TD1

TD de Thermodynamique1 "SMIA & SMP"
Série n◦01
Exercice - 1
Soit les fonctions suivantes
f (x, y) = x3 − 5xy + y 2
et
g(x, y) = x2 y + x sin y
Déterminer :
∂2f ∂2f
∂2f ∂2f
1.
; 2;
;
2
∂x ∂y
∂x∂y ∂y∂x
∂2g ∂2g ∂2g ∂2g
2.
;
;
;
∂x2 ∂y 2 ∂x∂y ∂y∂x
Exercice - 2
Soient les fonctions de plusieurs variables :
f1 (x, y) =
xy
;
x2 + y 2
x2 y 2
f2 (x, y) = √ ;
x
f3 (x, y) = y ln x + x sin y
1. Calculer les dérivées partielles des fonctions f1 , f2
2. En déduire leurs différentielles
3. Ces différentielles sont-elles totales exactes ?
Exercice - 3
1. Soit f (x, y) = x2 + xy + y 2 une fonction de deux variable x, y
Avec
x = 2u + v
y = u − 2v
∂f ∂f
,
∂u ∂v
2. Soit la fonction de deux variables suivante : U (x, y) = x + x2 y 3
Déterminer
(a) Calculer la différentielle totale dU
(b) Est ce que dU est différentielle totale exacte ?
3. Soit la fonction de trois variables suivante : f (x, y, z) = x ln x − yz
∂f
∂f
∂f
(a) Calculer
,
et
∂x y,z
∂y x,z
∂z x,y
(b) Trouver la différentielle df
1
(1)
Thermodynamique1
FP-LARACHE
2014-2015
4. Soit la forme différentielle suivante :
df = 2xzdx + 2yzdz + (x2 + y 2 )dz
(a) df est-elle exacte (totale) ?
(b) Calculer la fonction f (x, y, z)
Exercice - 4
Démontrer que l’expression :
1
1
y
x
x + y + − 2 dx + y + x + − 2 dy
y x
x y
est la différentielle totale exacte d’une fonction f(x,y) que l’on déterminera.
Exercice - 5
Soit la forme différentielle :
ω = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
où P ,Q et R sont des fonctions de x,y,z
1. A quelles conditions doivent satisfaire P , Q et R pour que ω soit une différentielle totale exacte ?
2. Si P (x, y, z) = φ(x)(x2 z + z 2 + 2xz) ; Q(x, y, z) = 0 et R(x, y, z) = φ(x)(x2 + x)(x + 2z)
où φ(x) est une fonction seulement de x.
Trouver l’expression de φ(x) pour que les conditions de (1.) soient vérifiées.
3. On considère la fonction
PV
P
P
−
−
V
T
V T2
où P ,V et T sont respectivement la pression, le volume et la température d’un système thermodynamique
F (P, V, T ) =
(a) Écrire la différentielle dF
(b) dF est-elle différentielle totale exacte ?
Pr. Aziz OUADOUD
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