Das Riemann-Integral und der Hauptsatz der Differenzial

Das Riemann-Integral mittels Ober- und Untersummen
Schritte zum Riemann-Integral einer beschränkten Fkt. f ∶ [a, b] → R:
1. Wähle eine Zerlegung Z = (x0 , . . . , xn ) von [a, b], d.h.
a = x0 < ⋯ < xn = b.
2. Bilde die Unter- und Obersumme
n
US(f ; Z) = ∑ (xk − xk−1 )
k=1
n
OS(f ; Z) = ∑ (xk − xk−1 )
k=1
inf
f (x),
sup
f (x).
xk−1 <x<xk
xk−1 <x<xk
3. Bilde durch Übergang zu beliebigen Zerlegungen Z von [a, b] das
b
▸
Unterintegral ∫a f (x)dx ∶= supZ US(f ; Z)
▸
Oberintegral ∫a f (x)dx ∶= inf Z OS(f ; Z)
b
b
b
4. Die Funktion f heißt Riemann-integrierbar, falls ∫a f (x)dx = ∫a f (x)dx
5. Äquivalent dazu: ∀ > 0∃ Zerlegung Z ∶ OS(f , Z) − US(f ; Z) < 1/10
Das Integral für Treppenfunktionen
Definition Ein φ∶ [a, b] → R heißt Treppenfunktion, falls
a=x 0
x1
xn−1
b=x n
es a = x0 < . . . xn = b und λ1 , . . . , λn ∈ R gibt mit φ∣(xk−1 ,xk ) ≡ λk .
Bezeichne T ([a, b]) die Menge aller Treppenfunktionen auf [a, b].
Beobachtungen Treppenfunktionen sind einfach zu integrieren:
b
1. Für jede Treppenfunktion φ gilt ∫a φ(x)dx = ∑nk=1 (xk − xk−1 )λk .
2. Die Menge T ([a, b]) ist ein reeller Vektorraum.
b
3. Die Abbildung T ([a, b]) ∋ φ ↦ ∫a φ(x)dx ∈ R ist linear.
b
4. Diese Abbildung ist positiv, d.h. aus φ ≥ 0 folgt ∫a φ(x)dx ≥ 0.
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Alternative Definition des Integrals mittels Treppenfunktionen
Sei f ∶ [a, b] → R beschränkt.
Beobachtung Für jede Zerlegung Z = (x0 , . . . , xn ) gilt:
▸
▸
b
US(f ; Z) = ∫a φ(x)dx mit φ∣(xk−1 ,xk ) ∶≡ inf xk−1 <x<xk f (x)
b
OS(f ; Z) = ∫a ψ(x)dx mit ψ∣(xk−1 ,xk ) ∶≡ supxk−1 <x<xk f (x)
Folgerung Es gilt
b
b
∫a f (x)dx = sup{∫a φ(x)dx ∶ φ ∈ T ([a, b]), φ ≤ f }
und
b
b
∫a f (x)dx = inf{∫a ψ(x)dx ∶ φ ∈ T ([a, b]), ψ ≥ f }.
Man kann also das (Ober-/Unter-)Integral statt mit Ober- und
Untersummen mit Hilfe von Treppenfunktionen definieren.
Satz Die Menge I ([a, b]) der Riemann-integrierbaren Funktionen auf
b
[a, b] ist ein Vektorraum. Die Abbildung I ([a, b]) ∋ f ↦ ∫a f (x)dx ist
b
linear, positiv und stetig bzgl. ∥ ⋅ ∥∞ , d.h. ∣ ∫a f (x)dx∣ ≤ sup ∣f (x)∣.
a≤x≤b
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Klassen integrierbarer Funktionen
Satz Jede monotone Funktion f ∶ [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.
Beweis: Einfach.
Satz Jede stetige Funktion f ∶ [a, b] → R ist Riemann-integrierbar
Beweis: Sei > 0. Da f gleichmäßig stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit
∣x − y ∣ < δ ⇒ ∣f (x) − f (y )∣ < .
Sei Z eine Zerlegung mit ∣xk − xk−1 ∣ < δ für alle k. Dann folgt
n
OS(f ; Z) − US(f ; Z) ≤ ∑ (xk − xk−1 ) = (b − a).
k=1
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Vertauschbarkeit von Integral und Limes
Satz Sei (fn )n eine Folge in I ([a, b]), die gleichmäßig gegen eine
Funktion f konvergiert. Dann ist f ∈ I ([a, b]) und
b
b
∫a f (x)dx = limn→∞ ∫a fn (x)dx.
Beispiel Die Folge der Treppenfunktionen
⎧
1
⎪
≤ x ≤ n,
⎪2n, 2n
φn ∶ [0, 1] → R, x ↦ ⎨
⎪
sonst,
⎪
⎩0,
konvergiert punktweise gegen 0, aber nicht gleichmäßig, und
1
1
limn→∞ ∫0 φn (x)dx = 1 ≠ 0 = ∫0 0dx.
Beweisidee zum Satz: Sei > 0. Wähle N mit ∥fn − f ∥∞ < für alle
n ≥ N. Sei n ≥ N. Dann gilt
fn (x) − ≤ f (x) ≤ fn (x) + für alle x ∈ [a, b]
und darum
b
b
b
b
∫a (fn (x) − )dx ≤ ∫a f (x)dx ≤ ∫a f (x)dx ≤ ∫a (fn (x) + )dx.
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Eine große Klasse integrierbarer Funktionen: Regelfunktionen
Definition Eine Funktion f ∶ [a, b] → R heißt Regelfunktion, falls
▸
für jedes x0 ∈ (a, b] der Grenzwert limx↗x0 f (x) existiert und
▸
für jedes x0 ∈ [a, b) der Grenzwert limx↘x0 f (x) existiert.
Beispiel (1) Stetige Funktionen; (2) monotone Funktionen;
(3) Treppenfunktionen.
Satz Eine Funktion f ist eine Regelfunktion genau dann, wenn es
eine Folge (φn )n von Treppenfunktionen gibt, die gleichmäßig gegen f
konvergiert.
Folgerung Jede Regelfunktion ist integrierbar.
⎧
⎪
⎪sin x1 , x ≠ 0,
ist keine
Beispiel Die Funktion f ∶ [0, 1] → R, x ↦ ⎨
⎪
0,
x
=
0,
⎪
⎩
Regelfunktion (leicht), aber Riemann-integrierbar (schwieriger).
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Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung I
Hauptsatz, Teil 1: Sei f ∶ [a, b] → R stetig. Dann ist die Funktion
F ∶ [a, b] → R,
F (t) ∶= ∫
t
a
f (x)dx,
auf (a, b) differenzierbar mit F ′ = f .
Beweis: Sei a < t < t ′ < b. Dann ist
t′
f (t ′ ) − f (t) ∫t f (x)dx
′
=
∈ [ min ′ f (x), max′ f (x)] .
∆F (t, t ) =
t≤x≤t
t≤x≤t
t′ − t
t′ − t
Mit dem Zwischenwertsatz für f auf [t, t ′ ] folgt
∆F (t, t ′ ) = f (ξ) für ein ξ ∈ [t, t ′ ],
also limt ′ →t ∆F (t, t ′ ) = f (t).
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Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung II
Hauptsatz, Teil 2: Sei I ⊆ R ein offenes Intervall, F ∶ I → R stetig,
a, b ∈ I mit a < b und f ∶= F ′ auf [a, b] Riemann-integrierbar. Dann gilt
∫
a
b
f (x)dx = F (b) − F (a).
Beweis: Sei Z = (x0 , . . . , xn ) eine Zerlegung. Dann gilt
n
n
k=1
k=1
F (b) − F (a) = ∑ F (xk ) − F (xk−1 ) = ∑ (xk − xk−1 )F ′ (ξk )
für gewisse ξk ∈ (xk−1 , xk ) nach dem MWS der DR, also
US(f ; Z) ≤ F (b) − F (a) ≤ OS(f ; Z).
Da Z beliebig war, folgt
∫
b
a
f (x)dx ≤ F (b) − F (a) ≤ ∫
b
a
f (x)dx.
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Unbestimmtes Integral und Stammfunktionen
Sei I ⊆ R ein offenes Intervall und f ∶ I → R gegeben.
Definition F ∶ I → R heißt Stammfunktion von f , falls F ′ = f .
Folgerungen
1. Sind F und G Stammfunktionen von f , so ist F − G konstant.
(Denn (F − G )′ = F ′ − G ′ = f − f = 0).
2. (Hauptsatz 1) Ist f stetig, so wird für jedes a ∈ I durch
t
F (t) ∶= ∫a f (x)dx eine Stammfunktion definiert.
3. (Hauptsatz 2) Für jede Stammfunktion F und alle a, b ∈ I mit
b
a < b gilt ∫a f (x)dx = F (b) − F (a).
Beispiele
1. Stammfkt.
2. Stammfkt.
3. Stammfkt.
4. Stammfkt.
b
k+1
k+1
1
x k+1 ⇒ ∫a x k dx = bk+1 − ak+1
von x k (k ≠ −1) ist k+1
b
von ex ist ex ⇒ ∫a ex dx = eb − ea
b
von cos x ist sin x ⇒ ∫a cos xdx = sin b − sin a
b
von x1 ist ln x ⇒ ∫a x1 dx = ln b − ln a für 0 < a < b
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Anwendungen: partielle Integration und Substitution
Satz Seien u, v ∶ I → R differenzierbar und a, b ∈ I mit a < b. Dann ist
b
b
′
b
′
∫a u (x)v (x)dx = [u(x)v (x)]a − ∫a u(x)v (x)dx.
Beweis uv ist Stammfunktion von (uv )′ = u ′ v + u ′ v , also
b
b
[u(x)v (x)]ba = ∫a u ′ (x)v (x)dx + ∫a u(x)v ′ (x)dx.
Satz Seien f ∶ U → R stetig, g ∶ I → U stetig differenzierbar und a, b ∈ I
mit a < b. Dann ist
b
Beweis Setze
g (b)
′
∫a f (g (x))g (x)dx = ∫g (a) f (y )dy .
t
t
H(t) ∶= ∫a f (g (x))g ′ (x)dx und F (t) = ∫g (a) f (y )dy
Dann gilt H(b) = F (g (b)), weil
1. nach Definition H(a) = 0 = F (g (a)) = (F ○ g )(a);
2. nach dem 1. Hauptsatz H ′ (t) = f (g (t))g ′ (t) und
(F ○ g )′ (t) = F ′ (g (t))g ′ (t) = f (g (t))g ′ (t).
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