Maxima Pru ¨ fungsvorbereitung 1. Was gibt Maxima aus? (%i1) 5+3; 2*7$ 9**2$ 2. Was gibt Maxima aus, wenn die letzte Zeile ausgef¨ uhrt wird? (%i1) (%o1) (%i2) (%o2) (%i3) (%i4) (%o4) (%i5) 2*5; 10 3+4; 7 18/3$ mod(19, 7); 5 % + %o2 + %i3; 3. Was gibt Maxima aus? (%i1) %i^6; 4. Was gibt Maxima aus? (%i1) kill(a)$ (%i2) a = 3$ (%i3) 5*a; 5. Wie wird der Term sin(0.5π) + 1 2 in Maxima eingegeben? 6. Wie lautet die Maxima-Eingabe abs(x**3) in der u ¨blichen mathematischen Schreibweise? 1 7. Wie kann man √ 3 17 durch eine entsprechende Potenz ausdr¨ ucken? 8. Was gibt Maxima aus? (%i1) 16/20; 9. Was gibt Maxima aus? (%i1) 10/4.0; 10. Was gibt Maxima aus? (%i8) 4*b - 3*a + 5*b - a; 11. Was gibt Maxima aus? (%i1) factor(5*x*y - 10*x); 12. Was gibt Maxima aus? (%i1) expand((x + 1)^3); 13. Wie lautet die 3. Mersenne-Zahl? 14. Ist die 4. Mersenne-Zahl eine Primzahl? 15. Beim L¨osen einer Gleichung erh¨alt man folgendes Resultat: (%i1) solve([x+y=3, y+z=1, x-z=2], [x,y,z]); solve: dependent equations eliminated: (3) (%o1) [[x = %r1+2,y = 1-%r1,z = %r1]] Schreibe die L¨osungsmenge formal korrekt auf. 2 16. Berechne 8 . 5 17. Wie viele Elemente hat die Potenzmenge von M = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? 18. Wie viele Teilmengen mit genau 3 Elementen hat die Menge M = {a, b, c, d, e, f, g}? 19. Welchen Koeffizienten hat das Monom x2 y 8 in der ausmultiplizierten Form von (x + y)10 ? 20. Auf wie viele Arten kann ich aus einer Klasse mit 9 Sch¨ ulern eine Fussballmannschaft mit 6 Spielern bilden? 21. Gib eine nichttriviale L¨osung der Gleichung x2 + y 2 = z 2 an. 22. Gib eine nichttriviale L¨osung der Gleichung x4 + y 4 = z 4 an. 23. Gegeben ist folgende Funktionsdefinition (%i1) f(x) := 1/(x - 1)$ Bestimme die Werte der folgenden Ausdr¨ ucke. Es darf davon ausgegangen werden, dass zuvor alle Variablenbindungen gel¨oscht wurden. (a) f(2); (b) f(1); (c) f(a); (d) f(b+1); (e) f(f(0)); 3 24. Gegeben ist folgende Funktionsdefinition: (%i1) g(a,b) := 4*a - b^2$ Bestimme die Werte der folgenden Ausdr¨ ucke. Es darf davon ausgegangen werden, dass zuvor alle Variablenbindungen gel¨oscht wurden. (a) g(3,-2); (b) g(-2,3); (c) g(y*y, 2*y); (d) g(g(1,0),g(2,2)); 25. Was gibt Maxima aus? (%i1) lsg : solve(2*x + y - 3*z = 0, y); (%o1) [y = -2*x+3*z] (%i2) subst([x=3, z=5], lsg); 26. Gegeben ist eine Parameterfunktion in einer der u ¨blichen mathematischen Darstellungsarten: f (t) = (t2 − 3t, 2t + 1) Bestimme die Punkte des Graphen f¨ ur t = −1, 0, 1, 2 27. Die plot options-Variable hat folgenden Wert. [[t,-3,3],[grid,30,30],[transform_xy,false],[run_viewer,true], [axes,true],[plot_format,gnuplot], [color,blue,red,green,magenta,black,cyan], [point_type,bullet,circle,plus,times,asterisk,box,square,triangle, delta,wedge,nabla,diamond,lozenge], [palette,[hue,0.25,0.7,0.8,0.5],[hue,0.65,0.8,0.9,0.55], [hue,0.55,0.8,0.9,0.4],[hue,0.95,0.7,0.8,0.5]], [gnuplot_term,default],[gnuplot_out_file,false],[nticks,40], ...] Aus Platzgr¨ unden wurden einige Variablen weggelassen. (a) Wird ein Koordinatenkreuz gezeichnet? (b) Drei Graphen werden gezeichnet. Welche Farben haben sie? (c) Mit wie vielen Punkten wird ein Graph gezeichnet? 4 28. Welche Ziffer der Zahl π steht (ungerundet) an der 15. Stelle nach dem Dezimalpunkt? 29. Nach wie vielen Stellen wiederholt sich die Ziffernfolge der Dezimalbruchdarstellung 11 von 17 ? 30. Berechne √ 537 937 927 447 197 165 604. 31. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4158 und 5742. 32. Bestimme den gr¨ossten gemeinsamen Teiler der Terme 6a2 − 3ab − 3b2 und 2a2 + 3ab + b2 33. Berechne f¨ ur p = 37, q = −13 und r = 121 den Wert des Terms p+q p+r · p−q p−r Falls n¨otig, hebe anschliessend die Bindungen der Variablen p, q und r wieder auf. 34. Vereinfache die Terme. (a) a2 − b2 (b) 2 − a+b 2 (a − b)2 3a a2 bc abc + + 2+ 2xy 2xz y 3yz : a bc + 2x 3y 35. Faktorisiere den Term. 20ax + 16bx − 4cx − 30ay − 24by + 6cy 36. Multipliziere aus. √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2+ 3+ 5 2+ 3− 5 2− 3+ 5 5 − √ 2+ √ 3+ √ 5 37. Bestimme die L¨osung(en) der Gleichung bez¨ uglich der Variablen x. 4(ax − b) = 2(ax + 2a − bx) 38. Definiere die Funktionen f (x) = − 12 x2 − 12 x + 5 und g(x) = − 14 x3 + 43 x + 7 2 (a) Berechne f (−31) (b) Bestimme die Nullstellen der Funktion f (sofern vorhanden). (c) Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g. 39. Bestimme die L¨osung(en) der Gleichung bez¨ uglich der Variablen x. 2x2 + 3x − 2 = 0 40. Bestimme die L¨osung(en) der Gleichung bez¨ uglich der Variablen x. x x 1 − = x−3 x−1 2x − 2 41. Bestimme die L¨osung(en) der Gleichung bez¨ uglich der Variablen x. √ √ √ 2 x+3− x−3= x+5 42. Berechne log2 7 und runde das Resultat auf vier Stellen nach dem Dezimalpunkt. √ 43. Berechne π 2 und runde das Resultat auf vier Stellen nach dem Dezimalpunkt. 44. Bestimme die L¨osung des Gleichungssystems. 5x − 6y + 3z = 66 2x + 2y − 4z = −13 3x + 4y − 7z = −27 45. Von zwei Zahlen ist die eine um 30 gr¨osser als die andere. Die Summe der beiden Zahlen betr¨agt 72. Um welche Zahlen handelt es sich? 46. Die Punkte P (2|4) und Q(4|81) liegen auf der Kurve y = a · bx . Bestimme alle L¨osungspaare a, b. 6