Exercices 6

ÉCS2
–
Chapitre 6 . Fonctions réelles de n variables réelles.
b) Montrer qu’en ces points la fonction f1 atteint un minimum global.
Exercice 6.1 Exemple polynomial
Soit f : R2 −→ R, (x, y) 7−→ x2 + y 2 − 2xy + 2x − 2y.
1. Déterminer les points critiques de f .
2. En déduire, à l’aide d’identités remarquables, ses extrema sur R2 .
Exercice 6.2 Exemple polynomial, bis
Soit f : R2 −→ R, (x, y) 7−→ 2(x − y) − x4 − y 4 .
1. Déterminer les points critiques de f .
2. Pour a ∈ R, observer le signe de f (x, ax) et en déduire le comportement de f en ses
points critiques.
Exercice 6.3 Recherche par un développement limité
Soit f : R2 −→ R, (x, y) 7−√
→ 2(x√− y)2 − x√4 −√
y4 .
1. Montrer que (0; 0), ( 2, − 2) et (− 2, 2) sont trois points critiques de f .
2. Montrer que f n’atteint pas d’extremum local en (0, 0).
Exercice 6.6 Fonction bornée
Soit f la fonction définie sur R2 par :
f (x, y) = sin(x) sin(y).
1. Sans chercher les points critiques de f , déterminer son minimum et son maximum
globaux sur R2 en précisant les points où ils sont atteints.
2.a) Déterminer les points critiques de f .
b) Correspondent-ils tous aux extrema globaux de f ?
3.a) Montrer que f n’atteint pas d’extremum local en (0, 0).
b) f admet-elle des extrema locaux non globaux ?
Exercice 6.7 Minimum suivant les droites et maximum suivant une parabole
Soit f définie par
∀(x, y) ∈ R2 ,
f (x, y) = 3x4 − 4x2 y + y 2 .
3.a) Montrer que,√pour tout√(h, k) ∈ R2 ,
1. Déterminer l’unique point critique de f .
f ( 2 + h, − 2 + k) = 8 − 10h2 − 10k 2 + h2 ε(h) + k 2 η(k)
2.a) Soit, pour tout a ∈ R, ∆a la droite d’équation y = ax.
avec lim ε(h) = 0 et lim η(k) = 0.
Montrer que, lorsque (x, y) parcourt la droite ∆a , f (x, y) atteint un minimum en
h→0
k→0
√
√
(0, 0).
b) Montrer que f atteint un maximum local en ( 2, − 2).
√ √
b)
Soit P la parabole d’équation y = 2x2 .
4. Par un argument de symétrie, étudier la nature du point critique (− 2, 2).
Montrer que, lorsque (x, y) parcourt la parabole P, f (x, y) atteint un maximum en
5. Montrer que ces trois points sont les uniques points critiques de f .
(0, 0).
Exercice 6.4 Un soupçon de géométrie
c) Que peut-on en conclure ?
1. Dans l’espace usuel de la géométrie, soit A un point quelconque et P un plan tout 3.a) Vérifier que
aussi quelconque.
∀(x, y) ∈ R2 ,
f (x, y) = (y − 3x2 )(y − x2 ).
À l’aide du théorème de Pythagore (dans sa version géométrique vue au collège),
→
− →
−
b) Sur le plan muni d’un repère orthonormé (O, i , j ) (unité 2 cm ou 2 grands carmontrer que le projeté orthogonal H de A sur P (défini par H ∈ P et (AH) ⊥ P) est
reaux), représenter les ensembles
le point de P le plus proche de A, et que ce point est unique.
F+ = {(x, y)/f (x, y) > 0}, F− = {(x, y)/f (x, y) < 0}
2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, quel est le point du plan d’équation
et F0 = {(x, y)/f (x, y) = 0}
x + y + z = 1 le plus proche de l’origine ? On traduira le problème en la recherche
c)
Expliquer
les
constations
effectuées à la question 2..
d’extremum d’une fonction.
Exercice 6.5 Un extrait d’ECRICOME 99
Soit n dans N∗ et fn : R2 −→ R, (x, y) 7−→ (xn − y)ex−y .
Exercice 6.8 Sur une partie de Rn
Soit
f : (] 0 ; +∞ [)n → R, (x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 + · · · + xn ) ×
1.a) Justifier que fn est une fonction de classe C sur R .
1
2.
2
b) Calculer les dérivées partielles du premier ordre de fn .
On se place dans le cas n=1.
1.
2.
a) Montrer qu’il existe une infinité de points critiques pour f1 .
Lycée Henri Poincaré
1/1
1
1
.
+ ··· +
x1
xn
Déterminer les points critiques de f .
À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que f atteint son minimum global
(à préciser) en chacun de ses points critiques.
lo

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