MATHS SPE EXERCICES CORRIGES

MATHS SPE
EXERCICES CORRIGES
Exercice 6 page 124.
On utilise un raisonnement par récurrence.
a 0 0
Posons A  0 b 0 .
0 0 c
Initialisation : pour n0 1 (car on demande "pour tout n 1)
 a1 0 0   a 0 0 
A 1 A et  0 b 1 0  =  0 b 0  = A. Ainsi la propriété est vraie pour n0 0.
 0 0 c1   0 0 c 
 ap 0 0 
p
 0 b p 0 .
Hérédité : soit p un entier naturel supérieur ou égal à 1 tel que A


 0 0 cp 
0 
 ap 1 0
p 1

p
1
0 b
0 .
Montrons que A


 0
0 cp 1 
a 0 0
 ap 0 0 
 0 bp 0 
A p 1 A A p  0 b 0 


 0 0 c
 0 0 cp 
 a ap 0 0 0 0 a 0 0 bp 0 0 a 0 0 0 0 cp 
 0 ap b 0 0 0 0 0 b bp 0 0 0 0 b 0 0 cp 


 0 ap
0 0 c 0 0 0 0 bp c 0 0 0 0 0 c cp 
p 1
0
0 
a
 0 bp 1 0 


 0
0 cp 1 
 an 0 0 
n
Conclusion : pour tout entier n supérieur ou égal à 1, A  0 b n 0 
 0 0 cn 
Exercice 37 page 132.
1.
a1 1 (respectivement a1 2) représente le nombre d autoradios (respectivement de baladeurs)
vendu chez VoiturPlus en décembre.
a2 1 (respectivement a2 2) représente le nombre d autoradios (respectivement de baladeurs) vendu chez
Bagnol s en décembre.
b1 1 (respectivement b2 1) représente le prix d un autoradio (respectivement d un baladeur) vendu chez
VoiturPlus en décembre.
b1 2 (respectivement b2 2) représente le prix d un autoradio (respectivement d un baladeur) vendu chez
Bagnol s en décembre.
 2700 2500   1   2700 
×   = 

ABC (AB)C 
 2175 2000   0   2175 
 20 30   45   2700 
   

Ou ABC A (BC) 
 15 25   60   2175 
ABC représente la matrice des recettes avec les prix de VoiturPlus : la recette de VoiturPlus en
décembre a été de 2 700€. Celle de Bagnol s aurait été de 2 175€ si les prix avaient été les mêmes que
ceux de VoiturPlus.
 2500 

De même ABD (AB)D A(BD) 
 2000 
ABD représente la matrice des recettes avec les prix de Bagnol s : la recette de Bagnol s en décembre
a été de 2 000€. Celle de VoiturPlusaurait été de 2 500€ si les prix avaient été les mêmes que ceux de
Bagnol s .
Exercice 47 page 133-134.
2 1 1
1.
A²  1 2 1 .
1 1 2
2.
3.
2 0 0
A(A I) A² A  0 2 0  2I et (A I)A A² A
0 0 2
On a alors 1 A(A I) A  1 (A I) I et 1 (A I)A
2

2
2
Alors A est inversible et A
4.
1
 1 1 1 
1 (A I) = 1  1 1 1 

2
2
 1 1 1
2 0 0
0 2 0


0 0 2
2I
I.
1
2
1
2
1
2


1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
On retrouve ce résultat à la calculatrice.
Exercice 48 page 134.
1.
M(M aI)
M² aM bI car M² aM bI. De même (M aI)M bI.
2.
Si b ≠ 0 : on a alors 1 (M aI) M I et M 1 (M aI) 1 M(M aI) I.
b
b
b
1
1
Ainsi, si b ≠ 0, M est inversible et M
(M aI).
b
Remarque : On a montré que si b est non nul, M est inversible. Cela ne signifie pas que si b 0, M
n est pas inversible.
1 0
3
3 0

 : M² 3M 0I et M est inversible avec M 1 
Par exemple : pour M 
0 3
0 1
 3
b non nul est une condition suffisante pour que M soit inversible mais ce n est pas une condition
nécessaire.
Exercice 49 page 134.
0 0 0
0 0 0
3


1. N²  0 0 0  et N  0 0 0 .
1 0 0
0 0 0
(I N)(I N N²) I N N N² N² N 3 I−N 3 I.
3
3
(I N N²)(I N) I N N² N−N²−N
I−N
I.
2. On remarque que A I−N.
Ainsi A(I
N
N²)
(I
N
N²)A
I donc A est inversible et A
−1
I
N
1 0 0
N²  1 1 0 
2 1 1

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