PERMANENCES ARCHITECTE

Mathématiques pour les Sciences de la Terre
GEOMETRIE
Géométrie d'Euclide
Transformations ponctuelles - Isométries
Géométrie vectorielle
ESPACE VECTORIEL
Structure d'espace vectoriel – Dual - Applications de E → E
Algèbre linéaire
Algorithmes (calcul matriciel)
STATISTIQUE
Statistiques descriptives
Probabilités – Principales lois statistiques
Raccordement à une loi statistique – Tests statistiques
Moindres carrés linéaires, linéarisés
Algorithmes (tests statistiques, moindres carrés)
GEOMETRIE D'EUCLIDE (1) : Fondements
Datation : Antiquité
Plan (aucun point privilégié)
- pas de norme
- pas d'orientation
2 Théorèmes fondamentaux :
Pythagore
AB2 + BC2 = AC2
Thales
A' B' AB
=
A' C AC
Relations entre longueurs relatives
GEOMETRIE D'EUCLIDE (2) : Définitions des angles non orientés
Demi-droites
^
O'
^
^O'x')
= (O'y',
(Ox, Oy) = (O'x', O'y')
y
O
x
Mesure de l'angle :
y'
^
x'
Droites
D
0 ≤ (Ox, Oy) ≤ π
∆'
^
^
(D, D') = (∆, ∆')
Mesure de l'angle :
^
0 ≤ (D, D') ≤ π/2
D'
∆
GEOMETRIE D'EUCLIDE (3) : Définition des angles orientés
^
O'
Demi-droites
y
O
x
^
Mesure de l'angle :
y'
^
^
^O'y')
= -(O'x',
(Ox, Oy) = (O'y', O'x')
^
x'
0 ≤ (Ox, Oy) < 2π
(Ox, Oy) = (O'y', O'x')
droites
Droites
D
∆
∆'
^
^
(D, D') = (∆', ∆)
Mesure de l'angle :
^
0 ≤ (D, D') ≤ π
D'
GEOMETRIE D'EUCLIDE (4) : Définition des fonctions circulaires
M
Pythagore Ö Angles non orientés aigus
β
OH
cos α =
OM
HM
tg α =
OH
α
H
HM
sin α =
OM
O
Angles non orientés de demi-droites : 0 ≤ α ≤ π
y
y
-1 ≤ cos α ≤ 1
0 ≤ sin α ≤ 1
M
M
α
α
H
O
x
H
O
⇒seul cos α caractérise
les angles non orientés
x
GEOMETRIE D'EUCLIDE : SIMILITUDE
B
β
B'
γ C
α
A
1er cas de similitude :
Si α = α' et β = β'
alors ABC et A'B'C' sont semblables
β'
α'
γ'
C'
2ème cas de similitude :
Si α = α' et A'B'/AB = A'C'/AC
alors ABC et A'B'C' sont semblables
Définition : ABC et A'B'C' sont semblables
ssi
B'C'/BC = A'C'/AC = A'B'/AB
et
α = α', β = β' et γ = γ'
3ème cas de similitude :
Si B'C'/BC= A'B'/AB = A'C'/AC
alors ABC et A'B'C' sont semblables
A'
QUESTION :
A-t’on similitude si:
β = β' et A'B'/AB = A'C'/AC ?
GEOMETRIE EUCLIDIENNE (1) : Isométries
1
Plan Euclidien P
- aucun point privilégié (origine)
- norme (unité de longueur)
- sans (avec) orientation
Définition : Une isométrie est une bijection de P sur P qui conserve les distances
L'application t : P→ P est une isométrie ssi t est bijective
et
∀ A∈P, ∀ B∈P,
t(A) t(B) = AB
3ème cas d'égalité des triangles ⇒
les isométries conservent les mesures
d'angles non orientés de demi-droites
Propriétés :
* Si t est une isométrie, t-1 est une isométrie
* Si t et s sont des isométries,
t○s et s○t
sont des isométries
GEOMETRIE EUCLIDIENNE (2) : Règles d'égalité des triangles
B
B'
β
γ
A
α'
β'
C
A'
γ
B'
C
α'
A'
β'
γ'
A
C'
Définition : ABC et A'B'C' sont congrus
ssi :
BC = B'C', CA = C'A', AB = A'B'
et
α = α', β = β', γ = γ'
C'
1er cas d'égalité :
Si BC = B'C', β = β' et γ = γ'
alors ABC et A'B'C' sont congrus
B
A'
C
A
B'
β
γ'
α
B
B
A'
B'
C
α
C'
2ème cas d'égalité :
Si AB = A'B', AC = A'C' et α = α'
alors ABC et A'B'C' sont congrus
A
C'
3ème cas d'égalité :
Si AB = A'B', BC = B'C' et AC = A'C'
alors ABC et A'B'C' sont congrus
GEOMETRIE EUCLIDIENNE (3) : Isométries
Dans le plan Euclidien, toute isométrie est d'un des types suivants :
1)Identité I
I:
M →I(M) = M.
2)Translation Tv de vecteur V
Tv :
M →M'= Tv(M) tq MM' = V.
3)Rotation (centre O, angle α)
RO,α: M→M' = RO,α(M)
tq :
OM' = OM et (OM,OM') = α (2π)
4)Symétrie orthogonale S∆ d'axe ∆ S∆ :
M→M' = S∆(M) tq ∆ médiatrice de MM'
5)Glissement G∆,V d'axe ∆ et de vecteur V parallèle à ∆ :
G∆,V: M→M' = TV◦S∆(M) = S∆◦TV(M)
2)
1)
V
M
3)
M'
α
M, M'
4)
∆
M
M'
O
5)
M'
M
V
M'
∆
M
GEOMETRIE EUCLIDIENNE (4) : Classification des isométries
DEFINITIONS :
Déplacement :
Isométrie d conservant les mesures d'angles orientés de demi-droites
(d(A) d(B)), d(A) d(C)) = (AB, AC) (2π).
Retournement : Isométrie r changeant les mesures d'angles orientés en leur opposées
(r(A) r(B)), r(A) r(C)) = - (AB, AC) (2π).
Points fixes :
Points du plan Euclidien qui sont leur propre image par l'isométrie t
F = point fixe ⇔ t(F) = F
Déplacements
Rotations
Retournements
Symétries
orthogonales
Points fixes
?
Identité
Translation
Glissement
?
?
?
GEOMETRIE EUCLIDIENNE (4) : Classification des isométries
DEFINITIONS :
Déplacement :
Isométrie d conservant les mesures d'angles orientés de demi-droites
(d(A) d(B)), d(A) d(C)) = (AB, AC) (2π).
Retournement : Isométrie r changeant les mesures d'angles orientés en leur opposées
(r(A) r(B)), r(A) r(C)) = - (AB, AC) (2π).
Points fixes :
Points du plan Euclidien qui sont leur propre image par l'isométrie t
F = point fixe ⇔ t(F) = F
Déplacements
Rotations
Retournements
Symétries
orthogonales
Points fixes
droite ∆
Identité
Translation
Glissement
centre O
plan P
∅
Théorème fondamental : Toute isométrie peut toujours s'exprimer
comme la composée d'au plus 3 symétries orthogonales.
STRUCTURE DES ENSEMBLES : GROUPE
Groupe :
Soit G un ensemble, e un élément de G et une loi de composition interne.
(G, e, ) est un groupe ssi:
a(bc)= (ab)c
1) la loi est associative:
∀ (a, b, c) ∈ G3,
2) la loi admet e comme élément neutre: ∀a ∈ G
ae = ea = a
3) tout élément de G a un inverse:
∀a ∈ G, ∃ ã ∈ G aã = ãa = e
Groupe abélien: Soit G un groupe, a et b 2 éléments de G et sa loi de composition interne.
Le groupe G est abélien (commutatif) si
4) sa loi interne est commutative :
∀a ∈ G
∀b ∈ G
a = ba
Homomorphisme: Soient (G, e, ) et (G', e', ' ) 2 groupes et f : G →G' . f est un homomorphisme si :
Morphisme
de Groupe :
1) ∀a ∈ G, ∀b ∈ G,
f(ab) = f(a)' f(b)
2) ∀a ∈ G, ∀b ∈ G,
f(e) = e'
∼
3) ∀a ∈ G,
f(ã) = f(a)
Propriété : Si f est bijectif, son inverse f-1 est aussi un morphisme de groupe
Isomorphisme: Soient (G, e, ) et (G', e', ' ) 2 groupes et f : G →G' . f est un isomorphisme
ssi f-1 est un morphisme bijectif. f est alors aussi un morphisme bijectif.
Sous-groupe:
Soit (G, e, ) un groupe et H un sous-groupe de G. (H, e, ) est un sous-groupe de G ssi
1) ∀a ∈ H, ∀b ∈ H,
ab ∈ H
(stabilité par rapport à )
2) e ∈ H
3) ∀a ∈ H,
ã∈H
(stabilité par rapport à l'inversion)
Cardinal :
Un groupe G est dit "fini" ssi l'ensemble G a un nombre fini d'éléments.
On appelle "ordre" d'un groupe fini G le nombre d'éléments de G : ordre de G = Card G.
GEOMETRIE EUCLIDIENNE (4) : Groupe des isométries
Idée : Montrer graphiquement que la composé (f o g) de 2 isométries
f et g est une isométrie
( f, g = I, Tv, RO,α, S∆ et G∆,V ).
EXEMPLE :
f = RO, -60°, g = RO', -30°
1) Représenter l'action de (f o g) sur un bipoint (A, B)
avec f o g (A, B) = f ( g (A, B))
f o g : (A, B)→ (A'', B'' ) et vérifier si (A''B'' ) = (AB) (isométrie)
2) Deviner la nature de f o g à partir de quelques bipoints objets-images.
3) Etablir la table de multiplication des isométries.
4) Exemple 6/m (3D) : Cardinal, Sous-groupe, Abélien (A Faire)
GEOMETRIE EUCLIDIENNE (4) : Groupe des isométries
Idée : Montrer graphiquement que la composé (f o g) de 2 isométries f et g est une isométrie
( f, g = I, Tv, RO,α, S∆ et G∆,V ).
1) Représenter l'action de (f o g) sur un bipoint (A, B) avec f o g (A, B) = f ( g (A, B))
f o g : (A, B)→ (A'', B'' )
Vérifier si (A''B'' ) = (AB) (isométrie)
2) Deviner la nature de f o g à partir de quelques bipoints objets-images.
3) Etablir la table de multiplication des isométries (à faire).
D''
B
A
C''
A''
O'
B''
A
F
D
C
E
E''
D''
B
C''
O'
B''
Ω
F
D
C
E
O
E''
O
F''
f = RO, -60°, g = RO', -30°
A''
F''
(fog) = RΩ, 90°
GEOMETRIE EUCLIDIENNE : PLAN MUNI D'UNE METRIQUE
b
b
N
N
M
M
a
O
a
O
1
1
Plan + métrique, non orienté
Plan + métrique, orienté
MN = 2
(Oa, Ob) = π/2
(Oa, Ob) : pas de valeur (+π/2 ou –π/2)
MN = 2
(Oa, Ob) = π/2
(Oa, Ob) : +π/2
a
a'
b'
b
a
a'
b'
b
O
O
∆
O
INVARIANT PAR ISOMETRIE
O
Tv
INVARIANT PAR TRANSLATION
GEOMETRIE D'EUCLIDE : PLAN NON MUNI D'UNE METRIQUE
b
b
N
M
N
M
a
O
a
O
Plan non normé, non orienté
Plan sans métrique, orienté
MN : pas de valeur (MN ≥0)
(Oa, Ob) = π/2
(Oa, Ob) : pas de valeur (+π/2 ou –π/2)
MN : pas de valeur (MN ≥0)
(Oa, Ob) = π/2
(Oa, Ob) : +π/2
a'
a
O'
b
O
C
a
b'
a
b'
C
b
O
INVARIANCE PAR LES SIMILITUDES
O'
GEOMETRIE D'EUCLIDE : SIMILITUDE
B
β
B'
γ C
α
A
1er cas de similitude :
Si α = α' et β = β'
alors ABC et A'B'C' sont semblables
β'
α'
γ'
C'
2ème cas de similitude :
Si α = α' et A'B'/AB = A'C'/AC
alors ABC et A'B'C' sont semblables
Définition : ABC et A'B'C' sont semblables
ssi
B'C'/BC = A'C'/AC = A'B'/AB
et
α = α', β = β' et γ = γ'
3ème cas de similitude :
Si B'C'/BC= A'B'/AB = A'C'/AC
alors ABC et A'B'C' sont semblables
Définition :
A'
Soit λ un réel strictement positif
( λ ∈ℜ+* )
On appelle "similitude" de rapport λ toute bijection de P
sur lui-même qui multiplie les longueurs par λ .
S : P→ P est une similitude de rapport λ ssi S est bijective
et vérifie pour tous points A et B de P :
S(A) S(B) = λ AB
GEOMETRIE D'EUCLIDE : SIMILITUDES REMARQUABLES
Similitude de rapport λ :
S : P→ P tq.
S(A) S(B) = λ AB
Similitude de rapport λ = 1
Isométries :
Homothéties: Soit µ ∈ℜ* et O∈ P .
A
On appelle "Homothétie de centre O et de rapport µ"
la bijection de P sur lui-même telle que :
Hom(O,µ) :
P→P
M→M'
tq.
OM' = µ OM
B
Si µ > 0 ⇒ Homothétie positive
Si µ < 0 ⇒ Homothétie négative
Si µ = 1 ⇒ Identité
Si µ = -1 ⇒ Rotation de centre O, angle π : R(O, π)
= Symétrie centrale de centre O
O
Similitude directe : conserve les angles orientés
Similitude inverse : change l'orientation des angles
B'
A'
GEOMETRIE D'EUCLIDE : DECOMPOSITION CANONIQUE DES SIMILITUDES
Théorème :
Une similitude directe est soit un déplacement (isométrie directe), soit une
homothétie, soit la composé d'une homothétie d'une homothétie et d'une
rotation de même sens.
Une similitude inverse est soit un retournement (isométrie inverse), soit
la composé d'une homothétie et d'une symétrie orthogonale dont l'axe passe
par le centre de l'homothétie.
Ö CRISTALLOGRAPHIE :
IL EXISTE DES OPERATEURS DE SYMETRIE PROPRES ET IMPROPRES
QUESTION :
L'espace tridimensionnel considéré en Cristallographie
classique suit-il la géométrie d'Euclide ou la géométrie
Euclidienne (Est-il normé, orienté ?) ?
Quelle invariance considère-t'on ?
CARTOGRAPHIE :
QUESTION :
Quelles sont les caractéristiques de l'espace sur lequel
on représente les objets géologiques ?
GEOMETRIES ET INVARIANCES : Le programme d'Erlangen de Klein
Félix Klein (1872) :
Il existe DES géométries; chaque géométrie est
caractérisée par son groupe de transformations
laissant invariantes les propriétés du plan
Géométrie Euclidienne : Isométrie
P→P
t : t(A) t(B) = AB
Translation
Porient → Porient
t : t(A) t(B) = AB
Géométrie d'Euclide :
Homothétie
P→P
S : S(A) S(B) = λ AB
Géométrie conforme :
Inversion
P-O→P-O
Γ : M→M' OM' = a2 OM
OM2
P→P
J : (A,B,C,D)→(A' B' C' D')
Ö Aéronautique
Géométrie projective :
Birapport
CA . DB = C'A'.D'B'
CB DA C'B' D'A'
Ö Dessin "en perspective"
...
GEOMETRIE VECTORIELLE : DEFINITIONS
Géométrie vectorielle : Décrire différement la géométrie Euclidienne
dans un plan orienté.
Etudier les propriétés de ses invariants (translations).
E : Ensemble des points du plan (espace) Euclidien
E : Ensemble des vecteurs du plan (espace) vectoriel
□
:
Application de E X E → E associant à tout couple de points (A, B)
équivalents dans le plan E orienté un unique vecteur AB (translation)
B'
B
B''
A'
A
B'''
A'''
V
A''
Vecteur (vecteur libre) : Classe d'équivalence de bipoints
(E: pas d’origine O)
= {bipoints équivalents dans le plan Euclidien orienté}
= {bipoints équivalents par translation }
Propriétés non locales : poids P, champ magnétique B,
Vecteur lié :
Vecteur libre + son support
Propriétés locales : pendage d'une couche, ...
GEOMETRIE VECTORIELLE : PROPRIETES FONDAMENTALES
V
A4
B
C
A3
U
A
W
A2
U
3U
COMPOSITION D’ISOMÉTRIES
ADDITION DE VECTEURS
U:
E X E →E
V:
E X E →E
U+V:
E X E →E
A : TU (A) = B
B : TV (B) = C
A1
MULTIPLICATION PAR UN REEL λ
U : E X E →E
E X E →E
...
A : TV(TU (A)) = C
"Relation de Chasles"
A1 : TU (A1) = A2
A2 : TU (A2) = A3
E X E →E
Aλ−1: Tu(Aλ-1) = Aλ
λU : E X E →E
A1 : Tuλ(A1) = Aλ+1
Ö Définition d'un espace vectoriel au sens large
GEOMETRIE VECTORIELLE : Base de E, coordonnées d'un vecteur
a2
Base de E : tout ensemble de 2 vecteurs non colinéaires
{a1, a2}
M
x2
Tout vecteur OM de E se décompose de façon unique :
O
x1
OM = x1 a1 + x2 a2
a1
a2
Coordonnée xj : projection de M perpendiculairement
α1
à tous les vecteurs MAj ( j ≠ i)
M
x2
Vecteur MAj : Vecteur perpendiculaire aux vecteurs
α1
A2 α 1
O
de base ai (i ≠ j)
A1
x1
a1
Ö base du "DUAL" de l'espace vectoriel E
Ö Vecteurs ai* en Cristallographie
ÖVecteur d'onde k
GEOMETRIE VECTORIELLE : NOTATION DES VECTEURS
~
Notation "bipoint" : AB, AB, AB
~
vecteur = bipoint
~
* Indépendante du choix de la base
* Direction et sens facilement visualisables
* Illustre bien les vecteurs liés
* Addition facile (relation de Chasles)
* Notation concise
* Multiplication par un scalaire peu claire
* Calcul sur schéma (Informatique)
Notation "translation" : V, V, V, V
~
vecteur = transformation de E
* Indépendante du choix de la base
* Illustre bien les vecteurs libres
* Multiplication par un scalaire claire
* Addition peu visualisable
* Notation très concise
* Direction et sens peu visualisables
* Calcul sur schéma (Informatique)
Notation "coordonnées" : [x1, x2> (Dirac)
vecteur = résultat d’une décomposition
* Addition facile
* Multiplication par un scalaire facile
* Calcul algébrique possible (ÖInformatique)
* Direction et sens peu visualisable
* Dépend intrinséquement de la base
* Notation lourde (en particulier à N dimensions)
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟ (colonne)
⎝ x2 ⎠
GEOMETRIE VECTORIELLE : NORME, PRODUIT SCALAIRE ET VECTORIEL
DEFINITIONS :
Isométrie
⇒ Norme ||AB|| du vecteur AB : ||AB|| = AB
Définition : ||AB|| est un scalaire, défini positif ou nul
ÖDéf. générale d'une norme (cf. Espace Vectoriel)
⇒Produit scalaire de V et V' :
Conservation
des angles
Propriétés : Symétrie
Bilinéarité
V'
V . V' = ||V|| . ||V'|| cos(V, V')
V . V' = V' . V
(U+V).W = U.W + V.W
(λ U). V = λ U.V
W.(U+V) = W.U + W.V
O
V
V.(λ U) = λ V.U
A
Carré scalaire de V :
V2 = V.V = ||V||2
Produit vectoriel de V et V' :
V x V' = ||V|| ||V'|| sin(V, V')
Propriété :
V x V'
V
Aire algébrique du parallélogramme basé sur V, V'
V'
V'
V
V x V'
(V x V') ⊥ V
et
(V x V )⊥ V
GEOMETRIE VECTORIELLE 2D: NORME, PRODUIT SCALAIRE ET VECTORIEL
Expression dans une base bidimensionnelle (i , j ) quelconque où
Produit scalaire :
V1.V2 = ( x1 i + y1 j )(
. x2 i + y2 j )
V1 = x1 i + y1 j
V2 = x2 i + y2 j
V1.V2 = x1 x2 i .i + x1 y2 i j + y1 x2 j .i + y1 y2 j . j
V1.V2 = x1 x2 i + y1 y2 j + ( x1 y2 + y1 x2 ) i . j
2
2
Norme de V1 :
V1 = V1.V1
Aire algébrique :
A = ( x1 i + y1 j ) ∧ ( x2 i + y2 j )
V1 = x1 i
2
2
+ y1 j + 2 x1 y1 i . j
2
2
A = x1 x2 i ∧ i + x1 y2 i ∧ j + y1 x2 j ∧ i + y1 y2 j ∧ j
A = x1 y2 i ∧ j + y1 x2 j ∧ i
Déterminant :
Det(i , j ) (V1 , V2 ) =
l'aire algébrique vaut :
aire du parallélogramme
construit sur V1 , V2
⇒ indépendant de la base
(
)
x1
x2
y1
y2
A = ( x1 y2 − y1 x2 ) i ∧ j
Det(i , j ) (V1 , V2 ) = x1 y2 − x2 y1
A = Det(i , j ) (V1 , V2 ) ×(i ∧ j )
fonction des
coordonnées
⇒ dépendant de la base
aire du parallélogramme
construit sur i , j
⇒ dépendant de la base
(
)
GEOMETRIE VECTORIELLE 3D: NORME, PRODUIT SCALAIRE, VECTORIEL ET MIXTE
(
)
Expression dans une base bidimensionnelle i , j , k quelconque où V1 = x1 i + y1 j + z1 k
Produit scalaire :
V2 = x2 i + y2 j + z2 k
V1.V2 = (x1 i + y1 j + z1 k )(
. x2 i + y2 j + z2 k )
2
V1.V2 = x1 x2 i + y1 y2 j + z1 z2 k
+ ( x1 y2 + y1 x2 ) i . j + ( x1 z2 + z1 x2 ) i .k + ( z1 y2 + z1 x2 ) k . j
2
Norme de V1 :
Aire algébrique :
V1 = x1 i
2
2
2
+ y1 j + z1 k
2
2
2
2
+ x1 y1 i . j + x1 z1 i .k + y1 z1 j .k
V2 ∧ V3 = (x2 i + y2 j + z2 k ) ∧ (x3 i + y3 j + z3 k )
V2 ∧ V3 = ( x2 y3 − y2 x3 ) i ∧ j + ( y2 z3 − z2 y3 ) j ∧ k + ( z2 x3 − x2 z3 ) k ∧ i
Volume algébrique : V = (aire algébrique) * hauteur V = V1.(V2 ∧ V3 )
V = z1 ( x2 y3 − y2 x3 ) k .(i ∧ j ) + x1 ( y2 z3 − z2 y3 ) i .( j ∧ k )
+ y1 ( z2 x3 − x2 z3 ) j .(k ∧ i )
V = Det(i , j , k ) (V1 , V2 ,V3 ) * (i .( j ∧ k ))
V1 x V2
i .( j ∧ k ) : Volume de base
x1
Déterminant :
Det(i , j , k ) (V1 , V2 ,V3 ) = y1
z1
V2
x2
x3
y2
z2
y3
z3
) = x1 y2 z3 + y1z2 x3 + z1 x2 y3
− x1 y3 z2 + y1 z3 x2 + z1 x3 y2
V1
ESPACE VECTORIEL : DEFINITIONS
K-espace vectoriel :
bilinéarité
Soient (K, OK, +K, 1K, *K) un corps commutatif,
(E, OE, +E) un groupe commutatif muni de la loi externe
KXE →E, (α, ν)→α *E ν
(E, OE, +E, *E) est un espace vectoriel sur le corps (K, OK, +K, 1K, *K) ssi :
1) ∀(α, u, ν) ∈KxE2
2) ∀(α, β, ν) ∈K2xE
3) ∀(α, β, ν) ∈K2xE
4) ∀ν ∈E
α *E (u +E ν) = (α *E u) +( α *E ν)
(α +K β) *E ν) = (α *E ν) +Ε (β *E ν)
(α *K β) *E ν = α *E (β *E ν)
1K *E ν = ν
Les éléments de K sont appelés "scalaires", ceux de E, "vecteurs".
Ö Plan Euclidien : K = ℜ,
E2 = Plan ( E3 =espace)
Application linéaire:
+K = +, *K = *,
+E = addition vectorielle
0K = 0 et 1K = 1
0E = 0
Soient (E, OE, +E, *E) et (F, OF, +F, *F) 2 espaces vectoriels
sur le corps (K, OK, +K, 1K, *K) et
f : E → F une application de E dans F.
f est une application linéaire ssi :
1) ∀(u, ν) ∈E2
2) ∀(α, ν) ∈KxE
f(u +E ν) = f(u) +F f(ν)
f(α *E ν) = α *F (ν)
Ö Une application linéaire est un morphisme d'espaces vectoriels.
Pour que f soit une application linéaire, il faut et il suffit que :
∀(u, u', α, α' ) ∈ E2 x K2
⇒ ISOMETRIES, MATRICES
f(αu + α'u' ) = α f(u) + α' f(u' )
ESPACE VECTORIEL : STRUCTURE
K-linéarité :
Soit f : E →F une application K-linéaire.
Si f est bijective, alors f-1 est aussi K-linéaire.
Soit f : E →F une application K-linéaire. f est un isomorphisme d'espace vectoriel
ssi f est bijective. E et F sont alors dits "isomorphes".
Combinaison :
lineaire
Soient u1, u2, ..., uk k vecteurs d'un K-espace vectoriel.
On appelle "combinaison linéaire " de u1, u2, ..., uk tout vecteur de E de la forme :
k
∑α
i =1
i
ui
i.e.
α1 u1 + α2 u2 + ... + αk uk
où α1, α2, ..., αk sont des scalaires (éléments de K).
Indépendance :
linéaire
Soient E un K-espace vectoriel et u1, u2, ..., up des vecteurs de E.
On dit que u1, u2, ..., up sont linéairement indépendants ssi :
∀(λ1, λ2, ..., λp) ∈Kp
[ λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λp up = 0 ⇒ λ1, λ2, ..., λp = 0]
Le système (u1, u2, ..., up ) est "libre".
Si les vecteurs up ne sont pas indépendants, le système est "lié".
Base :
Soit E un K-espace vectoriel. On dit que n vecteurs e1, e2, ..., en de E forment
une base de E ssi :
1) Ils engendrent E
2) Ils sont linéairement indépendants.
Dimension de E :
Soit E un espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie s'il existe n vecteurs
e1, e2, ..., en formant une base de E. n est la "dimension" de E.
ESPACE VECTORIEL : DUALITE - ORTHOGONALITE
Forme linéaire :
On appelle "forme linéaire " sur E une application linéaire de E dans K, considéré
comme K-espace vectoriel.
Le K-espace vectoriel constitué par les formes linéaires sur E se note E*
et est appelé "dual" de E. Le dual de E* est noté E** et est appelé "bidual".
Si E est de dimension n ≥ 1 et si (e1, e2, ..., en ) est une base de E, alors
chaque forme linéaire f sur E est uniquement déterminée par la donnée
des scalaires ( φ(1), φ(2), ..., φ(n).
Forme linéaire :
coordonnée
Pour chaque i tel que 1 ≤ i ≤ n, il y'a une forme linéaire remarquable ei* définie par:
ei* (ej) = δij
(δij = symbole de Kroneker :
δij = 1 si i=j,
δij = 0 si i≠j )
La famille (e1*, e2*, ..., en* ) est la base duale de E*
~
Orthogonalité :
Soient x ∈E et φ ∈ E*. x et φ sont orthogonaux ssi φ(x) = 0 i.e. ssi x(φ) = 0.
Soient A une partie de E et V une partie de E*. A et V sont orthogonales ssi
chaque élément de A est orthogonal à chaque élément de V.
Soit A une partie de E. On appelle "orthogonal de A" et on note A┴ l'ensemble
des éléments de E orthogonaux à tous les éléments de V.
ESPACES VECTORIELS : PRODUIT SCALAIRE - PROJECTEUR
NOTATION DES VECTEURS
Vecteur projeté :
représenté par
un "ket" (notation de Dirac)
ou un vecteur colonne.
|b1b2···bn〉
Vecteur de :
projection
représenté par
un "bra" (notation de Dirac)
ou un vecteur ligne.
〈a1a2···an|
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ b2 ⎟
⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ bn ⎠
(a1 a2
an )
Produit scalaire : projection du vecteur |b1 b2 ··· bn〉 de E sur le vecteur 〈a1 a2 ··· an| de E
= bra-ket (jeu de mots : bracket = crochet en Anglais)
⎛ b1 ⎞ (a1 a2
⎜ ⎟
⎜ b2 ⎟
⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ bn ⎠
an )
〈a1a2···an||b1b2···bn〉
Coordonnées : projections du vecteur |a1 a2 ··· an〉 de E sur les vecteurs de base 〈e1* e2* ··· en*| de E*
*
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
a2 = ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
(a1 a2
an )
a2 = 〈 0* 1* ... 0* ||a1 a2 ··· an〉
Exercice n° 1 : Calculs dans le plan Euclidien
On considère le plan Euclidien P muni d'une norme et d'une base
e1 = 2
(e1 , e 2 ) = 120 °
e2 = 2 / 3
(e1 , e2 ) telle que :
OM : (1 2 , 2 )
e1.
1)
Mesurez l'angle α que fait le vecteur
2)
Calculez l'aire algébrique A de la base
3)
Calculez l'aire algébrique A* de la base duale, puis son produit avec A.
4)
Calculez le produit scalaire de OM avec e1 , e2
Vérifiez graphiquement les valeurs obtenues
OM avec le vecteur de base
.
*
e1 , e2
*
.
On considère l'isométrie RO,-α .
5)
Comment se transforme le vecteur
OM ? Quelles sont ses coordonnées ?
6)
Vérifiez que RO,-α est une isométrie. Est-elle une application linéaire ?
7)
Comment se transforme le vecteur
OM par les isométries RO, θ , S∆
(∆ = droite d'équation y = x), G∆, v ( v = |2 1> ) et Tv ?
a1 = 2
ENONCE :
(a1 , a2 ) = 120°
a2 = 2 / 3
OM = (1 / 2 , 2 )
→*
a2
1
M
M2
2
M1
→
→*
a2
120°
O
CALCUL :
a1 = 0,577
*
x1 = <1 0*|OM>
x2 = <0 1*|OM>
a2 = 1,731
*
x1 = OM1 a1*
x2 = OM2 a2*
→
a1
a1
1/2 M'
MESURE :
x1 ≈ 0,85*0,577
x2 ≈ 1,15 *1,731
OM 1 ≈ 0,85 OM 2 ≈ 1,15
x1 ≈ 0,5
x2 ≈ 2,0
Réponse à l’Exercice n° 1 : Calculs dans le plan Euclidien
On considère le plan Euclidien P muni d'une norme et d'une base
e1 = 2
1)
2)
3)
4)
(e1 , e 2 ) = 120 °
e2 = 2 / 3
(e1 , e2 ) telle que :
OM : (1 2 , 2 )
e
Mesurez l'angle α que fait le vecteur OM avec le vecteur de base 1.
Réponse : α = 25° environ.
Calculez l'aire algébrique A de la base
.
A = 1,155
A = e1 e2 sin e1 , e2
Réponse : A = e1 ∧ e2
Calculez l'aire algébrique A* de la base duale, puis son produit avec A.
*
A * A* ≅ 1
Réponse : A = 0,865
A * A* = 1,155 * 0,865
*
*
Calculez le produit scalaire de OM avec e1 , e2 e1 , e2
.
Vérifiez graphiquement les valeurs obtenues
(
OM .e1 = (1 / 2 e1 + 2 e2 ).e1
OM .e1 = (1 / 2 e1 + 2 e2 ).e1
*
*
)
OM .e1 = 1 / 2 e1 + 2 e1.e2 cos(e1 , e2 )
2
OM .e1 = 1 / 2
*
OM .e2 = 2
*
OM .e1 = 2,666
OM .e2 = 0,556
On considère l'isométrie RO,-α .
5)
Comment se transforme le vecteur
OM
OM : (1 / 2, 2 ) ⇒ OM ' : (OM / e1 , 0 )
2
OM
= 1 / 4 e1 + 4 e2 + 2e1 e2 (e1 , e2 )
2
2
? Quelles sont ses coordonnées ?
2
= (1 / 2 e1 + 2 e2 )(1 / 2 e1 + 2 e2 )
2
= 1,444 OM ' : ((1,202 / 2 ), 0 ) = (0,601, 0 )
OM
OM
6)
Vérifiez que RO,-α est une isométrie. Est-elle une application linéaire ?
7)
Comment se transforme le vecteur
OM par les isométries RO, θ , S∆
(∆ = droite d'équation y = x), G∆, v ( v = |2 1> ) et Tv ?
Exercice n° 2 : Décomposition de Fourier
On considère l'ensemble des fonctions f(x) (x ∈ ℝ) périodiques de période L,
continues sur l'intervalle [0, L [.
1) Définissez l'espace de définition X1, l'espace image X2 de f(x). : f : X1 →X2.
2) {f(x)} forme-t'il un espace vectoriel ? Quelle serait sa dimension ?
3) Quelles propriétés peut-on attendre d'une base {e1, e2, …} de{f(x) }?
4) On se propose de décomposer f(x) sur la base
{…, <e-n|, <e-(n-1) |, … ,<e-1|, <e0|, <e1|, … <e(n-1)|, <en|, …}
telle que
ej = e
i j
2π
x
L
Quelles sont les coordonnées Cj de f(x) ?
On définit le produit scalaire de f(x) et g(x) par :
+L / 2
1
g (x ) f (x ) =
f ( x ) g ( x ) dx
∫
L −L / 2
5) Application pour f(x) tq
f(x) = 1 pour 0 < x ≤ L/2
f(x) = 0 pour L/2 < x ≤ L
a) Tracer f(x) sur [-2L, 2L].
b) Calculez C0, C1, C-1, C2, C-2,C3, C-3, … , Cj, C-j .
c) Calculez les composantes de Fourier de f(x)
d )Représentez les composantes de Fourier réelles <e-j| C-j+ <ej| Cj , j = 1, 5
Décomposition de Fourier
f(x) avec L=5
1,1
f(x)
1
f(x) = 1 pour 0 < x ≤ L/2
f(x) = 0 pour L/2 < x ≤ L
0,9
0,8
0,7
f(x)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
+L / 2
C j + C− j
2
⎛ 2π ⎞
(
)
=
cos
f
x
x ⎟ dx
⎜j
L − L∫/ 2
⎝ L ⎠
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
C −1 e−1
-7,5
-5
-2,5
⎛ 2π ⎞
+ C1 e1 = sin ⎜
x⎟
π
⎝ L ⎠
2
x
0
-1
0
-0,1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Décomposition de Fourier d'une fonction créneau
S Cj |ej> j=1, 5
C-1|e-1>+C1|e1>
C-5|e-5>+C5|e5>
1
C-7|e-7>+C7|e7>
0,9
0,8
j=0, 5
2,5
5
7,5
10
Fonction créneau f(x)
1,1
C-3|e-3>+C3|e3>
0,7
0,6
0,5
Σ Cj |ej >
C-j |e-j > + Cj |ej >
-10
-2
x
Termes de la décomposition de Fourier d'un créneau
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1 0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1
-1,1
-3
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-10
C − 3 e − 3 + C 3 e3
-7,5
2
⎛ 6π ⎞
x⎟
=
sin ⎜
3π
⎝ L ⎠
-5
-2,5
-0,1
0
2,5
5
7,5
x
C − 3 e − 3 + C 3 e3
10
2
⎛ 6π ⎞
x⎟
sin ⎜
=
3π
⎝ L ⎠
MATRICES : DEFINITIONS
Matrice :
Soit K un corps commutatif et m et n des entiers strictement positifs.
Une matrice à m lignes et n colonnes à coefficients dans K est une famille
d'éléments de K indexée par l'ensemble [1, m] x [1, n].
L'ensemble des matrices m x n à coefficients dans K est notée
Eléments :
(Coefficients)
Représentation:
Mm,n (K).
Une matrice A de Mm,n (K) est une famille (αij ) où αij sont des scalaires
appartenant à K, nommés "coefficients" ou "éléments" de A.
Tableau rectangulaire avec m lignes et n colonnes, placé entre parenthèses.
L'élément αij se trouve à l'intersection de la ième ligne et de la jème colonne.
A1 ∈ M2,3 ( K )
A2 ∈ M4,3 ( ℜ )
A3 ∈ M4,4 ( C )
2
5i
2+i ⎞
⎛ α11 α12 α13 ⎞ ⎛⎜ 1,23 − 1,18 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 − i
⎜
⎟ ⎜ − π / 2 15,72 3 / 8 ⎟ ⎜ 2 + 3i 2,1 − 6,3i 1 + 2,1i ⎟⎟
⎝α 21 α 22 α 23 ⎠ ⎜
35,0 tg (34°) 2,43 ⎟ ⎜ 4,2 3 + 2i 2 + 3i
3i ⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
3
π
2 ⎠
−i
⎝ 0 cos(π / 5) 12 ⎠ ⎝ − 3i
Vecteur ligne:
Matrice ligne :
l2 ( A2 ) = (− π / 2 15,72 3 / 8)
(1 2 4 3) ⎛
Matrice avec m = 1 ligne (élément de M1,n(K) )
Elément li (A) = (αi1, αi2, ..., αin) de Kn.
Vecteur colonne: Elément ci (A) = (α1j, α2j, ..., αmj) de Kn.
Matrice colonne: Matrice avec n = 1 colonne (élément de Mm,1(K) )
2⎞
⎜
⎟
⎜ 3/8 ⎟
c3 ( A2 ) = ⎜ 3 ⎟
2,4
⎜⎜ 3 ⎟⎟
⎝ 12 ⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ 2⎟
⎜ 4⎟
⎜ ⎟
⎝ 5⎠
MATRICES REMARQUABLES
Matrice ligne :
Matrice avec m = 1 ligne (élément de M1,n(K) )
Matrice colonne:
Matrice avec n = 1 colonne (élément de Mm,1(K) )
A = (1 2 4 3)
⎛1⎞
⎜ ⎟
2
B=⎜ ⎟
⎜ 4⎟
⎜ ⎟
⎝ 5⎠
Matrice nulle Omn: Matrice telle que tous ses éléments sont nuls : ∀i ∈(1, m) ,∀j∈(1, n) αij = 0
Elément neutre pour l'addition dans Mm,n(K).
Matrice carrée :
Matrice pour laquelle le nombre m de lignes égale le nombre n de colonnes.
Elément de Mnn (K).
* Matrice triangulaire supérieure Um : seuls les éléments αij avec i ≤ j sont non nuls
∀i ∈(1, m) ,∀j∈(1, m)
αij = 0 si i > j
* Matrice triangulaire inférieure Lm : seuls les éléments αij avec i ≥ j sont non nuls
∀i ∈(1, m) ,∀j∈(1, m)
αij = 0 si i < j
* Matrice diagonale d'ordre m Diagm : seuls les éléments αij avec i=j sont non nuls
∀i ∈(1, m) ,∀j∈(1, m) αij = 0 si i ≠ j
* Matrice Identité d'ordre m Im : seuls les éléments αij avec i=j sont non nuls et αii=1
∀i ∈(1, m) ,∀j∈(1, m) αij = 0 si i ≠ j, αii = 1
αij = δij
δ = fonction de Kronecker
Elément neutre pour la multiplication dans Mnn (K)
O4,3
⎛0
⎜
0
=⎜
⎜0
⎜
⎝0
0 0⎞
⎛1 7
⎟
⎜
0 0⎟
⎜0 2
U
=
⎜0 0
0 0⎟
⎟
⎜
0 0⎠
⎝0 0
4 2⎞
⎛2
⎟
⎜
6 3⎟
4
L=⎜
⎜8
2 3⎟
⎟
⎜
0 1⎠
⎝1
0 0 0⎞
⎛1 0
⎟
⎜
3 0 0⎟
0 3
Diag 4 = ⎜
⎜0 0
2 6 0⎟
⎟
⎜
0 1 5⎠
⎝0 0
0 0⎞
⎛1 0
⎟
⎜
0 0⎟
0 1
I4 = ⎜
⎜0 0
2 0⎟
⎟
⎜
0 4⎠
⎝0 0
0 0⎞
⎟
0 0⎟
1 0⎟
⎟
0 1⎠
OPERATIONS SUR LES MATRICES
Addition :
Soient A = (αij) et B = (βij) 2 éléments de Mm,n(K) ).
On désigne par A+B la matrice de Mm,n(K) d'éléments (αij + βij).
L'opération (A, B) →A+B s'appelle "l'addition de matrices" dans Mm,n (K).
⎛ α α12 α13 ⎞
⎛ β11 β12
A = ⎜ 11
⎟ B=⎜
⎝α 21 α 22 α 23 ⎠
⎝ β 21 β 22
Propriétés :
Produit par :
un scalaire k
k,
β13 ⎞
⎛ a11 + β11 a12 + β12 a13 + β13 ⎞
⎟ A+ B =⎜
⎟
β 23 ⎠
a
β
a
β
a
β
+
+
+
⎝ 21
21
22
22
23
23 ⎠
A+(B+C) = (A+B)+C
A+B = B+A
A+Omn = A
A+ (-A) =Omn
Associativité
Commutativité
Elément neutre
Opposé
Soit k ∈K et A un élément de Mm,n(K) ).
On désigne par kA la matrice de Mm,n (K) d'éléments ( k*αij ).
L'opération (k, A) →kA s'appelle "le produit de la matrice A par le scalaire k "
dans Mm,n (K).
⎛ α11 α12 α13 ⎞
A=⎜
⎟
α
α
α
⎝ 21
22
23 ⎠
Propriétés :
⎛ kα11 kα12
kA = ⎜
⎝ kα 21 kα 22
k1 (k2 A) = (k1 k2) A
(k1 + k2) A = k1 A + k2 A
k1 (A + B) = k1 A + k1 B
1A=A
kα13 ⎞
⎟
kα 23 ⎠
Bilinéarité
Elément neutre
OPERATIONS SUR LES MATRICES
Multiplication :
de matrices
Soient A = (αik) un élément de Mm,p(K) ) et B = (βkj) un élément de Mp,n (K)
On désigne par A*B la matrice de Mm,n(K) d'éléments ( γij ) :
p
γ ij = ∑α ik β kj
ATTENTION : n°colonnes (A) = n°lignes (B)
k =1
METHODE LI-CO
(LIgne-COlonne)
Propriétés :
A (B C) = (A B) C
Associativité
(A+B) C = AC + BC
A (B+C) = AB + AC
Distributivité par rapport à l'Addition
(si multiplication définie)
A I nk = A
A Im = Im A =A
PAS d'Elément neutre si m≠n
Im élément neutre pour A ∈Mm,m
A-1 A = I
PAS d'inverse sauf si A ∈Mm,m
A B ≠ BA
PAS de commutativité en général
OPERATIONS SUR LES MATRICES
Puissance :
de matrice
Soient A = (αij) un élément de Mm,m(K) )
On désigne par An la matrice de Mm,m(K) telle que
An = A A ... A
An est la puissance nème de A.
2⎞
⎛ 1
A=⎜
⎟
⎝1 − i 3i ⎠
Conjugaison :
complexe
⎛ 3 − 2i 2 + 6i ⎞
A2 = ⎜
⎟
⎝ 4 + 2i − 7 − 2i ⎠
Soient A = (αij) un élément de Mm,n(K) )
~ ):
On désigne par Ā ou A† la matrice de Mm,n(K) d'éléments ( α
ij
2
3i ⎞
⎛1 − 2i
⎜ iϕ
⎟
A=⎜ e
1 + 3i 4 − i ⎟
⎜ e − 2 iϕ
2
2i ⎟⎠
⎝
Transposition :
n fois
2
− 3i ⎞
⎛1 + 2i
⎜
⎟
A+ = ⎜ e − iϕ 1 − 3i 4 + i ⎟
⎜ e 2 iϕ
2
− 2i ⎟⎠
⎝
Soient A = (αij) un élément de Mm,n(K) )
On désigne par tA la matrice de Mn,m(K) d'éléments ( αji ) :
2
3i ⎞
⎛1 − 2i
⎜ iϕ
⎟
A=⎜ e
1 + 3i 4 − i ⎟
⎜ e − 2 iϕ
2
2i ⎟⎠
⎝
⎛1 − 2i eiϕ
e − 2 iϕ ⎞
⎜
⎟
t
A=⎜ 2
1 + 3i
2 ⎟
⎜ 3i
4−i
2i ⎟⎠
⎝
Propriété : Soient A ∈Mm,p (K) et B ∈Mp,n (K). On a :
Hermiticité :
Soit A= (αij) un élément de Mm,m (K).
La matrice A est dite "hermitienne" (ou "hermitique") si :
⎛ 1
e − iϕ 1 + 3i ⎞
⎜
⎟
⎛ 1 2i ⎞
A = ⎜ e iϕ
1
e 2 iϕ ⎟
A=⎜
⎟
⎜1 − 3i e − 2iϕ
⎝ − 2i 3 ⎠
2 ⎟⎠
⎝
t(A
B) = tB tA
~
αij = α
ji
∀i,j
t(A†) = (tA)† = A
EXERCICES D’APPLICATION
Exercice n°1 : Calculer
A=
B
C
⎛ + 2 + 3 − 3 + 6⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ +1 − 5 − 3 −1 ⎠
+
+4 ⎞
⎛ − 2i 1 + 3i
⎜
⎟
= ⎜ + 3 + 5 − 6 ⎟+
⎜ − i 4 + 2i − 7 + i ⎟
⎝
⎠
⎛ 3 1⎞
⎟ ⎛ + 3 − 6⎞
⎜
⎟⎟
2
0
⎟ + ⎜⎜
⎜
=
⎜ 1 0 ⎟ ⎝ + 3 − 3⎠
⎠
⎝
⎛ + 4 + 5 − 2 − 5⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ − 3 − 2 + 4 + 1⎠
⎛ − 4i − 7i + 8 ⎞
⎜
⎟
6⎟
⎜ + 3 − 3i
⎜ + 9i + 2 + 2 ⎟
⎝
⎠
D = (cos(π / 4) cos(π / 6) sin(π / 3) sin(−π / 2)) + (sin(π / 4) cos(11π / 6) sin(−π / 3) − sin(3π / 2))
Exercice n°2 : Calculer AB et BA avec :
A
⎛ 2 − 1⎞
⎜
⎟
=⎜ 1 0 ⎟
⎜− 3 4 ⎟
⎝
⎠
et
B=
⎛ + 1 − 2 − 5⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ + 3 + 4 0⎠
⎛1 2 0 ⎞
⎟⎟
⎝ − 1 4⎠
Exercice n°3 : Soit A = ⎜⎜ 3
A=
⎛ 2 − 1 0⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝1 0 − 3 ⎠
Calculez
et
B
A.tA
et
1⎞
⎛1 − 4 0
⎜
⎟
= ⎜ 2 − 1 3 − 1⎟
⎜4 0 − 2 0 ⎟
⎝
⎠
tA.A.
EXERCICES D’APPLICATION : REPONSES
Exercice n°1 : Calculer
A=
B
C
⎛ + 2 + 3 − 3 + 6⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ +1 − 5 − 3 −1 ⎠
+
+4 ⎞
⎛ − 2i 1 + 3i
⎜
⎟
= ⎜ + 3 + 5 − 6 ⎟+
⎜ − i 4 + 2i − 7 + i ⎟
⎝
⎠
⎛ 3 1⎞
⎟ ⎛ + 3 − 6⎞
⎜
⎟⎟
2
0
⎟ + ⎜⎜
⎜
=
⎜ 1 0 ⎟ ⎝ + 3 − 3⎠
⎠
⎝
⎛ + 6 + 8 − 5 + 1⎞
⎟
− 7 +1
0 ⎟⎠
⎝
⎛ + 4 + 5 − 2 − 5⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ − 3 − 2 + 4 + 1⎠
A = ⎜⎜ − 2
⎛ − 4i − 7i + 8 ⎞
⎜
⎟
6⎟
⎜ + 3 − 3i
⎜ + 9i + 2 + 2 ⎟
⎝
⎠
B
⎛ − 6i + 1 − 4i + 12 ⎞
⎟
⎜
= ⎜ + 6 + 5 − 3i 0 ⎟
⎜ 7i 2(1 + i ) − 5 + i ⎟
⎠
⎝
C = IMPOSSIBLE
D = (cos(π / 4) cos(π / 6) sin(π / 3) sin(−π / 2)) + (sin(π / 4) cos(11π / 6) sin(−π / 3) − sin(3π / 2))
D = (2sin(π / 4) 2cos(π / 6) 0 0)
Exercice n°2 : Calculer AB et BA avec :
⎛ 2 − 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 0 ⎟ et
⎜− 3 4 ⎟
⎝
⎠
⎛ − 1 − 8 − 10 ⎞
⎜
⎟
AB = ⎜ + 1 − 2 − 5 ⎟
⎜ + 9 + 22 + 15 ⎟
⎝
⎠
B=
⎛ + 1 − 2 − 5⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ + 3 + 4 0⎠
⎛ + 15 − 21⎞
⎟⎟
⎝ + 10 − 3 ⎠
BA = ⎜⎜
⎛1 2 0 ⎞
⎟⎟
⎝ − 1 4⎠
Exercice n°3 : Soit A = ⎜⎜ 3
tA
⎛ 1 3 ⎞
= ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟
⎜0 4⎟
⎠
⎝
A=
⎛ 2 − 1 0⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝1 0 − 3 ⎠
et
⎛ +0 −7 −3 +3⎞
⎟
− 4 + 6 + 1⎟⎠
⎝
AB = ⎜⎜ − 11
A.tA
Calculez
⎛ + 5 + 1⎞
⎟⎟
⎝ + 1 26 ⎠
A.tA= ⎜⎜
B
1⎞
⎛1 − 4 0
⎜
⎟
= ⎜ 2 − 1 3 − 1⎟
⎜4 0 − 2 0 ⎟
⎝
⎠
BA : IMPOSSIBLE
et
⎛ + 10
tA.A.
− 1 + 12 ⎞
⎟
+5 −4 ⎟
⎜ + 12 − 4 + 16 ⎟
⎠
⎝
tA.A= ⎜ − 1
⎜
EXERCICE D’APPLICATION
Exercice n°5 :
⎛+ a − a⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ − b + b⎠
⎛ + un
n
M = ⎜⎜ − v n
⎝
On se propose d’étudier la puissance nème de M =
On suppose que
Mn
peut s’écrire sous la forme :
où (a, b)∈ℜ
− un ⎞
⎟
+ v n ⎟⎠
a) Exprimer un+1 en fonction de un, a et b ; puis vn+1 en fonction de vn, a et b.
b) En déduire l’expression de Mn en fonction de n, a et b.
c)Application numérique pour M=
⎛ + 3 − 3⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ + 1 − 1⎠
soit : a = 3, b = -1
et
n = 2, 3, 4 et 5
2
EXERCICE D’APPLICATION : REPONSES
⎛+ a − a⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ − b + b⎠
⎛ + un
n
M = ⎜⎜ − v n
⎝
où (a, b)∈ℜ
On se propose d’étudier la puissance nème de M =
Exercice n°5 :
On suppose que
Mn
peut s’écrire sous la forme :
− un ⎞
⎟
+ v n ⎟⎠
a) Exprimer un+1 en fonction de un, a et b ; puis vn+1 en fonction de vn, a et b.
⎛ + un − un ⎞ ⎛ + a − a⎞
⎛ + (a + b )u n − (a + b )u n ⎞
n+1
n
n+1
n+1
⎜
⎟
M =M M
soit
M = ⎜ − v n + v n ⎟ ⎜⎜ − b + b ⎟⎟
M = ⎜⎜ − (a + b )v n + (a + b )v n ⎟⎟ ≡
⎝
⎠⎝
⎝
⎠
⎠
u n +1 = (a + b ) u n
d'où
v n +1 = (a + b ) v n
et
2
⎛ + u n +1 − u n +1 ⎞
⎜ n +1
⎟
n +1 ⎟
⎜−v
+
v
⎝
⎠
b) En déduire l’expression de Mn en fonction de n, a et b.
u n +1 = (a + b ) u n
On a
avec u = (a + b ) u
n
Par récurrence, on trouve : u
D'autre part,
M1
d'où
et :
=
⎛ + un
⎜ n
⎜−v
⎝
− un ⎞
⎟
+ v n ⎟⎠
⎛ + 6 − 6⎞
⎟⎟
⎝ + 2 − 2⎠
= (a + b )
n −1
⎛ + a − a⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ − b + b⎠
u: n +1 = a (a + b )
n −1
⇒
u1
soit : u
n +1
et par analogie : v
= (a + b ) u n −1
n +1
2
= (a + b )
n −1
v1
⎧u1 = a
⎨ 1
⎩v = b
et
v n +1 = b(a + b )
n −1
n −1
n −1
⎞
⎛
(
)
(
)
a
a
b
a
a
b
+
+
−
+
⎟
Mn = ⎜⎜
n −1
n −1 ⎟
+ b(a + b ) ⎠
⎝ − b(a + b )
⎛+3
⎜⎜
⎝ +1
⎛ + 12
M3 = ⎜⎜
⎝ +4
c)Application numérique pour M=
M2 = ⎜⎜
≡
n +1
n −1
− 3⎞
⎟
− 1 ⎟⎠
− 12 ⎞
⎟
− 4 ⎟⎠
soit : a = 3, b = -1
M4 =
⎛ + 24 − 24 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ + 8 − 8⎠
et
M5 =
n = 2, 3, 4 et 5
⎛ + 48 − 48 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ + 16 − 16 ⎠
EXERCICE D’APPLICATION
Exercice n°6 : On donne les matrices
A=
0 + 2⎞
⎛+ 4
⎜
⎟
⎜ 0 + 4 + 2⎟
⎜ 0
0 + 2 ⎟⎠
⎝
a) Déterminer les réels a et b tels que A = aI3 + bJ
J=
⎛ +1 0 + 2⎞
⎜
⎟
⎜ 0 +1 + 2⎟
⎜ 0 0 −1 ⎟
⎝
⎠
et
⎛ +1 0 0⎞
⎜
⎟
I3 = ⎜ 0 + 1 0 ⎟
⎜ 0 0 + 1⎟
⎝
⎠
b) Calculer J2.
c) Calculer A2, A3 et A4 à partir d'une combinaison linéaire des matrices I et J.
Applications numériques (a=3, b=1)
EXERCICE D’APPLICATION : REPONSES
0 + 2⎞
⎛+ 4
⎜
⎟
Exercice n°6 : On donne les matrices
A = ⎜ 0 + 4 + 2⎟
J=
⎜ 0
⎟
0 + 2⎠
⎝
a) Déterminer les réels a et b tels que A = aI3 + bJ ⎧a + b = 4
⎪ 2b = 2
0 + 2b ⎞
0 + 2⎞
⎛a+b
⎛+ 4
⎪⎪
⎜
⎜
⎟
⎟
⎨a + b = 4
0 a + b + 2b ⎟
⎜
⎜ 0 + 4 + 2⎟
=
⇔
aI3 + bJ = ⎜ 0
⎪ 2b = 2
⎜ 0
0 a − b ⎟⎠
0 + 2 ⎟⎠
⎝
⎝
⎪
⎪⎩a − b = 2
b) Calculer J2.
J2 =
⎛ +1 0 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 +1 0⎟
⎜ 0 0 + 1⎟
⎝
⎠
⎛ +1 0 + 2⎞
⎜
⎟
⎜ 0 +1 + 2⎟
⎜ 0 0 −1 ⎟
⎝
⎠
d'où
et
⎛ +1 0 0⎞
⎜
⎟
I3 = ⎜ 0 + 1 0 ⎟
⎜ 0 0 + 1⎟
⎝
⎠
a =3
et b = 1
≡ I3
c) Calculer A2, A3 et A4 à partir d'une combinaison linéaire des matrices I et J.
Remarques : I commute avec toute autre matrice, donc IJ=JI
A2 = (a2+b2)I + 2abJ,
A3 = a(a2+3b2)I + b(3a2+b2)J,
et J2 = I
A4 = (a4+6a2b2+b4)I + 4ab(a2+b2)J
Applications numériques (a=3, b=1)
A2 = 10I + 6J,
A3 = 36I + 28J,
⎛ + 16
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎝
0 + 56 ⎞
⎛ + 64
⎜
⎟
⎜ 0 + 64 + 56 ⎟
⎜ 0
0 + 8 ⎟⎠
⎝
0
+ 16
0
+ 12 ⎞
⎟
+ 12 ⎟
+ 4 ⎟⎠
A4 = 136I + 120J
0 + 240 ⎞
⎛ + 256
⎜
⎟
0 + 256 + 240 ⎟
⎜
⎜
+ 16 ⎟⎠
0
0
⎝
EXERCICE D’APPLICATION
Exercice n°7 : Soient les matrices A =
⎛a 1 1⎞
⎜
⎟
⎜1 a 1⎟
⎜1 1 a⎟
⎝
⎠
Existe-t'il des couples (a, b) tels que AB = BA = I ?
et
B=
⎛b 1 1⎞
⎜
⎟
⎜ 1 b 1⎟
⎜1 1 b⎟
⎝
⎠
EXERCICE D’APPLICATION : REPONSE
⎛a 1 1⎞
⎜
⎟
⎜1 a 1⎟
⎜1 1 a⎟
⎝
⎠
Exercice n°7 : Soient les matrices A =
et
B=
⎛b 1 1⎞
⎜
⎟
⎜ 1 b 1⎟
⎜1 1 b⎟
⎝
⎠
Existe-t'il des couples (a, b) tels que AB = BA = I ?
AB =
⎛ a 1 1 ⎞ ⎛b 1 1⎞
⎟
⎜
⎟⎜
⎜ 1 a 1 ⎟ ⎜ 1 b 1⎟
⎜ 1 1 a⎟ ⎜1 1 b⎟
⎠
⎝
⎠⎝
⇒ ⎧ab + 2 = 1
⎨
⎩a + b + 1 = 0
Solution :
ou
(A, B) =
(A, B) =
⇔ AB =
⎛ ab + 2 a + b + 1 a + b + 1⎞
⎜
⎟
ab + 2 a + b + 1⎟
⎜ a + b +1
⎜ a + b +1 a + b +1
ab + 2 ⎟⎠
⎝
1
⎧
⇔ ⎪b = −
⎨
a
2
⎪⎩a + a − 1 = 0
⎛ ⎛ −1 + 5
⎜⎜
⎜⎜
2
⎜⎜
⎜⎜ 1
⎜⎜
⎜⎜ 1
⎜⎜
⎝⎝
⎛ ⎛ −1 − 5
⎜⎜
⎜⎜ 2
⎜⎜
⎜⎜ 1
⎜⎜
⎜⎜ 1
⎜⎜
⎝⎝
1
−1 + 5
2
1
1
−1 − 5
2
1
⇔
1
⎧
b
=
−
⎪⎪
a
⎨
⎪a = − 1 ± 5
⎪⎩
2
⎞
⎟
⎟
⎟
1 ⎟,
⎟
−1 + 5 ⎟
2 ⎟⎠
⎛ −1 − 5
⎜
⎜ 2
⎜
⎜ 1
⎜
⎜ 1
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
1 ⎟,
⎟
−1− 5 ⎟
2 ⎟⎠
⎛ −1 + 5
⎜
2
⎜
⎜
⎜ 1
⎜
⎜ 1
⎜
⎝
1
1
1
−1 − 5
2
1
1
−1+ 5
2
1
≡
⎛ +1 0 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 +1 0⎟
⎜ 0 0 + 1⎟
⎝
⎠
⎧
−1 ∓ 5
b=
⎪
⇔ ⎪
2
⎨
⎪a = − 1 ± 5
⎪⎩
2
⎞⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
1 ⎟⎟
⎟⎟
−1− 5 ⎟⎟
2 ⎟⎠ ⎟⎠
1
⎞⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
1 ⎟⎟
⎟⎟
−1+ 5 ⎟⎟
2 ⎟⎠ ⎟⎠
1
OPERATIONS SUR LES MATRICES CARREES
On considère les matrices A = (αik) éléments de Mm,m(K) ).
Déterminant :
α11 α12
⎛ α11 α12 α13 ⎞
⎜
⎟
Det ⎜α 21 α 22 α 23 ⎟ = α 21 α 22
⎜α
⎟
⎝ 31 α 32 α 33 ⎠ α 31 α 32
On désigne par Det(A) le scalaire tel que :
Propriétés:
Det( tA) = Det(A)
Det(AB) = Det(BA) = Det(B) Det(A)
Det (A) est inchangé si :
– on ajoute 2 colonnes de A.
– on ajoute 2 lignes de A.
Det(A) est changé en son opposé si :
– on permute 2 colonnes de A.
– on permute 2 lignes de A.
Det(kA) = k Det(A) pour tout scalaire A.
Det(A) = 0 si
1 colonne/1 ligne est nulle.
2 colonnes/2 lignes sont proportionnelles.
Calcul : Dans M2,2(K)
Det (A) =
Dans M3,3(K)
Det (A) =
Dans Mm,m(K) m>3
m
+α11*α22 –α21*α12
+α11*α22*α33+α12*α23*α31+α13*α21*α32
-α11*α23*α32-α22*α13*α31-α33*α12*α21
Développement du déterminant :
LIGNE
COLONNE
[
Det ( A) = ∑α mk (− 1)
Mineur Min(l,k) :
Cofacteur
α13
α 23
α 33
k =1
m+k
]
m
[
Amk = ∑α km (− 1)
k =1
On appelle "mineur" Alk le déterminant obtenu en supprimant
et
l+k
On appelle "cofacteur de alk" le nombre (-1) Alk .
k +m
Akm
la kème colonne
la lème ligne.
]
EXEMPLE : CALCUL DU DETERMINANT D'UNE MATRICE CARREE M4,4(R)
⎛1
⎜
⎜2
A=⎜
1
⎜
⎜3
⎝
Calculer Det(A) pour
2
0
0
2
4
1
1
1
5⎞
⎟
3⎟
1⎟
⎟
4 ⎟⎠
1) CHOIX DE LA LIGNE/COLONNE DE DEVELOPPEMENT : Celle qui a le plus de 0
2) ISOLER LES MINEURS / LES CALCULER
⎛ α12
⎜
⎜2
⎜1
⎜
⎜3
⎝
⎞
⎟
1 3⎟
1 1⎟
⎟
1 4 ⎟⎠
2 1 3
Min(1,2 ) = 1 1 1 = −1
3 1 4
⎛1
⎜
⎜ α 22
⎜1
⎜
⎜3
⎝
4 5⎞
⎟
⎟
1 1⎟
⎟
1 4 ⎟⎠
⎛1
⎜
⎜2
⎜ α
32
⎜
⎜3
⎝
1 4 5
4 5⎞
⎟
1 3⎟
⎟
⎟
1 4 ⎟⎠
1 4 5
Min(2,2 ) = 1 1 1 = −11
Min(3,2 ) = 2 1 3 = 0
3 1 4
3 1 4
3) CALCULER LES TERMES βlk = αlk * (-1)l+k * Min(l,k)
β12 = 2*(-1)1+2 *(-1) = 2
β32 = 0*(-1)3+2 *0 = 0
β22 = 0*(-1)2+2 *(-11) = 0
β42 = 2*(-1)4+2 *7 = 14
4) SOMMER LES TERMES : Det ( A) =
4
∑ β = 2 + 0 + 0 + 14 = 16
l =1
l2
⎛1
⎜
⎜2
⎜1
⎜
⎜ α
42
⎝
4 5⎞
⎟
1 3⎟
1 1⎟
⎟
⎟
⎠
1 4 5
Min(4,2 ) = 2 1 3 = 7
1 1 1
OPERATIONS SUR LES MATRICES CARREES
On considère les matrices A = (αik) éléments de Mm,m(K) ).
Inverse :
On désigne par A-1 l'élément de Mm,m(K) tel que A
Propriétés:
Calcul :
A-1 existe ssi Det(A) ≠ 0
(AB)-1 = B-1 A-1
t( A-1 ) = ( tA )-1
A-1 = A-1 A = Im
si A-1, B-1 et (AB)-1 existent
si A-1, t(A-1) existent
1) Devinette vérification (marche rarement – très rapide)
2) Pivotage – combinaison linéaire (programmable – rapide)
a) Ecrire A et Im côte-à-côte
b) Combiner linéairement les lignes (colonnes)
de A ET Im sans les permuter, de façon à faire
apparaître progressivement I à la place de A
→Im est alors remplacé par A-1
c) VERIFIER
3) Méthode du déterminant (peu rapide)
a) Calculer Det(A). Vérifier que Det(A)≠0
b) Calculer la matrice des mineurs Aij de Det(A)
c) Calculer la matrice des cofacteurs aij de Det(A)
d) Transposer la matrice des cofacteurs
e) Multiplier la matrice par 1/Det(A)
f) VERIFIER
4) Décomposition LU
INVERSION D'UNE MATRICE CARREE : METHODE DU PIVOT DE GAUSS
•Méthode systématique (Procédé ligne à ligne ou colonne à colonne) (Pivotage partiel )
⇒ Aisément programmable en Informatique
•Peu (pas utilisée) car numériquement instable (diverge si aii = 0)
•Ne permet pas de calculer Det(A)
PRINCIPE :
Soient |B1>, |B2>, ...,|Bl>, ..., |Bn> n vecteurs colonnes d'éléments δlk , l ∈ (1,..., n)
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
B1 = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ 1⎟
B2 = ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Bk = ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎛ a11
⎜
⎜
A = ⎜ a j1
⎜
⎜
⎜a
⎝ n1
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
Bn = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
a1k
a jk
ank
Méthode de Gauss : résolution simultanée des n systèmes :
A |V1> = |B1>, ...,
⎛ a11
⎜
⎜
⎜a
⎜ j1
⎜
⎜a
⎝ n1
a1k
a jk
ank
On a alors
A |Vk > = |Bk>,
a1n ⎞
⎟
⎟
a jn ⎟
⎟
⎟
ann ⎟⎠
⎛ x11 ⎞⎛ x12 ⎞
⎜ 1 ⎟⎜ 2 ⎟
⎜ x2 ⎟⎜ x2 ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟⎜ 2 ⎟
⎝ xn ⎠⎝ xn ⎠
A-1
=
⎛ x1k ⎞
⎜ k⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ k⎟
⎝ xn ⎠
V
...,
A |Vn> = |Bn>
a1n ⎞
⎟
⎟
a jn ⎟
⎟
⎟
ann ⎟⎠
soit A V = I
⎛ x1n ⎞
⎜ n⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ n⎟
⎝ xn ⎠
=
=
[ |V1>, |V2>, ..., |Vk>, ..., |Vn> ]
⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟
⎜ ⎟ ⎜ 0⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ 0⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
Xk
⎛ x1k ⎞
⎜ k⎟
⎜ x2 ⎟
=⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ k⎟
⎝ xn ⎠
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
INVERSION D'UNE MATRICE CARREE : METHODE DU PIVOT DE GAUSS
A : Matrice à inverser
1) Ecrire A et Im côte-à-côte
2) Pour chaque élément diagonal
aii de A
- diviser la ième ligne de A et I par aii
(pivot),
i = 1,m
=> aii remplacé par 1
- modifier simultanement A et I par
combinaison linéaire des
lignes / colonnes
de façon à annuler tous les aji / aij
de A et I
=>I colonne
i / ligne i à zéro, sauf-1 aii=1
3) Quand A est remplacé par
m, Im est alors remplacé par A
Ö Im apparait progressivement à la place de A et A-1 à la place de Im
⎛ 1 5 2 ⎞ ⎛1 4 0 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝10 30 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
a11 = 4 ⇒ l1 → l1 / 4
⎛ 1 5 2⎞ ⎛ 1 4 0⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 5 ⎠ ⎝ − 5 2 1⎠
a12 = 10 ⇒ l2 → l2 − 10l1
⎛ 1 0⎞ ⎛ 3 2 −1 2⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎝ 0 1⎠ ⎝ −1 2 1 5 ⎠
a12 = 5 2 ⇒ l1 → l1 − 5 2 l2
⎛ 4 10 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
⎟⎟
⎟⎟ ⎜⎜
⎜⎜
⎝10 30 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
Départ
B : Matrice Identité I
0⎞
⎛ 1 5 2⎞ ⎛ 1 4
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ − 1 2 1 5⎠
a22 = 5 ⇒ l2 → l2 / 5
⎛ 1 0⎞ ⎛ 3 2 −1 2⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 1⎠ ⎝ −1 2 1 5 ⎠
A: Matrice Identité I
B : Matrice inversée A-1
INVERSION D'UNE MATRICE CARREE : METHODE DU PIVOT DE GAUSS
REALISATION :
On considère simultanément A (matrice à inverser) et B (matrice identité)
Pour chaque ligne i (i = 1, n) :
1) Réduire le pivot aii à 1 en divisant la ième ligne par aii
A : aik/ aii → aik
B : bik/ bii → bik
k = 1, n
ème
2) Annuler les éléments non diagonaux aji (j ≠ i) de la i
colonne en soustrayant
à chaque jème ligne aii fois la ième ligne :
A : ajk – aji * aik → ajk
B : bjk – bji * bik → bjk
k = 1, n
Passer à la ligne suivante.
A la fin, A et B sont remplacées respectivement par I et A-1.
⎛ 1
⎜
⎜ 1
⎜−1
⎝
1
0
0
− 3⎞
⎟
1⎟
1 ⎟⎠
pivot : a11=1
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
1
−1
1
− 3⎞
⎟
4⎟
− 2 ⎟⎠
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
0
⎛ 1
⎜
⎜−1
⎜ 1
⎝
⎛ 1
⎜
⎜ 1
⎜−1
⎝
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
0
1
0
1
0
0
1
0
1⎞
⎟
− 4⎟
2 ⎟⎠
0
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
a1k=a1k/1
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
pivot : a22=-1
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
− 3⎞
⎟
1⎟
1 ⎟⎠
1
0
1
1
1
− 3⎞
⎟
− 4⎟
− 2 ⎟⎠
⎛1
⎜
⎜1
⎜1
⎝
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
0
−1
0
1
−1
1
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
pivot : a33=2
0
1
0
⎛0
⎜
⎜1
⎜0
⎝
1
−1
1 2
0⎞
⎟
0⎟
1 2 ⎟⎠
a2k=a2k/-1
I
1
− 3⎞
⎟
4⎟
− 2 ⎟⎠
⎛ 1
⎜
⎜−1
⎜ 1
⎝
0
1
⎛0
⎜
⎜1
⎜0
⎝
1
0
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
0
1
0
1⎞
⎟
− 4⎟
2 ⎟⎠
−1
1
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
a1k = a1k – a1k*a22, a3k = a3k – a3k*a22
1⎞
⎟
− 4⎟
1 ⎟⎠
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
1
−1
a2k = a2k - a21*a11, a3k = a3k – a3k*a11
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
a2k=a2k/-1
⎛0
⎜
⎜1
⎜0
⎝
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎝
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
⎛0
⎜
⎜1
⎜0
⎝
1 2
1
1 2
− 1 2⎞
⎟
2⎟
1 2 ⎟⎠
a1k = a1k – a1k*a22, a3k = a3k – a3k*a22
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
⎛0
⎜
⎜1
⎜0
⎝
1 2
1
1 2
− 1 2⎞
⎟
2⎟
1 2 ⎟⎠
A-1
EXERCICES D’APPLICATION
Exercice n°8 : Calculer l’inverse des matrices suivantes par la méthode du pivot de Gauss :
A
⎛ 3 1 − 1⎞
⎜
⎟
= ⎜−1 3 1 ⎟
⎜0 2 2⎟
⎝
⎠
B
⎛1 −1 2 ⎞
⎜
⎟
= ⎜2 1 1 ⎟
⎜ 3 0 − 1⎟
⎝
⎠
C
⎛1 / 2 − 1 / 2 − 2 0 ⎞
⎜
⎟
1
2 − 1⎟
⎜ 2
=⎜
−1
−1 −1 1 ⎟
⎜
⎟
⎜ 2
− 1 − 2 1 ⎟⎠
⎝
Exercice n°9 : Soit la matrice M =
2 ⎞
⎛−3 2
⎜
⎟
4 ⎟
⎜− 2 5
⎜ 1 − 5 − 4⎟
⎝
⎠
a) Calculer M2 et M3. En déduire que M3 + 2M2 -M -2I = 0
b) Montrer que M est inversible et calculer son inverse M-1.
« CALCUL DE L'INVERSE D'UNE MATRICE
PAR LA METHODE DU POLYNOME ANNULATEUR »
EXERCICES D’APPLICATION : REPONSES
Exercice n°8 : Calculer l’inverse des matrices suivantes par la méthode du pivot de Gauss :
A
⎛ 3 1 − 1⎞
⎜
⎟
= ⎜−1 3 1 ⎟
⎜0 2 2⎟
⎝
⎠
B
⎛1 −1 2 ⎞
⎜
⎟
= ⎜2 1 1 ⎟
⎜ 3 0 − 1⎟
⎝
⎠
C
⎛1 / 2 − 1 / 2 − 2 0 ⎞
⎜
⎟
1
2 − 1⎟
⎜ 2
=⎜
−1
−1 −1 1 ⎟
⎜
⎟
⎜ 2
− 1 − 2 1 ⎟⎠
⎝
Exercice n°9 : Soit la matrice M =
⎛+ 1
−1
+ 1 ⎞⎟
⎜
4
4
4
A-1 = ⎜ + 18 + 3 8 − 18 ⎟
⎜
⎟
⎜− 1
−3
+5 ⎟
8
8⎠
⎝ 8
2 ⎞
⎛−3 2
⎜
⎟
4 ⎟
⎜− 2 5
⎜ 1 − 5 − 4⎟
⎝
⎠
a) Calculer M2 et M3. En déduire que M3 + 2M2 -M -2I = 0
M2
M3
⎛ + 7 − 6 − 6⎞
⎜
⎟
=⎜ 0 +1 0 ⎟
⎜ + 3 − 3 − 2⎟
⎝
⎠
+
2M2
- M -2I
M3
⎛ − 15 + 14
⎜
= ⎜ −2 +5
⎜ − 5 +1
⎝
⎛ − 15 + 14
⎜
=⎜ − 2 + 5
⎜ − 5 +1
⎝
+ 14 ⎞
⎟
+ 4⎟
+ 2 ⎟⎠
+
+ 14 ⎞
⎟
+ 4⎟
+ 2 ⎟⎠
⎛ + 14 − 12 − 12 ⎞
⎜
⎟
0⎟
⎜ 0 +2
⎜ + 6 − 6 − 4⎟
⎝
⎠
+
1
1 ⎞
⎛+ 1
⎜ 12 + 12 − 4 ⎟
B-1 = ⎜⎜ − 512 + 712 − 1 4 ⎟⎟
⎜+1
+1
−1 ⎟
4
4
4⎠
⎝
1/ 4
0
1/ 4 ⎞
⎛ 0
⎟
⎜
⎜ − 2 − 11 / 4 − 4 5 / 4 ⎟
C =⎜
0
3/ 4
1 −1/ 4⎟
⎟
⎜
⎜− 2 −7/ 4 − 2 5/ 4 ⎟
⎠
⎝
0
0⎞
⎛ + 3 − 2 − 2⎞ ⎛ − 2
⎜
⎟ ⎜
⎟
0⎟
⎜ + 2 − 5 − 4⎟ + ⎜ 0 − 2
⎜ −1 + 5 + 4⎟ ⎜ 0
0 − 2 ⎟⎠
⎝
⎠ ⎝
=
⎛ 0 0 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
b) Montrer que M est inversible et calculer son inverse M-1.
M3 + 2M2 – M - 2I = 0
⇔
On identifie l'expression à :
soit :
M-1
= 1/2
⎛ + 7 − 6 − 6⎞
⎜
⎟
0 ⎟+
⎜ 0 +1
⎜ + 3 − 3 − 2⎟
⎝
⎠
M(M2 + 2M – I) = 2I ⇔ M [ 1/2 (M2 + 2M – I)] = I
M M-1 = I
⎛ − 6 + 4 + 4⎞
⎜
⎟
⎜ − 4 + 10 + 8 ⎟ +
⎜ + 2 − 10 − 8 ⎟
⎝
⎠
avec M-1 = 1/2 (M2 + 2M – I)
⎛ −1 0 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −1 0⎟
⎜ 0 0 − 1⎟
⎝
⎠
⇔
M-1
⎛ 0
−1
− 1 ⎞⎟
⎜
= ⎜ −2
+5
+4 ⎟
⎟
⎜⎜ 5
+
− 13
− 11 ⎟
2
2⎠
⎝ 2
« CALCUL DE L'INVERSE D'UNE MATRICE PAR LA METHODE DU POLYNOME ANNULATEUR »
METHODE DE GAUSS-JORDAN
•Méthode systématique (Procédé ligne à ligne ou/et colonne à colonne) (Pivotage total )
⇒ Programmable en Informatique
•Très utilisé car numériquement stable (en particulier si permutation des lignes et colonnes)
•Ne permet pas de calculer Det(A)
PRINCIPE à peu près similaire au pivot de Gauss (évite la divergence pour aii=0) :
On considère simultanément A (matrice à inverser) et B (matrice identité)
A) Pour chaque colonne i (i = 1, n) à simplifier :
1) Repérer dans toute la matrice le pivot amn maximum (|amn| ≥ |ajk| pour j, k = 1, n
2) Amener le pivot maximal sur la position diagonale aii en :
* permutant la nème colonne et ième colonne de A (nème ligne et ième ligne de B)
* permutant la mème ligne et ième ligne de A (mème colonne et ième colonne de B)
3) Réduire le pivot aii à 1 en divisant la ième ligne par aii :
A : aik/ aii → aik
B : bik/ bii → bik
k = 1, n
ème
2) Annuler les éléments non diagonaux aji (j ≠ i) de la i
colonne en soustrayant
ème
ème
à chaque j
ligne aii fois la i
ligne :
A : ajk – aji * aik → ajk
B : bjk – bji * bik → bjk
k = 1, n
B) Passer à la colonne suivante i. (Progressivement, A et B sont remplacées par I et A-1).
C) A la fin, refaire sur A et B les permutations de lignes et colonnes, dans le sens contraire
où elles ont été faites.
INVERSION D'UNE MATRICE CARREE : METHODE DE GAUSS-JORDAN
A : Matrice à inverser
1) Ecrire A et Im côte-à-côte
⎛ 0 1 1⎞ ⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟⎜
⎟
1
0
1
0
1
0
⎜
⎟⎜
⎟
⎜ 1 1 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠⎝
⎠
Départ
2) On considère un élément diagonal de A : aii (pivot)
On divise la ième ligne par aii => aii remplacé par 1
Modifier simultanement A et I par :
* combinaison linéaire lignes (A)
ET lignes( I )
colonnes (A) ET colonnes ( I )
* permutation des
lignes (A)
ET colonnes (B)
colonnes
(A) remplacé
ET lignes
3) Quand A est remplacé par Im
, Im est alors
par(B)
A-1
Ö Im apparait progressivement à la place de A
⎛ 1 0 1⎞ ⎛ 0 1 0⎞
⎜
⎟⎜
⎟
0
1
1
1
0
0
⎜
⎟⎜
⎟
⎜ 1 1 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠⎝
⎠
l1 ( A) ↔ l2 ( A)
c1 ( B ) ↔ c2 ( B )
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ − 1/ 2 0 1 ⎞
⎟
⎜
⎟⎜
1
1
0
1
/
2
0
0
⎟
⎜
⎟⎜
⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 1/ 2 1 0 ⎟
⎠
⎝
⎠⎝
l2 ( A) ↔ l3 ( A)
c2 ( B ) ↔ c3 ( B )
B : Matrice Identité I
⎛ 2 0 0⎞ ⎛ − 1 1 0⎞
⎜
⎟⎜
⎟
0
1
1
1
0
0
⎜
⎟⎜
⎟
⎜ 1 1 0⎟ ⎜ 1 0 1⎟
⎝
⎠⎝
⎠
l1 ( A) − l2 ( A) + l3 ( A) → l1 ( A)
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ − 1/ 2 1 0 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟
0
1
1
1
/
2
0
0
⎜
⎟⎜
⎟
⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜ 1/ 2 0 1 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠
l1 ( A) / 2 → l1 ( A)
c1 ( B ) / 2 → c1 ( B )
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ − 1/ 2 1/ 2 1 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟
0
1
0
1
/
2
1
/
2
0
−
⎜
⎟⎜
⎟
⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 1/ 2
1 / 2 0 ⎟⎠
⎝
⎠⎝
l2 ( A) − l1 ( A) → l2 ( A)
1/ 2 ⎞
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ − 1/ 2 1/ 2
⎜
⎟⎜
⎟
0
1
0
1
/
2
−
1
/
2
1
/
2
⎜
⎟⎜
⎟
⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 1/ 2
1 / 2 − 1 / 2 ⎟⎠
⎝
⎠⎝
l3 ( A) − l2 ( A) → l3 ( A)
c3 ( B ) − c2 ( B ) → c3 ( B )
c1 ( B ) − c2 ( B ) + c3 ( B ) → c1 ( B )
c2 ( B ) − c1 ( B ) → c2 ( B )
A: Matrice Identité I
B : Matrice inversée A-1
INVERSION D'UNE MATRICE CARREE : METHODE DU DETERMINANT
1) Calculer Det(A) et vérifier que Det(A) ≠ 0
0 1 1
Det ( A) = 1 0 1
1 1 0
Méthode de Sarus :
Det(A) = 0*0*0 + 1*1*1 + 1*1*1 – ( 0*1*1 + 1*0*1 + 1*1*0)
Det(A) = 2
2) Calculer la matrice B des mineurs Alk (A) de Det(A)
0
A11 =
1
1
A21 =
1
1
A31 =
0
1 1
1
1 0
A
=
=
−
1
= −1 12
A13 =
= +1
1 0
0
1 1
1
0 1
0 1
= −1 A22 =
= −1 A23 =
= −1
0
1 0
1 1
1
0 1
0 1
= +1 A32 =
= −1 A33 =
= −1
1
1 1
1 0
3) Calculer la matrice C des cofacteurs (-1)l+k Alk(A)
⎛ − 1(− 1)
− 1(− 1)
⎜
2 +1
2+ 2
C = ⎜ − 1(− 1)
− 1(− 1)
⎜ + 1(− 1)3+1 − 1(− 1)3+ 2
⎝
1+1
1+ 2
+ 1(− 1) ⎞ ⎛ − 1 + 1 + 1⎞
⎟ ⎜
⎟
2+3
− 1(− 1) ⎟ = ⎜ + 1 − 1 + 1⎟
3+ 3
− 1(− 1) ⎟⎠ ⎜⎝ + 1 + 1 − 1⎟⎠
1+ 3
5) Calculer la matrice A-1, produit de D par 1/Det(A)
⎛ − 1 + 1 + 1⎞ ⎛ − 1 / 2 + 1 / 2 + 1 / 2 ⎞
⎟ ⎜
⎟
1⎜
A−1 = ⎜ + 1 − 1 + 1⎟ = ⎜ + 1 / 2 − 1 / 2 + 1 / 2 ⎟
2⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ + 1 + 1 − 1⎠ ⎝ + 1 / 2 + 1 / 2 − 1 / 2 ⎠
⎛ − 1 − 1 + 1⎞
⎜
⎟
B = ⎜ − 1 − 1 − 1⎟
⎜ + 1 − 1 − 1⎟
⎠
⎝
4) Calculer D, transposée de C
⎛ − 1 + 1 + 1⎞
⎟
⎜
D = ⎜ + 1 − 1 + 1⎟
⎜ + 1 + 1 − 1⎟
⎝
⎠
6) VERIFIER
QUE
A A-1 = Im
EXERCICE D’APPLICATION
Exercice n°10 :
Inverser
2 − 1⎞
⎛1 2
⎟
⎜
2
0⎟
⎜2 1
C =⎜
−1 −1 −1 1 ⎟
⎟
⎜
⎜ 3 −1 − 2 1 ⎟
⎠
⎝
par la méthode du déterminant
EXERCICE D’APPLICATION : REPONSE
Exercice n°10 :
INVERSE D'UNE MATRICE 4X4
PAR LA MÉTHODE DU DÉTERMINANT
1) Calcul des Mineurs de C (pour 1 ligne ou 1 colonne seulement)
1
2
0
2
2
−1
Min1,1 (C ) = − 1 − 1 1 = 1
−1 − 2 1
Min2,1 (C ) = − 1 − 1
−1 − 2
2
2
2
Min3,1 (C ) = 1
−1 − 2
1 =1
1
−1
0 =2
1
2 2 −1
Min4,1 (C ) = 1 2 0 = 1
−1 −1 1
2
2 0
Min1, 2 (C ) = − 1 − 1 1 = 10
3 −2 1
1
2
Min2, 2 (C ) = − 1 − 1
3 −2
−1
1 =4
1
2
1
0
1
2
−1
Min1,3 (C ) = − 1 − 1 1 = 4
3 −1 1
Min2,3 (C ) = − 1 − 1
3 −1
1 =4
1
1 2 −1
Min3, 2 (C ) = 2 2
0 =8
3 −2 1
1 2 −1
Min3,3 (C ) = 2 1 0 = 2
3 −1 1
1 2 −1
Min4, 2 (C ) = 2 2 0 = −2
−1 −1 1
1 2 −1
Min4,3 (C ) = 2 1 0 = −2
3 −1 1
2 − 1⎞
⎛1 2
⎜
⎟
2
1
2
0
⎜
⎟
C =⎜
−1 −1 −1 1 ⎟
⎟
⎜
⎜ 3 −1 − 2 1 ⎟
⎝
⎠
2
1
2
1
2
2
1
2
2
Min1, 4 (C ) = − 1 − 1 − 1 = 5
3 −1 − 2
Min2, 4 (C ) = − 1 − 1 − 1 = −1
3 −1 − 2
Min3, 4 (C ) = 2 1
2 = 10
3 −1 − 2
1
2
2
Min4, 4 (C ) = 2 1 2 = −1
−1 −1 −1
2) Matrices des Mineurs Min(C) , des Cofacteurs Cofac(C) et Transposée de Cofac(C)
5⎞
⎛ 1 10 4
⎜
⎟
4 − 1⎟
⎜1 4
Min(C ) = ⎜
2 8
2 10 ⎟
⎜
⎟
⎜ 1 − 2 − 2 − 1⎟
⎝
⎠
−5 ⎞
⎛ 1 − 10 4
⎜
⎟
⎜ −1 4 − 4 −1 ⎟
Cofac (C ) = ⎜
2 −8
2 − 10 ⎟
⎜
⎟
⎜ −1 − 2 2
− 1 ⎟⎠
⎝
2
−1
−1⎞
⎛ 1
⎜
⎟
− 8 − 2⎟
⎜ − 10 4
t
Cofac (C ) = ⎜
4 −4 2
2 ⎟
⎜
⎟
⎜ − 5 − 1 − 10 − 1 ⎟
⎝
⎠
EXERCICE D’APPLICATION : REPONSE (suite)
3) Calcul du déterminant de C
Peut être calculé dès que la 1ère ligne (colonne) de Mineurs est disponible
afin de vérifier si la matrice est inversible.
REMARQUE :
Développement en ligne pour la 4ème ligne, par exemple :
m
[
Det ( A) = ∑ α mk (− 1)
k =1
m+ k
]
Minm,k ( A)
ou
Det ( A) = ∑ α mk [Cofacm ,k ( A)]
m
k =1
α 41 = 3
α 43 = −2
α 44 = 1
α 42 = −1
Cofac4,1 (C ) = −1
Cofac4, 2 (C ) = −2
Cofac4,3 (C ) = 2
Cofac4, 4 (C ) = −1
Det (C ) = (3 * −1) + (− 1* −2) + (− 2 * 2) + (1* −1)
Det (C ) = −6
4) Calcul de C-1
−1
−1 ⎞
2
⎛ 1
⎜
⎟
− 8 − 2⎟
1 ⎜ − 10 4
C −1 = − ⎜
2 ⎟
6 4 −4 2
⎜
⎟
⎜ − 5 − 1 − 10 − 1 ⎟
⎝
⎠
5) Vérification : C*C-1 = I ?
DECOMPOSITION « LU » D’UNE MATRICE CARRE (1)
PRINCIPE : Ecrire la matrice carré A sous forme d’un produit de 2 matrices triangulaires L et U
inférieure (« Lower ») et supérieure (« Upper ») respectivement
A=L.U
soit :
⎛ α 11 α 12 α 13 ⎞
⎛ l11
⎟
⎜
⎜
⎜α 21 α 22 α 23 ⎟ = ⎜ l 21
⎟
⎜α
⎜l
⎝ 31 α 32 α 33 ⎠
⎝ 31
A
0
l 22
l32
L
0⎞
⎟
0 ⎟.
l33 ⎟⎠
⎛ u11 u12
⎜
⎜ 0 u 22
⎜ 0
0
⎝
u13 ⎞
⎟
u 23 ⎟
u 33 ⎟⎠
matrice
3*3 (ex.)
U
REMARQUES :
La décomposition n’est pas unique (c.f. « Procédure ») si lii, uii libres
La décomposition n’est pas toujours possible, même si A est inversible
(élément lij, ou uij nul)
INTERET :
Faciliter et accélérer (algorithmique) les calculs :
N
-
Det (A) = Det (L)*Det (U)
avec
Det(L) = ∏ lii
i =1
-
A-1 = U-1 . L-1
N
Det(U) = ∏ uii
ATTENTION A L’ORDRE DU CALCUL !!!
La plupart des mineurs de L et U sont nuls
⇒ inversion rapide même pour une matrice d’ordre N élevé
i =1
DECOMPOSITION « LU » D’UNE MATRICE CARRE (2)
RÉALISATION :
Exprimer successivement les composantes (aij) de l'équation A = L . U :
aij = li1u1 j + li 2u 2 j +
en commençant par a11 (Algorithme de Crout).
Le nombre de termes dans la somme est fixé par le plus petit des 2 indices, i ou j :
i> j:
i< j:
i= j:
l i1u1 j + l i 2 u 2 j + + l ij u ij = a ij
l i1u1 j + l i 2 u 2 j + + l ii u ij = a ij
l i1u1 j + l i 2 u 2 j + + l ii u jj = a ij
Les N2 équations précédentes font intervenir N(N+1) variables lij et uij.
⇒ Sous-détermination du système d’équations
On choisit de fixer les N variables lii : l ii = 1
i = 1,
,N
Pour chaque colonne j = 1, …, N, on résout ligne i à ligne i :
i −1
u ij = aij − ∑ l ik u kj
1
lij =
u jj
pour i = 1, …, j
k =1
j −1
⎞
⎛
⎜⎜ aij − ∑ lik u kj ⎟⎟
k =1
⎠
⎝
pour i = j+1, j+2,…, j+N
DECOMPOSITION « LU » D’UNE MATRICE CARRE (3)
EXEMPLE :
1) Ecrire la matrice carré A sous forme d’un produit de 2 matrices triangulaires L et U
⎛1 1 1 ⎞
⎟
⎜
A = ⎜1 2 0 ⎟
⎜1 0 1 ⎟
⎠
⎝
a)
On écrit A = L.U sous forme
matricielle en imposant lii = 1
b) On résoud pour la 1ère ligne (i =1) et la 1ère colonne j = 1
1 = a11 = l11u11 + l12u 21 + l13u31
1 = a11 = u11
On remplace u11 par sa valeur dans le produit de matrice
c) On résoud pour la 2ème ligne (i =2) et la 1ère colonne j = 1
1 = a21 = l21u11 + l22 u 21 + l23u31
1 = a21 = l21
On récupère la valeur de u11 calculée à l’étape précédente
On remplace l21 par sa valeur dans le produit de matrice
d) On résoud pour la 3ème ligne (i =2) et la 1ère colonne j = 1
e) Même procédure pour la 2ème colonne PUIS la 3ème colonne
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 1 1⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
A = ⎜1 1 0 ⎟ • ⎜ 0 1 − 1⎟
⎜1 − 1 1⎟ ⎜ 0 0 − 1⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛1 0
⎜
A = ⎜ l21 1
⎜l
⎝ 31 l32
⎛1 0
⎜
A = ⎜ l21 1
⎜l
⎝ 31 l32
⎛1 0
⎜
A=⎜ 1 1
⎜l
⎝ 31 l32
0 ⎞ ⎛ u11 u12
⎟ ⎜
0 ⎟ • ⎜ 0 u22
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0
0
u13 ⎞
⎟
u23 ⎟
u33 ⎟⎠
0 ⎞ ⎛ 1 u12
⎟ ⎜
0 ⎟ • ⎜ 0 u22
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0
u13 ⎞
⎟
u23 ⎟
u33 ⎟⎠
0 ⎞ ⎛ 1 u12
⎟ ⎜
0 ⎟ • ⎜ 0 u22
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0
u13 ⎞
⎟
u23 ⎟
u33 ⎟⎠
DECOMPOSITION « LU » D’UNE MATRICE CARRE (4)
EXEMPLE :
2) Calculer le déterminant de la matrice carré A
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 1 1⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
A = ⎜1 1 0 ⎟ • ⎜ 0 1 − 1⎟
⎜1 − 1 1⎟ ⎜ 0 0 − 1⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
a) On calcule :
1
Det (L ) = 1
On utilise la relation Det(A) = Det(L)*Det(U)
0 0
1 0
1 −1 1
1 1 1
Det (U ) = 0 1 − 1
3
Det (L ) = ∏ lii = 1*1*1 = 1
i =1
3
Det (U ) = ∏ uii = 1*1* −1 = −1
0 0 −1
i =1
grâce à la forme remarquable de L et U, le calcul des déterminants est élémentaire
b) On calcule Det(A) = Det(L)*Det(U) :
Det(A) = 1*-1 = -1
DECOMPOSITION « LU » D’UNE MATRICE CARRE (5)
EXEMPLE :
3) Inverser la matrice carré A
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 1 1⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
A = ⎜1 1 0 ⎟ • ⎜ 0 1 − 1⎟
⎜1 − 1 1⎟ ⎜ 0 0 − 1⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
On utilise la relation A-1 = U-1 . L-1
a) On calcule U-1 et L-1 :
Grâce à la forme remarquable de L et U, le calcul des inverses est facilité :
* Méthode du déterminant : la plupart des mineurs sont nuls.
* Méthode de Crout très performante.
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛ x11 x12 x13 ⎞
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜1 1 0 ⎟ • ⎜ x21 x22 x23 ⎟
⎧1) x11 = 1
⎟
⎜ 0 0 1⎟ ⎜1 − 1 1⎟ ⎜ x
x
x
32
33 ⎠
⎠ ⎝ 31
⎝
⎠ ⎝
⎪
I
=
b) On calcule U-1 .
L
L-1 :
.
L-1
⎪⎪2) x11 + x21 = 0 ⇒ x21 = −1
Résolution des équations ⎨3) x11 − x21 + x31 = 0 ⇒ x31 = −2
⎪...
⎪
⎪⎩9) x33 = 1
⎛ 1 −1 2⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
−1
−1
1 − 1⎟
L = ⎜ −1 1 0⎟ U = ⎜ 0
⎜ 0 0 − 1⎟
⎜ − 2 1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
1 2⎞
⎛− 2
⎜
⎟
−1
A = ⎜ 1 0 − 1⎟
⎜ 2 − 1 − 1⎟
⎝
⎠
APPLICATION DE
L'INVERSION DE MATRICE : RESOLUTION D'UN SYSTEME DE CRAMER
i
Système linéaire :
m équations linéaires avec n inconnues x
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a1 j x j +
⎪a x +a x + a x +
22 2
2j j
⎪ 21 1
⎪
( I )⎨
⎪ ai1 x1 + ai 2 x2 + aij x j +
⎪
⎪
⎩am1 x1 + am 2 x2 + amj x j +
inconnues
(xj)
coefficients
(aij)
+ a1n xn = b1
+ a2 n xn = b2
+ ain xn = bi
+ amn xn = bm
Système linéaire homogène :
Les seconds membres bi sont nuls
⎧ a11 x1 + a12 x2 +
⎪a x +a x +
22 2
⎪ 21 1
⎪
( I ')⎨
⎪ ai1 x1 + ai 2 x2 +
⎪
⎪
⎩am1 x1 + am 2 x2 +
a1 j x j +
a2 j x j +
+ a1n xn = 0
+ a2 n xn = 0
aij x j +
+ ain xn = 0
amj x j +
+ amn xn = 0
second membre
(bi)
Rang d'une application linéaire :
nombre r d'équations linéaires indépendantes
* si r > n :
Il existe une infinité de solutions (x1, x2, ..., xn)
* si r = n :
Il existe une unique solution (x1, x2, ..., xn)
* si r < n :
Il n'existe aucune solution si (b1, b2, ..., br) ≠ (0, 0, ..., 0)
(0, 0, ..., 0) est solution si (b1, b2, ..., br) = (0, 0, ..., 0)
APPLICATION DE L'INVERSION DE MATRICE : RESOLUTION D'UN SYSTEME DE CRAMER
DEFINITION :
Système de Cramer : Système linéaire tel que :
1) nombre n d'inconnues = nombre m d'équations
2) système homogène associé : 1 unique solution
(x'1, x'2, ..., x'm) = (0, 0, ..., 0 )
PROPRIETE :
Un système de Cramer admet 1 solution unique : (x1, x2, ..., xm)
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a1 j x j +
⎪a x + a x + a x +
22 2
2j j
⎪ 21 1
⎪
( I )⎨
⎪ ai1 x1 + ai 2 x2 + aij x j +
⎪
⎪
⎩ an1 x1 + an 2 x2 + anj x j +
+ a1n xn = b1
+ a2 n xn = b2
+ ain xn = bi
+ ann xn = bn
RESOLUTION MATRICIELLE D'UN SYSTEME D'EQUATIONS LINEAIRES :
ECRITURE MATRICIELLE :
Système linéaire :
A |X> = |B>
avec :
A = (aij ) :
|X>= (xi) :
|0>
:
|B>= (bj) :
Système homogène :
A |X> = |0>
Matrice carrée des coefficients des équations
Vecteur colonne de solution
Vecteur nul d'ordre n
Vecteur colonne du second membre
RESOLUTION :
On a
A-1 A |X> = A-1 |B> A-1 A |X> = A-1 |0>
|X> = A-1 |B>
|X> = A-1 |0>
⎛ a11
⎜
⎜
⎜a
⎜ j1
⎜
⎜a
⎝ n1
⎛ a11
⎜
⎜
⎜a
⎜ j1
⎜
⎜a
⎝ n1
a1k
a jk
ank
a1k
a jk
ank
a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a jn ⎟ ⎜ xk ⎟ = ⎜ b j ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ann ⎟⎠ ⎜⎝ xn ⎟⎠ ⎜⎝ bn ⎟⎠
a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a jn ⎟ ⎜ xk ⎟ = ⎜ b j ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ann ⎟⎠ ⎜⎝ xn ⎟⎠ ⎜⎝ bn ⎟⎠
APPLICATION DE L'INVERSION DE MATRICE : RESOLUTION D'UN SYSTEME DE CRAMER
⎧ 3x1 + x2 − x3 = 3
⎪
Objectif : Résoudre le système : ⎨− x1 + 3 x2 + x3 = 1
⎪
2 x2 + 2 x3 = 0
⎩
1) Ecrire le système sous forme matricielle
⎧+ 3 x1
⎪
⎨ − 1 x1
⎪ 0x
1
⎩
+
1 x2
+ 3 x2
+ 2 x2
+
− 1 x3
= 3
+ + 1 x3
+ + 2 x3
= 1
= 0
⎛ 3 1 − 1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
1⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 1 ⎟
⎜ −1 3
⎜ 0 2 2⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟
⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
⎝
soit
A |X> = B
⎛ 3 1 − 1⎞
⎜
⎟
A
=
−
1
3
1
⎜
⎟
avec :
⎜0 2 2⎟
⎝
⎠
⎛ x1 ⎞
⎛ 3⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
X = ⎜ x2 ⎟
B = ⎜ 1⎟
⎜x ⎟
⎜ 0⎟
⎝ 3⎠
⎝ ⎠
2) Calculer l'inverse A-1 de la matrice A (combinaison linéaire, pivot de Gauss, Gauss-Jordan)
⎛ 3 1 − 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −1 3 1 ⎟
⎜0 2 2⎟
⎝
⎠
⎛+ 1
−1
+ 1 ⎞⎟
⎜
4
4
4
−1
⎜
3
1
1
A = +
+
− ⎟
8
8⎟
⎜ 8
3
5
⎜− 1
−
+ ⎟
8
8⎠
⎝ 8
3) Résoudre le système par inversion
A |X> =
|B>
-1
-1
⇔ A A |X> = A |B>
⇔
|X> = A-1 |B>
⎛+ 1
−1
+ 1 ⎞⎟
⎜
4
4
4
⎜+ 1
3
1
+
− ⎟
8
8⎟
⎜ 8
3
5
⎜− 1
−
+ ⎟
8
8⎠
⎝ 8
⎛ 3 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟ = ⎜ x2 ⎟
⎜ 0⎟ ⎜ x ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 3⎠
⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 / 2 ⎞
⎟
⎜ ⎟ ⎜
x
=
3
/
4
⎟
⎜
⎟
⎜
2
soit :
⎜ x ⎟ ⎜ − 3 / 4⎟
⎠
⎝ 3⎠ ⎝
EXERCICE D’APPLICATION
Exercice 11)
⎛1 2 5 ⎞
⎛1 2 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
1) Chercher les décompositions LU de : A = ⎜1 2 0 ⎟ B = ⎜ 2 8 12 ⎟
⎜ 4 16 26 ⎟
⎜1 1 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
2) Calculer l’inverse de B
⎧ 1x1 + 2 x2 + 5 x3 = 3
⎪
3) Résoudre ⎨ 2 x1 + 8 x2 + 12 x3 = 1 à partir d’une décomposition LU.
⎪4 x + 16 x + 26 x = 0
2
3
⎩ 1
( On choisira L telle que lii = 1 (i=1,3)
EXERCICE D’APPLICATION
1)
⎛1 2 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜1 2 0 ⎟
Chercher les décompositions LU de :
⎜1 1 1 ⎟
⎝
⎠
Décomposition LU de A : IMPOSSIBLE
⎛ 1 0 0⎞
⎟
⎜
Décomposition LU de B : L = ⎜ 2 1 0 ⎟
⎜ 4 2 1⎟
⎠
⎝
⎛1 2 5 ⎞
⎟
⎜
B = ⎜ 2 8 12 ⎟
⎜ 4 16 26 ⎟
⎠
⎝
⎛ 1 2 5⎞
⎟
⎜
U = ⎜ 0 4 2⎟
⎜ 0 0 2⎟
⎠
⎝
2) Calculer l’inverse de B :
0 0⎞
⎛ 1
⎟
⎜
L−1 = ⎜ − 2 1 0 ⎟
⎜ 0 − 2 1⎟
⎠
⎝
7 2 −2 ⎞
⎛ 2
⎟
⎜
B −1 = ⎜ − 1 2 3 4 − 1 4 ⎟
⎜ 0
− 1 1 2 ⎟⎠
⎝
⎛ 1 −1 2 − 2 ⎞
⎟
⎜
U −1 = ⎜ 0 1 4 − 1 4 ⎟
⎜0
0
1 2 ⎟⎠
⎝
⎧ 1x1 + 2 x2 + 5 x3 = 3
3) Résoudre le système : ⎪⎨ 2 x1 + 8 x2 + 12 x3 = 1
⎪4 x + 16 x + 26 x = 0
2
3
⎩ 1
7 2 − 2 ⎞ ⎛ 3⎞
⎛ x1 ⎞ ⎛ 2
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
=
−
1
2
3
4
−
1
4
x
⎜ 2⎟ ⎜
⎟ ⎜1⎟
⎜x ⎟ ⎜ 0
− 1 1 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎝ 3⎠ ⎝
⎛ x1 ⎞ ⎛ 19 / 2 ⎞
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 3 / 4 ⎟
⎜ x ⎟ ⎜ −1 ⎟
⎠
⎝ 3⎠ ⎝
CHANGEMENT DE BASE
Rappels :
B = (e1, e2, ..., en) est une base d'un espace vectoriel EV (ℂn) ssi pour tout
n
vecteur V de ℂn il existe un n-uplet unique tel que :
Base :
V = ∑ λi ei
i =1
Isomorphisme :
ℂn →Mn,1 (ℂ)
A tout vecteur V de ℂn, on peut associer la matrice colonne des coordonnées
⎛ x1 ⎞
de V dans B :
⎜ ⎟
n
V = ∑ λi ei
⎜x ⎟
M (V ) = ⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟
⎜x ⎟
⎝ n⎠
Changement de base :
i =1
Soient B = (e1, e2, ..., en) et B' = (e'1, e'2, ..., e'n) 2 bases de EV ("ancienne" et "nouvelle" bases).
Soient plk les coordonnées de ek' dans l'ancienne base B.
On appelle "matrice de passage" de B→B' la matrice P=(plk) soit :
⎛ p11
⎜
⎜
P = ⎜ pl1
⎜
⎜
⎜p
⎝ n1
p1k
plk
pnk
pn1 ⎞
⎟
⎟
pl n ⎟
⎟
⎟
pnn ⎟⎠
n
ek ' = ∑ plk ek
l =1
n
et
ek = ∑ p 'lk e'k
l =1
ATTENTION:
P agit à gauche car les
vecteurs de base = bra
La matrice de passage de B'→B est la matrice P' =(p'lk) inverse de P : P' = P-1
Soit V un vecteur de EV de coordonnées (x1, x2, ...xn) dans B et (x'1, x'2, ..., x'n) dans B'.
On a
|x1, x2, ..., xn> = P |x'1, x'2, ..., x'n>
et
|x'1, x'2, ..., x'n>=P-1 |x1, x2, ..., xn>
MATRICES CARREES INVERSIBLES : CHANGEMENT DE BASE ET DIAGONALISATION
Objectif : Trouver une nouvelle base B' = (e'1, e'2, ..., e'n) dans laquelle une matrice A
de forme quelconque dans la base B = (e1, e2, ..., en) devienne alors diagonale :
⎛ a11
⎜
⎜
A = ⎜ a j1
⎜
⎜
⎜a
⎝ n1
a1k
a jk
ank
B = (e1 , e2 ,
a1n ⎞
⎟
⎟
a jn ⎟
⎟
⎟
ann ⎟⎠
⎛ a11
⎜
⎜
A=⎜ 0
⎜
⎜
⎜ 0
⎝
0 ⎞
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
ann ⎟⎠
0
a jk
0
B ' = (e'1 , e'2 ,
, en )
, e'n )
Définitions :
Soit A une matrice carrée d'ordre n. S'il existe 2 matrices carrés P et D telles que :
1) P est inversible
2) D est diagonale
3) A = P D P-1
⎛ a11
⎜
⎜
⎜a
⎜ j1
⎜
⎜a
⎝ n1
a1k
a jk
ank
A =
a1n ⎞
⎛ p11
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
a jn
⎟ = ⎜ p j1
⎟
⎜
⎟
⎜p
ann ⎠
⎝ n1
alors A est diagonalisable.
p1k
p jk
pnk
P
p1n ⎞
⎟
⎟
p jn ⎟
⎟
⎟
pnn ⎟⎠
⎛ d11
⎜
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
⎜ 0
⎝
0 ⎞
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
d nn ⎟⎠
0
d jk
0
D
⎛ p'11
⎜
⎜
⎜ p'
⎜ l1
⎜
⎜ p'
⎝ n1
p'n1 ⎞
⎟
⎟
p'l n ⎟
⎟
⎟
p'nn ⎟⎠
p'1k
p'lk
p'nk
P-1
MATRICES CARREES INVERSIBLES : DIAGONALISATION
Soit D une matrice diagonale.
Les scalaires d11, d22, ..., dnn sont les "valeurs propres" de A.
Ce sont les racines du polynôme caractéristique :
P(λ) ≡ Det(A – λ I) = 0 soit, ∀λ ∈ ℂ : P(λ) = (λ –d11)(λ-d22)...(λ-dnn) = 0
Multiplicité M de la valeur propre = multiplicité de la racine du polynôme.
M = 1 : « non dégénérée »
M = k >1 : « k-fois dégénérée »
* Si aucune valeur propre λj dégénérée :
⇒ A peut être écrite de façon unique sous forme diagonale
(à une multiplication près de tous les λj par une même constante).
* Si 1 valeur propre λj dégénérée avec 1 multiplicité Mj :
⇒ A peut être écrite sous forme bloc-diagonale.
Bloc Mj*Mj = sous-espace vectoriel (SEV) propre associé à λj.
et ∃choix infini de vecteurs de base Vj du SEV associés à λj
1er vecteur propre : choix libre d’une/plusieurs coordonnées
vecteurs propres suivants : doivent être orthogonaux aux précédents
Remarque : Les vecteurs propres sont toujours orthogonaux 2 à 2.
DIAGONALISATION DE MATRICE : EXEMPLE
(1)
⎛1 2 ⎞
⎟⎟
EXEMPLE : DIAGONALISATION DE A = ⎜⎜
⎝1 1 ⎠
1) Déterminer les valeurs propres λ1 et λ2 :
1− λ
2
On calcule Det ( A − λ I ) =
1 1− λ
valeurs propres :
Det ( A − λ I ) = (1 − λ ) − 2
2
(
( )
= (1 + 2 )
λ1 = 1 − 2
λ2
)(
Det ( A − λ I ) = 1 − 2 − λ 1 + 2 − λ
et
)
⎛1 − 2
0 ⎞
⎟
D = ⎜⎜
⎟
0
1
+
2
⎝
⎠
2) Déterminer les vecteurs propres Vj associés :
⎛ 2
2 ⎞⎛ x1 ⎞
⎛ x1 ⎞
⎛1 − λ1
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 0 ⇔ ⎜⎜
V1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ ⎜⎜
1 1 − λ1 ⎠⎝ x2 ⎠
⎝ x2 ⎠
⎝
⎝ 1
2 ⎞⎛ x1 ⎞
⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 0
2 ⎟⎠⎝ x2 ⎠
⎛ −1 ⎞
⎛ 1
⎟⎟ V2 = ⎜⎜
d ' où V1 = ⎜⎜
⎝ 2 2⎠
⎝ 2
3) Déterminer les matrices de passage P et P-1 telles que P D P-1 = A:
(( )( ))
P = V1 V2
soit
⎛ −1
P = ⎜⎜
⎝ 2 2
1
2
⎞
⎟⎟
2⎠
Inversion
⎛ −1 2
P = ⎜⎜
⎝12
−1
2 2⎞
⎟
2 2 ⎟⎠
⎞
⎟
2 ⎟⎠
DIAGONALISATION DE MATRICE : EXEMPLE
(2)
INTERPRETATION GEOMETRIQUE
A : Transformation de E dans E, K-linéaire et bijective (Isomorphisme)
A associe à tout vecteur ( W ) de E un vecteur image ( W ' )
Base
{e1 , e2 }
Base
{V ,V }
1
2
⎛
⎛ 1⎞
⎛ 0⎞
e1 = ⎜⎜ ⎟⎟ e2 = ⎜⎜ ⎟⎟ V1 = ⎜⎜
⎝
⎝ 0⎠
⎝1⎠
⎛
⎛ −1 2⎞
⎟⎟ = P −1.V1 e2 = ⎜⎜
e1 = ⎜⎜
⎝ 1 2⎠
⎝
−1 ⎞
⎟ = P. e1
2 2 ⎟⎠
2 2⎞
⎟ = P −1.V2
2 2 ⎟⎠
⎛ 1
V2 = ⎜⎜
⎝ 2
⎛1⎞
V1 = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 0⎠
⎞
⎟ = P.e2
2 ⎟⎠
⎛ 0⎞
V2 = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 1⎠
Conservation des normes ⇒ Isométrie
Conservation des angles ⇒ Similitude
A
A-1
Base
{e1 , e2 }
Base
{V ,V }
1
2
⎛1 − 2
0 ⎞
⎛1 2 ⎞
⎜
⎟
⎟⎟ A = ⎜
A = ⎜⎜
⎟
1
1
0
1
+
2
⎝
⎠
⎝
⎠
DIAGONALISATION DE MATRICE : EXEMPLE
(3)
SIMILITUDE DE RAPPORT λ : bijection de E sur E multipliant
les longueurs par λ .
conservation des angles ⇒ | λ1 | = | λ2 | = ... = λ
Ex: plan Euclidien P
(λ ≥0)
⎛λ 0⎞
⎟⎟
S1 (λ ) = ⎜⎜
0
λ
⎝
⎠
⎛λ 0 ⎞
⎟⎟
S 2 (λ ) = ⎜⎜
⎝0 −λ⎠
soit
λi = ± λ
⎛− λ
S3 (λ ) = ⎜⎜
⎝ 0
0 ⎞
⎟⎟
−λ⎠
e2
e1
⎛ 2 0⎞
⎟⎟
S1 (2 ) = ⎜⎜
⎝ 0 2⎠
⎛2 0 ⎞
⎟⎟
S 2 (2 ) = ⎜⎜
⎝ 0 − 2⎠
⎛− 2 0 ⎞
⎟⎟
S3 (2 ) = ⎜⎜
⎝ 0 − 2⎠
SIMILITUDE DE RAPPORT λ : Det [S (λ )] = ± λm (m dimensions)
EXEMPLE : DIAGONALISATION D’UNE MATRICE 3*3 INVERSIBLE
(1)
⎛ 4 5 − 5⎞
⎜
⎟
1) Diagonaliser la matrice A = ⎜ 8 7 − 4 ⎟
⎜ − 2 8 − 5⎟
⎝
⎠
2) Déterminer les vecteurs propres associés aux valeurs propres λi, i=1,3
Calculer les matrices de passage P et P-1 telles que A = P D P-1
avec D, forme diagonalisée de A.
4−λ
5
7−λ
1) Calcul de Det ( A − λI ) = 8
−2
8
−5
−4
−5−λ
Det ( A − λI ) = (4 − λ )(7 − λ )(− 5 − λ ) − 320 + 40
− [10(7 − λ ) − 32(4 − λ ) + 40(−5 − λ )]
Det ( A − λI ) = −λ3 + 6λ2 + 45λ − 162
EXEMPLE : DIAGONALISATION D’UNE MATRICE 3*3 INVERSIBLE (2)
Recherche des racines du polynôme caractéristique P(λ) = Det(A-λI)
Det ( A − λI ) = −λ3 + 6λ2 + 45λ − 162 = P(λ )
⇒ Etude de la fonction P(λ) : P' (λ ) = −3λ2 + 12λ + 45
∆ = 144 − 4(−3 * 45) = 684
⇒ Recherche des racines λrac1 et λrac2
λrac1/ 2
− 12 ± 684
=
−6
λrac1 = +6,359
d’où
λrac 2 = −2,358
λ
−∞
λ1
λrac1
λ2
λrac2
λ3
+∞
P’(λ)
−∞
−
0
+
0
−
−∞
+∞
+109,637
P (λ)
0
0
-221,637
0
+∞
EXEMPLE : DIAGONALISATION D’UNE MATRICE 3*3 INVERSIBLE (3)
Recherche des valeurs propres λ i
Det(A-λ I)
200
150
100
λ 1 = -6
λ 2 = +3
50
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
1
2
3
4
5
6
7
8
9
λ 3 = +9
10
λ
EXEMPLE : DIAGONALISATION D’UNE MATRICE 3*3 INVERSIBLE (4)
Recherche par dichotomie des racines de P(λ ) = −λ3 + 6λ2 + 45λ − 162
λ1 = −6,0
λ2 = +3,0
λ3 = +9,0
(Précision : 10-1)
0
0 ⎞
⎛ − 6,0
⎜
⎟
+ 3,0
0 ⎟
⇒ Diagonalisation de A : D = ⎜ 0
⎜ 0
⎟
0
+
9
,
0
⎝
⎠
2) Recherche des vecteurs propres vi associés aux λi
v1 associé à λ1 :
on a A . v1 = λ1 v1
soit ( A − λ1 I ). v1 = 0
5
− 5 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛ 4 − (− 6)
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
7 − (− 6)
− 4 ⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜ 8
⎜ −2
8
− 5 − (− 6)⎟⎠⎜⎝ x3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎝
vecteur propre
Résolution : Inversion de matrice ...
⎧10 x1 + 5 x2 − 5 x3 = 0
⎪
⎨8 x1 + 13 x2 − 4 x3 = 0
⎪ − 2 x + 8x + x = 0
1
2
3
⎩
EXEMPLE : DIAGONALISATION D’UNE MATRICE 3*3 INVERSIBLE (5)
⎧10 x1 + 5 x2 − 5 x3 = 0
⎪
on trouve ⎨8 x1 + 13 x2 − 4 x3 = 0
⎪ − 2 x + 8x + x = 0
1
2
3
⎩
v2 associé à λ2 ,
⎧ 1x1 + 5 x2 − 5 x3 = 0
⎪
⎨ 8 x1 + 4 x2 − 4 x3 = 0
⎪− 2 x + 8 x − 8 x = 0
1
2
3
⎩
⎧ x1 = 1
⎪
⎨ x2 = 0
⎪x = 2
⎩ 3
v3
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
v2 = ⎜ 1 ⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
associé à λ3
⎧ − 5 x1 + 5 x2 − 5 x3 = 0
⎪
⎨ 8 x1 − 2 x2 − 4 x3 = 0
⎪− 2 x + 8 x − 14 x = 0
1
2
3
⎩
d’où les matrices de changement de base P et P-1 tq.
P = ((v1 )
⎛⎛1⎞
⎜⎜ ⎟
P = ⎜⎜ 0⎟
⎜ ⎜ 2⎟
⎝⎝ ⎠
(v2 ) (v3 ))
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎛ 1⎞⎞
⎜ ⎟⎟
⎜ 2⎟⎟
⎜ 1⎟⎟
⎝ ⎠⎠
Inversion
⎛1⎞
⎜ ⎟
soit v1 = ⎜ 0 ⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
v3 = ⎜ 2 ⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
A = P D P-1
⎛ 1 3 −1 3 1 3 ⎞
⎜
⎟
−1
23⎟
P = ⎜− 4 3 1 3
⎜ 23
1 3 − 1 3 ⎟⎠
⎝
DIAGONALISATION D’UNE MATRICE 3*3
APPLICATION :
Propriétés anisotrope des cristaux et des roches
- propagation des ondes
tenseur des indices (cristaux)
ondes acoustiques /phonons
- déformation
- compressibilité
- ...
et Statistiques ... !

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