TD1 - Université Nice Sophia Antipolis

Université Nice-Sophia Antipolis - Statistiques
Licence
FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS N
2e
année 2014-2015
o1
RAPPELS DE PROBABILITÉS
1. Opérations ensemblistes, Dénombrement
1. On considère les ensembles suivants :
A = {1, . . . , 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 4, 6, 8, 10} et D = {1, 2, 3, 4}.
(a) Déterminer B ∩ C , B ∩ D et C ∩ D .
(b) Déterminer B ∪ C , B ∪ D et C ∪ D .
(c) Déterminer les complémentaires dans A des ensembles B , C et D .
2. On dénit l'ensemble
Ω = {1, 2, . . . , 6} et P(Ω) l'ensemble des parties de Ω. Pour chacune
des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
({1, 2} ∩ {2, 3}) ∪ {5} = {2, 5}
(Ω \ {1, 2, 3}) ∪ {1, 4} = {1, 4, 5, 6}
{1} ∈ Ω
{1} ⊂ Ω
{1} ∈ P(Ω)
{1} ⊂ P(Ω)
3. Dans un restaurant universitaire, on propose deux desserts à chaque repas. La probabilité
que l'un des deux soit un yaourt est de 0.4, la probabilité que l'un des deux soit une
orange est de 0.8 et la probabilité que les deux soient un yaourt et une orange est de 0.3.
On dénit les deux événements O={un dessert proposé est une orange} et Y={un dessert
proposé est un yaourt}.
(a) Traduire les données de l'énoncé sous forme de probabilité faisant intervenir les événements O et Y.
(b) Exprimer les événements suivants en fonction de O et Y, puis calculer leur probabilité.
on propose en dessert un yaourt et pas d'orange,
on propose en dessert une orange et pas de yaourt,
on ne propose en dessert ni yaourt ni orange.
4. Trois boules sont tirées successivement d'une urne contenant 4 boules blanches et 3 boules
ère
rouges. On dénit les événements :
la 1
boule est blanche
A={
B = {la
2
ème
boule est blanche},
(a) Exprimer à l'aide des événements
D = {toutes
F = {au
C = {la
A, B
et
les boules tirées sont blanches},
moins une est blanche},
H = {une
},
G = {seule
seule boule est blanche}.
1
C
3
ème
boule est blanche}.
les événements suivants :
E = {les
deux premières sont blanches},
la troisième est blanche}
(b) On suppose qu'il y a remise des boules dans l'urne entre chaque tirage. Calculer
les probabilités de ces événements lorsque l'on suppose que l'urne contient 3 boules
rouges et 4 boules blanches.
(c) On suppose que les tirages se font sans remise des boules. Calculer les probabilités
de ces événements.
5. Jouons un peu...
(a) Quelle est la probabilité d'obtenir
5
comme somme des chires fournis par le jet de
deux dés ?
(b) Est-il plus probable d'obtenir au moins un six en lançant un dé 4 fois de suite ou au
moins un double six en lançant deux dés 10 fois de suite ?
(c) Quelle est la probabilité qu'un groupe de treize cartes à jouer extrait d'un jeu de 52
cartes contienne un as ?
(d) Dans un jeu de 32 cartes, on a remplacé une carte autre que l'as de pique par un
second as de pique. Une personne prend au hasard et simultanément 3 cartes du jeu.
Quelle est la probabilité qu'elle s'aperçoive de la supercherie ?
6. Le jardinier a mélangé trois oignons de tulipes rouges avec trois oignons de tulipes jaunes.
Il les plante régulièrement le long d'un cercle en les choisissant au hasard. On considère
les événements suivants :
A : "Les eurs jaunes forment un triangle rectangle",
B : "Les eurs rouges forment un triangle rectangle",
C : "Les eurs jaunes forment un triangle équilatéral",
D : "Les eurs jaunes forment un triangle isocèle".
Déterminer les probabilités des événements A, B, C, D .
7. Après une marée noire en Bretagne, l'organisme de protection des oiseaux de mer a évalué
à 20000 la population de sternes au large du Finistère, 500 d'entre eux ont été bagués. Un
an après, on capture 100 sternes dans cette zone. On suppose que la population totale de
sternes et le nombre d'oiseaux bagués n'ont pas changé. Calculer la probabilité
(a) de ne pas avoir d'oiseau bagué.
(b) d'avoir au moins deux oiseaux bagués.
2. Variables aléatoires discrètes
8. Une urne contient 4 boules noires, 3 boules blanches, 2 boules bleues et une boule rouge.
Un joueur tire au hasard de manière équiprobable une boule dans cette urne. Si il tire
une boule noire, il ne gagne rien du tout. Si il tire une boule blanche, il gagne 1 euro, si
la boule est bleue, il gagne 5 euros et si la boule est rouge, il gagne 10 euros.
(a) On note
G
le gain du joueur. Donner l'ensemble des valeurs possibles puis la loi de
G.
(b) Calculer l'espérance de
G. Pour avoir le droit de tirer une boule, le joueur doit payer
3 euros, le jeu est-il intéressant nancièrement pour le joueur ?
2
9. Soit
X
la variable aléatoire dénie par
P (X = 0) = p2 , P (X = 1) = (1 − p)2
où
et
P (X = 2) = 2p(1 − p)
p ∈]0, 1[.
(a) Vérier qu'on a bien déni ainsi une loi de probabilité.
(b) Calculer l'espérance et la variance de
X.
(c) Déterminer la fonction de répartition de
(d) On pose
Y = 2X − 3.
X.
Calculer l'espérance et la variance de
Y.
10. Chaque personne reçoit à la naissance deux brins chromosomiques qui déterminent leur
type de cheveux. Si les deux brins reçus possèdent le type lisse, alors les cheveux sont
lisses. Si un des brins est de type lisse et l'autre de type frisé alors les cheveux sont
ondulés. Enn, si les deux brins sont de type frisé alors les cheveux sont frisés. Une
proportion
p ∈]0, 1[
des brins possèdent le type lisse. Soit
X
la variable aléatoire qui
donne le type de cheveux d'un individu à la naissance. Expliquer pourquoi :
P (X = lisse) = p2 , P (X = ondulé) = 2p(1 − p)
et
P (X = frisé) = (1 − p)2 .
11. Une famille de dauphins est composée de 6 femelles et 4 mâles. On choisit au hasard,
dans cette famille, un groupe de 4 dauphins. Soit
Y
la variable aléatoire représentant le
nombre de femelles que l'on observe dans ce groupe. Déterminer la loi de probabilité, la
fonction de répartition et l'espérance de
Y.
X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est dénie par X(Ω) = {1, . . . , 10}
et ∀i ∈ {1, . . . , 10}, P(X = i) = i/a.
(a) Donner la valeur de a pour qu'on ait bien une loi de probabilité.
(b) Calculer l'espérance et la variance de X .
(c) Déterminer la fonction de répartition de X .
(d) Calculer la probabilité P(3 < X ≤ 7).
12. Soit
13. On lance
grand des
n ≥ 2 dés non truqués
n nombres obtenus.
et on note
(a) Déterminer la loi de probabilité de
M
la variable aléatoire représentant le plus
M.
(b) Déterminer la fonction de répartition de
M.
M.
P(2 ≤ M < 4).
(c) Calculer l'espérance et la variance de
(d) Calculer
P(M > 6), P(M ≤ 3)
et
14. Une urne contient une boule blanche et une boule noire.
(a) On eectue des tirages avec remise jusqu'à obtention d'une boule blanche. Déterminer
la loi de probabilité du nombre
N
de tirage nécessaire.
(b) À présent, après chaque tirage d'une boule noire, on ajoute dans l'urne une boule
noire. Déterminer la loi de probabilité associée au nombre de tirages
∗
e > n) et E[N
e ].
pour n ∈ N , P(N
e . Puis, calculer
N
15. Au casino, un joueur décide de miser sur un même numéro jusqu'à ce qu'il gagne. Sa mise
initiale est
a>0
et après chaque partie perdue, il double sa mise. La probabilité que le
numéro qu'il joue sorte est p à chaque partie. Lorsqu'il gagne, cela lui rapporte
∗
mise (k ∈ N ). Calculer l'espérance mathématique du gain G de ce joueur.
3
k
fois la

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