Document - Site de la PCSI du lycée Paul Eluard

Ann´
ee scolaire 2014/2015
PCSI
dm7
0
Exercice 1 Soit l’´equation diff´erentielle ty − 2y = t
3
´cembre
Pour le 19 de
(E)
1. (a) R´esoudre cette ´equation diff´erentielle sur R+∗
(b) Trouver, ´etudier rapidement et tracer sur un graphique, les
i. la solution f1 r´epondant aux conditions initiales f1 (1) = 1
ii. la solution f2 r´epondant aux conditions initiales f2 (1) = 2
iii. la solution f3 r´epondant aux conditions initiales f3 (1) = −2
2. (a) R´esoudre cette ´equation diff´erentielle sur R−∗
(b) Trouver, ´etudier rapidement et tracer sur un graphique
i. la solution g1 r´epondant aux conditions initiales g1 (−1) = 1
ii. la solution g2 r´epondant aux conditions initiales g2 (−1) = 2
iii. la solution g3 r´epondant aux conditions initiales g3 (−1) = −2
3. On cherche les solutions de (E) d´efinies sur R.
(a) Supposons qu’il existe une solution de (E) sur R, on la note φ.
i. Quelle est l’expression de φ sur R+∗ et sur R−∗ ?
ii. D´eterminer φ(0), en d´eduire l’expression de φ sur R.
(b) Inversement, si φ est une fonction de la forme des fonctions trouv´ees `a la question pr´ec´edente, montrer
que φ est continue sur R, d´erivable sur R et que φ est solution de (E) sur R.
(c) En d´eduire l’ensemble des solutions de (E) sur R.
(d) Trouver et tracer sur un graphique
i. la solution h1 r´epondant aux conditions initiales h1 (−1) = 1 et h1 (1) = 3
ii. la solution h2 r´epondant aux conditions initiales h2 (−1) = 2 et h2 (1) = 4
Exercice 2 Soient a et b deux r´eels.
1. r´esoudre l’´equation diff´erentielle (E1 ) y 00 − 4y = ax + b
2. En d´eduire les solutions de l’´equation diff´erentielle (E2 ) y 00 − 4y = a|x| + b.
3. Montrer que (E2 ) a une unique solution f dont le graphe admette des droites asymptotes en +∞ et −∞.
4. Etudier f et construire l’allure de sa courbe repr´esentative.
Exercice 3 R´esoudre les syst`emes suivants

x

(1 + m)x
1. m est un param`etre complexe

2x

ax +
x +
2. a et b sont des nombres complexes

x +
+
−
−
by
aby
by
y
y
my
+
+
+
+ z
+ z
+ az
(1 − m)z
2z
3z
=
=
=
= 2+m
=
0
= 2+m
1
b
0
Exercice 4: Facultatif Trouver dans les livres du CDI, dans ceux de la classe, ou sur Internet une d´emonstration
du thm suivant:
Th´
eor`
eme 1 Deux matrices de p lignes et n colonnes ´echelonn´ees r´eduites `
a ´equivalentes par lignes sont ´egales.
Exposer cette d´emonstration avec vos propres termes. La faire marcher sur deux matrices `a 5 lignes et 6
colonnes.
1

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