DM de mécanique

MPSI 2013-2014
DM de mécanique
DM 7 à rendre pour le lundi 17 mars
Équilibre et stabilité
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Un anneau ponctuel M de masse m est enfilé sur un
cercle fixe de centre O et de rayon r placé verticalement dans le plan (Oxz). Il est susceptible de glisser
sans frottement le long de ce guide circulaire et est soumis au champ de pesanteur terrestre supposé
uniforme. La résistance de l'air est négligeable.
1 Étude énergétique du problème
Une force T k MA tend à attirer l'anneau
M vers le point A. Elle se comporte comme
une force de rappel élastique due à un
ressort de raideur k et de longueur à vide
nulle, dont l'autre extrémité serait fixée en
A. L’énergie potentielle élastique est donc
égale à
E p,el
1
k (MA) 2
2
+ constante
1- Déterminer l’expression de l’énergie potentielle totale de l’anneau en fonction de m, g, k, r et θ
ˆ est égal à 2
Rappel : le triangle AMB est rectangle en M et l’angle A
2- En déduire les positions d'équilibre de l'anneau pour θ
[0 ; 2 ]
Remarque : afin d’illustrer votre raisonnement, tracer le graphe tan θ = f(θ) et faire apparaître les
positions d’équilibre θeq,i (i = 1, 2…) pour θ compris entre 0 et 2π.
3- Étudier la stabilité de ces positions d’équilibre. Justifier.
2 Étude dynamique du problème
1- Décrire et représenter les forces qui s’exercent sur l’anneau.
2- Déterminer l’équation différentielle vérifiée par l’angle θ (ne pas faire l’approximation des petits
angles).
Retrouver les expressions des angles θeq,i (i = 1, 2…) correspondant aux positions d’équilibre.
3- On suppose que l’angle θ varie d’une petite quantité ε à partir de la position d’équilibre :
θ(t) = θeq,i + ε(t) avec | ε | << | θeq,i |.
Appliquer le principe fondamental de la dynamique (loi de la quantité de mouvement) au point
M(θeq,i + ε).
4- Après avoir tenu du compte du fait que | ε | << | θeq,i |, en déduire une équation différentielle vérifiée
par ε(t).
Retrouver alors les résultats de la question 1.3. Justifier.
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