2 Grundlagen 2.1 Physikalisches Grundlagenlabor Fachbegriffe • Frequenz / Periodendauer / Zeit • Pendel / Schwingungen / Klein-Winkel-N¨ aherung Versuch 1.3 Bestimmung des Tr¨ agheitsmomentes eines Speichenrades 1 • Winkel / Winkelgeschwindigkeit / Winkelbeschleunigung • s-t-Diagramm / v-t-Diagramm / a-t-Diagramm • Kraft / Tr¨age Masse / Newton-Axiome / Energieerhaltung Ger¨ ate • Drehmoment / Drehimpuls / Tr¨ agheitsmoment • Speichenrad 2.2 • Kugellagerachse Theorie Das Massentr¨agheitsmoment J eines Speichenrades bez¨ uglich der Radachse soll nach drei verschiedenen Methoden bestimmt werden. • Maßstab mit Stativ Verfahren 1: Ab- und Auflaufmethode • Meßschieber Aus Messungen von h1 , h2 , t1 , m und r kann das Massentr¨ agheitsmoment J berechnet werden. Das Gewicht hat in der Ausgangslage (Marke s1 ) gegen¨ uber seiner tiefsten Lage (Marke s0 ) die Lageenergie E1 = m · g · h1 . Die Bewegungsenergie der Anordnung ist Null. Durchl¨ auft das Gewicht die Strecke h1 , so wird die Lageenergie in Bewegungsenergie des Gewichts, Rotationsenergie des Rades und Reibungsenergie umgewandelt: • Gewichtsteller mit Gewichtssatz • Stoppuhr • Zusatzgewicht mit Befestigungsschraube v 2 1 1 ·J · + · m · v 2 + FR · h1 = m · g · h1 2 r 2 • Befestigungst¨ uck f¨ ur Gleitlager mit Kerbe 1 (2) Das Speichenrad wird so auf die Kugellagerachse gesteckt, daß es um seine Radachse drehbar gelagert ist. Das Rad wird durch ein Gewicht der Masse m, das an einem auf der Radachse (Radius r) einlagig aufgewickelten Faden h¨ angt, in eine gleichm¨aßig beschleunigte Drehbewegung versetzt. Das Gewicht durchl¨ auft aus der Ruhelage (Marke s1 ) in der Zeit t1 die Strecke h1 bis zur Marke s0 , bei der der Faden vollst¨ andig abgewickelt ist. Seine Geschwindigkeit ist hier: 2·h v= (1) t1 Der Faden wickelt sich wieder auf, das Massenst¨ uck kommt nach Durchlaufen der Strecke h2 an der Marke s2 zur Ruhe. erh¨alt man v 2 1 h1 − h2 1 ·J · = m · g · h1 · 1 − − · m · v2 2 r h1 + h2 2 Aufl¨osen nach J ergibt: s1 s2 s0 Zu Verfahren 1 FR ist die Reibungskraft. Nach dem Auflaufen des Gewichts um h2 (Marke s2 ) ist die Bewegungsenergie der Anordnung wieder Null und f¨ ur die Energiebilanz gilt: FR · (h1 + h2 ) + m · g · h2 = m · g · h1 (3) Hieraus folgt: FR = m · g · h1 − h2 h1 + h2 (5) (4) Setzt man die Beziehungen f¨ ur v und FR in die Energiegleichung ein, so 2 J = m · g · r 2 · t2 · h2 − m · r2 h1 · (h1 + h2 ) (6) Verfahren 2: Korrekturen: Bestimmung des Tr¨ agheitsmomentes aus der Schwingungsdauer des um die Radachse D drehbar gelagerten und durch ein am Radkranz angebrachtes Zusatzgewicht m zu einem physikalischen Pendel gemachten Rades. Das Speichenrad mit Zusatzgewicht wird wie bei dem Verfahren 1 auf die Kugellagerachse gesteckt. Wird das Pendel um den Winkel ϕ0 ausgelenkt und danach losgelassen, so ergibt sich f¨ ur kleine Auslenkungswinkel die Schwingungsgleichung f¨ ur ϕ (t): 1. Ber¨ ucksichtigung der D¨ ampfung: F¨ ur die gemessene Schwingungsdauer Td gilt 2 ! 1 1 ϕi Td ≈ T · 1 + · · ln 2 2·π ϕi+1 D l ϕi ϕi+1 ist das Verh¨ altnis zweier in gleicher Richtung aufeinander folgender Amplituden. M 2. Bei gr¨oßeren Ausschl¨ agen gilt f¨ ur die gemessene Schwingungsdauer Tϕ0 : ϕ 1 0 Tϕ0 ≈ T · 1 + · sin2 4 2 Zu Verfahren 2 d2 ϕ + mges · g · s · ϕ = 0 (7) dt2 Hierbei bedeuten Jges = J + m · l2 , mges = mRad + m und s der Abstand des Pendelschwerpunktes von der Drehachse D. Der Abstand s errechnet sich aus dem Momentensatz: Jges · mges · g · s = m · g · l + mRad · g · 0 ⇐⇒ s = m ·l mges Aus der Schwingungsgleichung ergibt sich die Schwingungsdauer s Jges T =2·π· mges · g · s (8) (9) F¨ ur das Tr¨ agheitsmoment des Speichenrades folgt hieraus J= T2 · m · g · l − m · l2 4 · π2 (10) 3 3 Verfahren 3: Bestimmung des Tr¨ agheitsmomentes aus der Schwingungsdauer des am Radkranz drehbar aufgeh¨ angten Rades. F¨ ur kleine Anfangsauslenkung gilt die Schwingungsgleichung: d2 ϕ JP · 2 + mRad · g · s · ϕ = 0 dt 1. Nach Verfahren 1 werden nach Auswahl eines geeigneten Gewichts bei fester Ablaufh¨ ohe h1 in beiderlei Drehsinn je 2 Messungen der Ablaufzeit t1 und der Auflaufh¨ ohe h2 durchgef¨ uhrt. P s 2. Bei dem Verfahren 2 werden zun¨achst die Zusatzmasse M und ihr Abstand l zum Aufh¨ angepunkt gemessen. Zur Ermittlung der Schwingungsdauer T werden bei fester Anfangsauslenkung 10 Messungen u ¨ber je 5 Schwingungsperioden durchgef¨ uhrt. Es ist abzusch¨ atzen, ob die angegebenen Korrekturen f¨ ur die Schwingungsdauer ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. (11) JP ist das Tr¨ agheitsmoment der Anordnung bez¨ uglich der Drehachse P. Zu Verfahren 3 3. Beim Verfahren 3 wird die Strecke s gemessen und die Schwingungsdauer T bei fester Anfangsauslenkung aus 10 Messungen u ¨ber je 10 Schwingungsperioden ermittelt. Korrekturen f¨ ur die Schwingungsdauer sind wie bei Verfahren 2 zu ber¨ ucksichtigen. Nach dem Satz von Steiner ist JP = J + mRad · s2 (12) 4. F¨ ur alle drei Verfahren sind die a(t)−, v(t)− und s(t)− bzw. α(t)−, ω(t)− und ϕ(t)−Diagramme basierend auf den Messwerten zu zeichnen. Es sind f¨ ur alle drei Verfahren Fehlerrechnungen durchzuf¨ uhren und die erhaltenen Ergebnisse miteinander zu vergleichen. Man erh¨ alt aus der Schwingungsgleichung die Schwingungsdauer s T =2·π· JP mRad · g · s (13) und f¨ ur das Tr¨ agheitsmoment J= Versuch T2 · g − s · mRad · s 4 · π2 (14) 4
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