. A., Journal of Chemical Physics, 13), 253.
36
on
Annexe A
Formulaire math´
ematique
Rappels sur les d´
ecomposition en s´
erie de Fourier
uill
A.1
Pour une introduction plus pouss´ee, voir Chaikin et Lubensky ou Le Bellac.
Soit f (x) une fonction d’un vecteur x `a d composantes. On suppose que l’on peut imposer
des conditions p´eriodiques sur la fonction f :
f (x1 , ..., xi , ...xd ) = f (x1 , ..., xi + Li , ...xd )
i = 1, ...d
(A.1)
Bro
alors f peut ˆetre d´ecompos´ee en s´erie de Fourier :
f˜(q)eiq.x
f (x) =
(A.2)
q
f˜(q) =
1
V
dd xf (x)e−iq.x
(A.3)
o`
u V = L1 ...Ld et avec la condition d’orthogonalit´e :
′
dd xei(q−q ).x = V δq,q′
(A.4)
Si le volume est tr`es grand (Li → ∞) il est possible de passer a` la limite continue. On
obtient alors :
V
dd q f˜(q)eiq.x
(2π)d
1
f˜(q) =
dd xf (x)e−iq.x
V
f (x) =
(A.5)
(A.6)
avec
′
dd xei(q−q ).x = (2π)d δ (d) (q − q ′ )
1
(2π)d
′
dd qe−iq.(x−x ) = δ (d) (x − x′ )
37
(A.7)
(A.8)
A.2
A.2.1
Quelques int´
egrales et d´
eveloppement limit´
es utiles
Developpement limit´
es
on
x3
+ ...
3
x3
1+x
1
≃x+
+ ...
tanh−1 (x) = ln
2
1−x
3
x2 x3
ln (1 + x) ≃ x −
+
+ ...
2
3
tanh (x) ≃ x −
Int´
egrales utiles
uill
A.2.2
+∞
x2
e− 2a2 e−ikx dx =
√
1 2 2
a
2πae− 2 k
,
(A.9)
(A.10)
(A.11)
(A.12)
−∞
2π
Bro
dθ′
cos (θ − θ′ ) = 0,
2π
0
2π
dθ
1
(cos (θ1 − θ) cos (θ1 − θ)) = cos (θ1 − θ2 ),
2π
2
0
2π
2π
′
dθdθ
1
cos2 (θ − θ′ ) = ,
2
(2π)
2
0
0
+∞
sin x
π
dx
= ,
x
2
0
+∞
x
e
= 1,
dx x
(e + 1)2
−∞
+∞
π2
ex
2
= ,
dxx x
(e + 1)2
3
−∞
+∞
2
x
≃ 2.404,
x
e −1
0
+∞
x3
π4
=
.
ex − 1
15
0
A.3
A.3.1
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
(A.17)
(A.18)
(A.19)
(A.20)
Fonctions sp´
eciales
Fonction de Bessel d’ordre 0
2π
dθ cos (x cos θ) = 2πJ0 (x),
0
o`
u J0 (x) est la fonction de Bessel d’ordre 0, qui se comporte comme :
38
(A.21)
J0(x)
0 .6
0 .2
on
1
2
6
8
10
12
x
uill
-0 .4
4
J0 (x) ∼ 1 − x2 pour x ≪ 1
J0 (x) → 0 pour x ≫ 1
A.3.2
Fonctions fn (z)
(i) D´
efinition
Bro
On d´efinit la fonction fn (z) comme :
4
fn (z) = √
π
+∞
0
xn
dx
.
1 + z −1 ex2
(A.22)
Cette fonction est d´efinie pour z ≥ −1.
(ii) Valeur en z = −1
La valeur en z = −1 est finie. Pour la calculer on peut faire le changement de variable
t = x2 . On montre alors que :
+∞ (n+1)/2−1
2
t
fn (−1) = √
dt
et − 1
π 0
n+1
n+1
2
Γ
= −√ ζ
π
2
2
(A.23)
o`
u les fonctions zeta de Rieman ζ (p) et beta de Euler Γ (p) sont d´efinies par :
+∞
ζ (p) =
1
,
kp
(A.24)
k=1
+∞
y p−1e−y dy.
Γ (p) =
0
39
(A.25)
p
ζ (p)
Γ (p)
fn (−1)
f˜n (1)
2
3
2
2.612
√
π
2
-2.612
2.612
4
5
2
1.341
0.25π 1/3
on
n
−0.6705/π 1/6 ≃ −0.554039
0.554039
uill
Les valeurs int´eressantes pour nous de ζ, Γ et fn (−1) sont donn´ees dans le tableau
suivant.
(iii) D´
eveloppement limit´
e pour |z| ≪ 1
Lorsque z ≪ 1 il est possible de faire un d´eveloppement limit´e de la fonction sous
l’exponentielle on peut obtenir un d´eveloppement de la fonction fn (z) :
+∞
fn (z) = I(n)
i
i=1
√4
π
+∞
0
n+1
2
zi
2
dxxn e−x . On donne I(2) = 1 et I(4) = 3/2.
Bro
avec I(n) =
(−1)i+1
(iv) Lien avec les fonctions de Bose
On d´efinit parfois les fonctions de Bose comme :
1
gσ (z) =
Γ (σ)
1
=
Γ (σ)
+∞
tσ−1
z −1 et − 1
0
+∞
x2σ−1
dx −1 x2
.
z e −1
0
dt
(A.26)
Dans le cours on utilisera plutˆot les fonctions f˜n (z) d´efinies comme :
+∞
4
xn
˜
fn (z) = √
dx −1 x2
π 0
z e −1
+∞
4
x(n−1)/2
= √
dt −1 t
z e −1
π 0
n+1
2
g n+1 (z) .
= √ Γ
2
π
2
Les fonctions gσ (z) et f˜n (z) sont d´efinies pour tous z ≤ 1.
40
(A.27)
(A.28)
(A.29)
On montre finalement qu’il existe une relation tr`es simple entre les fonctions f˜n (z) et
fn (z) :
f˜n (z) = −fn (−z) .
(A.30)
on
Cette relation est coh´erente avec les domaines de d´efinition de fn (z) (z ∈ [−1; +∞]) et
˜
fn (z) (z ∈ [−∞; 1]). Elle permet de donner un d´eveloppement limit´e de f˜n (z) pour z ≪ 1 :
+∞
fn (z) = I(n)
(−1)i+1
i=1
√4
π
+∞
0
2
(−z)i
dxxn e−x . On donne I(2) = 1 et I(4) = 3/2.
Bro
uill
avec I(n) =
i
n+1
2
41
Bro
42
uill
on
on
Annexe B
Bibliographie
uill
Petite bibliographie indicative (il y a beaucoup d’autres bons ouvrages).
1. Elements de Physique statistique, B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet,
Hermann.
2. Introduction to Modern Statistical Mechanics, David Chandler, Oxford University
Press.
Introduction tr`es compl`ete `a la Physique Statistique (notion de base, liquide simple,
statistique quantique, transition de phase, dynamique)
3. Statistical Mechanics, Shang-Keng Ma, World Scientific.
Bro
4. Des Ph´enom`enes Critiques aux Champs de Jauge, Michel Le Bellac, Savoirs Actuels,
InterEditions/Editions du CNRS. Pour les 4 premiers chapitres sur les transitions de
Phases.
5. Equilibrium Statistical Physics, Michael Plischke and Birger Bergersen, World
Scientific.
Plus complet et plus difficile que le Chandler.
6. Principles of Condensed Matter, P. M. Chaikin, T. C. Lubensky, Cambridge
University Press.
Tr`es complet, parfois difficile.
7. Introduction to Phase Transition and Critical Phenomena, H. Stanley, Oxford Sci.
Publications.
8. The Theory of Critical Phenomena : an Introduction to the Renormalization Group,
J. J. Binney, N. J. Dowrick, A. J. Fisher and M. E. J. Newman, Oxford
Science Publication.
Tr`es complet sur les transitions de phases.
43

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