Semaine 5 : Déterminants PC

Semaine 5 : Déterminants

a
b
1 On considère la matrice : A =
c
d
Calculer A.t A . En déduire det  A .
b
–a
d
–c
∣
1
2

2 On considère le déterminant : D n =



PC
c
–d
–a
b
–2
2
6

0

d
c
–b
–a

–2
3











0



nn – 1
∣




–2
n
1. Démontrer que pour tout n 3, D n=nD n – 1 2n n – 1 D n – 2
2. On pose u n=
Dn
. Déterminer l'expression de u n en fonction de n . En déduire celle de D n
n!
3 C est une matrice carrée à coefficients dans ℝ telle que :
∀ X ∈ M n ℝ , det C X =det  X 
2
1. Montrer que ∀  P , Q∈ GL n ℝ , det  PCQ I n =1
2. En déduire que C=0 .
Pour la question 2, on utilisera le fait que toute matrice de rang r est équivalente à la matrice J r dont
tous les coefficients sont nuls sauf les r premiers coefficients diagonaux qui sont égaux à 1.
 
a b
4 Soit a , b , c ∈ ℝ tel que a b c =1 . On note A = b c
c a
c
a ∈ M 3 ℝ .
b
1
2
1. Calculer det  A . En posant s=∣abc∣ , prouver que ∣det  A∣= s 3−s 
2
2. Montrer que ∣det  A∣1
3
2
2
2
5 Pour x ∈ ℝ , on note D 0  x=1 et pour tout n ∈ ℕ* :
∣
cosx
1
Dn  x  = 0

0
∣
1
0
 0
2 cosx 1
 0
montrer que D n  x =cosnx
1
2 cosx  


 1
0

1 2 cosx
2
6 Soient n ∈ ℕ impair et A ∈ M n ℝ telle que A =A – I n
Démontrer que : det A=– 1 .
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Semaine 5 : Déterminants
 
1
7 Montrer que la matrice A= 3
2
2
1
3
3
2
1

5
8 Calculer l'inverse de la matrice A= 2
1
∣
2
0
9 Calculer le déterminant D=
0
3
0
3
–1
0
PC
est inversible et préciser son inverse.
1
4
–1
2
1
5
–1
–3
–2
3

∈ M 3 ℝ
∣
4
0
de deux manières différentes.
0
3
10 Calculer le déterminant de A =[ ∣i – j∣]1i , jn
∣


11 Calculer le déterminant

a1
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
0




0

an



∣
( les a i sur la diagonale )
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Semaine 5 : Déterminants
PC
Indications et réponses :
A t A =a 2b2c 2d 2 I 4 et on en déduit que : det A 2=a 2b2c 2 d2 4 .
det A=ou – a 2b2c 2d 2 2
Le terme en a 4 est obtenu en faisant le produit des coefficients diagonaux de A : il est affecté du signe
– donc det A=– a 2b2c 2d 22 .
1
2 Pour tout n 3, la relation D n =nD n – 1 2 nn – 1 D n – 2 s'obtient en développant le déterminant
suivant la dernière ligne et ensuite le mineur d'ordre n – 1 par rapport à la dernière colonne.
Dn
, l'égalité de vient un =un – 12 un – 2 1 .
n!
L'ensemble des suites vérifiant la relation 1 est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de ℝℕ .
La technique classique de recherche d'une base permet préciser que les suites solutions de 1
n
n
s'écrivent : u n= – 1  2 où ; ∈ ℝ2
1
1
2 n
n
Or u1=D 1 et u2= D 2 permet de trouver  et  donc : un = – 1  2 ∀ n3
2
3
3
n!
n
n 1
Il s'en suit que : D n = – 1 2  .
3
En posant un =
–1
–1
3 1. detPCQI n =detP det C P Q detQ  (*) or detC P – 1 Q –1 =detP –1 Q – 1 
–1
–1
En remplaçant dans * , il vient que detPCQI n =det P det P Q detQ =I n
2. C de rang r équivalente à J r donc il existe deux matrices carrées inversibles P te Q d'ordre n
telles que : PCQ=J r . On a donc detJ rI n =1 ⇔ 2r =1 ⇔ r=0 . C est donc de rang 0 : c'est la
matrice nulle.
4 Faire des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.
C 1 reçoit C 1C 2C 3 ; on factorise abc .
L 2 reçoit L 2 – L1 et L 3 , L 3 – L1 (faire apparaître des "0" sur la première colonne)
...
On parvient à det A=abc abacbc – a 2 – b2 – c 2 
1
1
2
2
2
2
2
Soit en notant s=∣abc∣ , ∣det A∣=∣abc∣× ∣3 a b c  – abc  ∣= s3 – s 
2
2
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs a , b , c  et 1,1,1
2
2
2
2
2
2
2
2
s =∣abc ∣=u.v ∥u∥ ∥v∥ =3a b c =3 donc s ∈ [0 :  3 ] .
1
s 3 – s2  sur l'intervalle [0 :  3 ] et on obtient le résultat : ∣det A∣1 .
on étudie f : s
2
∣
cosx
5
1
Dn  x  = 0

0
∣
1
0
 0
2 cosx 1
 0
. En développant par rapport à la dernière colonne, il
1
2 cosx  


 1
0

1 2 cosx
vient : D n =2cosxD n – 1 – D n –2 . Avec D 1=cosx , D 2=cos2 x et la relation de récurrence, on montre que
par récurrence double que D n =cosnx .
En effet : 2 cosxcosn – 1 x=cosnx cos n – 2x et donc cosnx=2 cosxcosn – 1 x – cosn – 2 x
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Semaine 5 : Déterminants
PC
3
2
3
6 Puisque A et I n commutent, A I n = AI n A – A I n =0 donc A =– I n
det A 3=det A 3=det– I n =– 1n =– 1 et det A=– 1 .


7 A =
−5
1
1
18
7
7
−5
1
8 A =
5
1
–4
30
–3
0
9
3
−1
−1
1
7
−5
5
2
9


9 1. Développer par rapport à la première colonne :
∣
∣∣
∣
3
1
0
0
2 4
D=2 – 1
5
0 −3 3
1 0 =2×3×16 – 3×4×16=– 96 ( développer suivant les 3èmes
0
–1 3
–1 5 0
colonnes des deux déterminants d'ordre 3 )
2. Échanger C 2 et C 4 puis une permutation circulaire sur les lignes L 2 , L 3 et L 4 permet d'obtenir
un déterminant triangulaire par blocs...
∣
2
3
D=−
0
0
4
3
0
0
2
–1
1
5
∣
0
0
2
=−
3
3
–1
∣ ∣∣
∣
4 1
×
3 5
3
==– 96
–1
10 det A=– 1n – 1 2 n –2 n – 1
• Ajouter C n à la première colonne ;
• Factoriser n – 1 et noter A ' le déterminant obtenu ( det A=n – 1det A '  ) ;
det A ' =detL1 , L2 – L1 , ... , Ln – L1  ;
•
•
11
En développant suivant la première colonne, puis en ajoutant la première ligne à chacune des
autres, det A '  est égal à un déterminant d'ordre n – 1 triangulaire supérieur.
∣

D= 

a1
 
0 
 0
 
∣
an

( les a i sur la diagonale )


Il faut faire des échanges de colonnes.
n
D=
n
n
n−1
a k si n est pair et D=
∏
∏ a si n est impair
2 k =1
2 k=1 k
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