FICHE 1ES – Second degré ( ) 4( 1) 9 f x x = − − +

FICHE 1ES – Second degré
Forme développée :
f ( x ) = ax 2 + bx + c
é é
é
Forme canonique :
(
f (x) = a (x − α ) + β
2
≠ 0)
Forme factorisée :
f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x 2 )
ou
f (x ) = a ( x − x0 )
f ( x ) = −4 x ² + 8 x + 5
2
1 
5

f ( x ) = −4  x −   x − 
2 
2

f ( x ) = − 4( x − 1) 2 + 9
−b
2
et β = f (α ) . La forme canonique est : f ( x ) = a ( x − α ) + β .
2a
Courbe représentative d’une fonction du second dégré
Dans un repère orthogonal c’est une l’orientation est donnée par le signe de a :
S (α ; β ) et dont
Si a est positif, alors la parabole est orientée vers le haut ( comme un sourire ).
Si a est négatif, alors la parabole est orientée vers le bas.
Résoudre dans ℝ l’équation
²+
Une solution de l’équation ax ² + bx + c = 0 ,
l’expression ax ² + bx + c .
+ ,
≠0
On commence par calculer le
≠0
: ∆ = b ² − 4ac
Si ∆ > 0
Si ∆ = 0
Si ∆ < 0
ax ² + bx + c admet
racines :
ax ² + bx + c admet
une seule racine :
ax ² + bx + c n’admet
aucune racine dans 
x1 =
−b + ∆
2a
x2 =
−b − ∆
2a
x0 =
−b
2a
La parabole coupe l’axe
( ) en deux points de
coordonnées respectives
( x1 ;0 ) et ( x 2 ;0 ) .
La parabole et l’axe ( )
ont un seul point commun
de coordonnées ( x 0 ;0 ) .
La parabole et l’axe (Ox)
n’ont aucun point en
commun.
Une factorisation de
ax 2 + bx + c
Une factorisation de
ax 2 + bx + c
Pas de factorisation dans 
pour ax 2 + bx + c .
est : a ( x − x1 )( x − x 2 ) .
est : a ( x − x 0 ) 2 .
≠ 0, s’appelle aussi une racine de
°1 ∶
°2 :
+ = 0,
Tableaux de signes
Pour résoudre les équations de la forme ax 2 + bx = 0 , on factorise par x puis on utilise
la règle du produit nul.
²+
Méthode du discriminant pour résoudre :
Forme développée f(x) = ax² + bx + c , a ≠0 , vers forme canonique
On calcule α =
:
Méthode utilisant la parabole
L’expression ax ² + bx + c est positive
lorsque sa parabole représentative est
au-dessus de l’axe ( ).
L’expression ax ² + bx + c est négative
lorsque sa parabole représentative est
en dessous de l’axe ( ).
Méthode utilisant la règle des signes
L’expression
Pour résoudre les équations de la forme ax 2 + c = 0 , on isole x 2 pour se ramener à
« x 2 = un certain nombre », puis on examine le signe de ce nombre et on poursuit.
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²+
+
est « toujours du signe de
sauf entre ses racines ».

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