Calculs de déterminants par blocs

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Calculs de déterminants par blocs
Exercice 1 [ 03129 ] [correction]
Soient A, B, C, D ∈ Mn (K). On suppose que D est inversible et que C et D
commutent. Etablir
A B
det
= det(AD − BC)
C D
Exercice 2 [ 03130 ] [correction]
Soient A, B, C, D ∈ Mn (K) avec D inversible. Etablir
A B
det
= det(AD − BD−1 CD)
C D
Exercice 3 [ 02694 ] [correction]
Soient A, B, C, D ∈ Mn (K) avec AC = CA. Montrer que
A C
det
= det(DA − BC)
B D
Exercice 4 [ 02387 ] [correction]
a) Soient A, B ∈ Mn (R). Montrer que
A
det
−B
B
A
>0
b) Soient A, B ∈ Mn (R) telles que AB = BA. Montrer que det(A2 + B 2 ) > 0.
c) Trouver un contre-exemple à b) si A et B ne commutent pas.
d) Soient A, B, C, D ∈ Mn (R) telles que AC = CA. Montrer que
A B
det
= det(AD − CB)
C D
Exercice 5 [ 01424 ] [correction]
Soient A, B ∈ Mn (R).
a) Montrer
A B B A = det(A + B) det(A − B)
b) Justifier
A
B
−B >0
A Enoncés
1
Exercice 6 [ 00198 ] [correction]
Soient B ∈ Mn (R) et
A=
In
B
B
In
∈ M2n (R)
a) A quelle condition la matrice A est-elle inversible ?
b) Donner son inverse quand cela est possible.
Exercice 7 [ 00713 ] [correction]
On considère une matrice M ∈ Mn (K) inversible écrite sous la forme
A B
M=
C D
avec A ∈ Mp (K) et D ∈ Mn−p (K).
On écrit la comatrice de M sous une forme analogue
0
A B0
comM =
C 0 D0
avec A0 ∈ Mp (K) et D0 ∈ Mn−p (K).
Vérifier
det A0 = det(M )p−1 det D
Exercice 8 [ 03147 ] [correction]
Soient A, B, C, D ∈ Mn (R).
a) On suppose C t D symétrique et D inversible. Montrer que
A B
det
= det At D − B t C
C D
b) On suppose toujours C t D symétrique mais on ne suppose plus D inversible.
Montrer que l’égalité précédente reste vraie.
Exercice 9 [ 03288 ] [correction]
Soient A, B, C, D des matrices carrées d’ordre n, réelles et commutant deux à
deux. Montrer que la matrice
A B
M=
C D
est inversible si, et seulement si, AD − BC l’est.
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Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
On a
A B
D
C D
−C
Pour p assez grand, la matrice Ap = A + p1 I est inversible et commute avec C donc
det
On
In
=
AD − BC
On
B
D
=
A − BD−1 C
On
B
D
Exercice 3 : [énoncé]
Supposons pour commencer la matrice A inversible.
Par opérations par blocs :
A C
I −A−1 C
A
0
=
B D
0
I
B D − BA−1 C
= det(DAp − BC)
puis par opérations sur les lignes
A B
A
n
det
= (−1) det
−B A
A − iB
iB
−A + iB
et par opérations sur les colonnes
A B
A + iB
= (−1)n det
det
−B A
0
iB
−A + iB
On en déduit
det
A
−B
B
A
A
−B
et enfin
det
C = det(D − BA−1 C) det A = det(DA − BA−1 CA)
D Or les matrices A et C commutent donc A−1 et C commutent aussi et
A C B D = det(DA − BC)
Supposons A non inversible.
Exercice 4 : [énoncé]
a) En multipliant les n dernières lignes par i et les n dernières colonnes aussi :
A B
A
iB
det
= (−1)n det
−B A
−iB −A
et en passant au déterminant, on obtient
A B
det
= det(A − BD−1 C) det D = det(AD − BD−1 CD)
C D
On en déduit
A
B
C
D
En passant à la limite quand p → +∞, la continuité du déterminant donne
A C
det
= det(DA − BC)
B D
On peut alors conclure sachant det D 6= 0.
On
In
Ap
B
et en passant au déterminant, on obtient
A B
det
det D = det(AD − BC) det D
C D
Exercice 2 : [énoncé]
On a
A B
In
C D
−D−1 C
2
= (−1)n det(A + iB) det(−A + iB)
B
A
= det(A + iB) det(A − iB)
2
Les matrices A et B étant réelles, cette écriture est de la forme z z¯ = |z| > 0.
b) det(A + iB) det(A − iB) = det(A2 + B 2 ) car A et B commutent donc
2
det(A2 +
0.
B ) >
1 2
1 0
c) A =
et B =
par exemple.
0 1
2 1
d) Si A est inversible, on remarque
I
O
A B
A
B
=
−CA−1 I
C D
0 −CA−1 B + D
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donc det
A
C
B
D
Corrections
= det(A) det(−CA−1 B + D) = det(AD − CB) car A et C
commutent.
On étend cette égalité auxmatricesnon inversibles par densité :
A B
Les applications A 7→ det
et A 7→ det(AD − CB) sont continues et
C D
coïncident sur l’ensemble des matrices inversibles commutant avec C. Or cet
ensemble est dense dans l’ensemble des matrices commutant avec C : si A
commute avec C alors pour tout λ > 0 assez petit A + λIn est inversible et
commute avec C). Par coïncidence d’applications continues sur une partie dense,
les deux applications sont égales.
3
Puisque
In
B
B
In
M
N
N
M
=
M + BN
BM + N
N + BM
BN + M
(
M = In − B 2
et puisque
(
M + BN = In
⇔
BM + N = On
on obtient
A
−1
=
−1
N = −B In − B 2
(In − B 2 )−1
−B(In − B 2 )−1
−1
−B(In − B 2 )−1
(In − B 2 )−1
On aurait pu aussi inverser l’équation AX = Y
Exercice 5 : [énoncé]
a) Par opération sur les colonnes puis sur les lignes
A B A+B B A+B
=
B A A+B A =
0
b) De façon analogue
A −B A − iB
B A = B + iA
B
A−B Exercice 7 : [énoncé]
On introduit
N=
On a
−B A − iB
=
0
A −B 2
= |A + iB| > 0
A + iB MN =
Or
t
M (comM ) =
Exercice 6 : [énoncé]
a) Par les opérations Ln+1 ← Ln+1 + L1 , . . . , L2n = L2n + Ln ,
In
B
det A = B + In In + B Par les opérations C1 ← C1 − Cn+1 , . . . , Cn ← Cn − C2n ,
I −B
B
= det(In − B) det(In + B)
det A = n
On
In + B Ainsi A est inversible si, et seulement si, In − B et In + B le sont (i.e.
1, −1 ∈
/ SpB).
On aurait aussi pu étudier le noyau de A.
b) On peut présumer que l’inverse de A est alors de la forme
M N
N M
A0
t 0
B
t
At A0 + B t B 0
C t A0 + D t B 0
At A0 + B t B 0
C t A0 + D t B 0
donc
MN =
Op,n−p
In−p
B
D
At C 0 + B t D 0
C t C 0 + Dt D0
det(M )Ip
On−p,p
B
D
= (det M )n Ip
En passant cette relation au déterminant, on obtient
det M × det t A0 = det(M )p det D
puis facilement la relation proposée sachant det M 6= 0.
Exercice 8 : [énoncé]
a) Cas D inversible
Sachant C t D = Dt C, on a
t
A B
D
C D
−t C
On
In
=
At D − B t C
On
B
D
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Corrections
et en passant au déterminant on obtient la relation
t
A B
det
det D = det At D − B t C det D
C D
t
puis la relation voulue sachant det D = det D 6= 0
b) Cas D non inversible
Posons r = rgC. On peut écrire C = P Jr Q avec P, Q inversibles et Jr la matrice
(symétrique) dont tous les coefficients sont nuls sauf les r premiers de la diagonale
qui sont égaux à 1. Considérons alors D0 = D + λP t Q−1 pour λ ∈ R.
On peut écrire
t
D0 = P P −1 Dt Q + λIn Q−1
Si −λ n’est pas valeur propre de P −1 Dt Q, la matrice D0 est inversible.
Puisqu’une matrice n’a qu’un nombre fini de valeurs propres, la matrice D0 est
assurément inversible quand λ → 0+ avec λ assez petit.
De plus, C t D0 est symétrique car
C t D0 − D0t C = C t D + λP Jr QQ−1t P − Dt C − λP t Q−1t Qt Jrt P = 0
Par l’étude qui précède, on obtient
A B
det
= det At D0 − B t C
0
C D
4
Or
det A × det(−CA−1 B + D) = det(AD − ACA−1 B) = det(AD − BC)
car la matrice C commute avec les matrices A et B.
On en déduit
det M = det(AD − BC)
Cas général :
Pour p ∈ N? assez grand, la matrice Ap = A + 1/pIn est inversible et les matrices
Ap , B, C, D commutent deux à deux. Si on pose
Ap B
Mp =
C D
l’étude qui précède donne
det Mp = det(Ap D − BC)
En faisant tendre p vers +∞, on obtient à la limite
det M = det(AD − BC)
Il est alors immédiat de conclure que l’inversibilité de M équivaut à celle de
AD − BC.
et en passant à la limite quand λ → 0+ , on obtient
A B
det
= det At D − B t C
C D
Exercice 9 : [énoncé]
Cas où la matrice A inversible :
Pour
P =
In
On
−A−1 B
In
on a
MP =
A
C
On
−CA−1 B + D
On en déduit
det M = det(M P ) = det A × det(−CA−1 B + D)
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